Основи нелінійної алгебри

Мета дисципліни:

забезпечити розвиток загальних та спеціальних компетентностей майбутніх бакалаврів, розвити здатність використовувати отримані теоретичні знання з нелінійної алгебри, теорії ймовірностей та математичної статистики, випадкових процесів, сучасної теорії динамічних баз даних, методів оптимізації прийняття рішень в складних систематично міняються в умовах роботи динамічних систем при яких необхідно знаходити найкращі варіанти їх розвитку, створювати ефективні методи захисту інформації, вміти моделювати  процеси створення генераторів псевдовипадкових чисел, розробляти алгебраїчні моделі формування траєкторій циклічних нерухомих точок динамічних систем. 

Завдання дисципліни:
 
Вибирати множини які можна використовувати в процесах побудови ефективних систем створення математичних моделей систем аналізу та обробки складних даних; 
Досліджувати ізоморфізм різних класів перетворень в процесах моделювання систем;
Характеризувати обчислювальну ефективність рекурсивних процедур моделювання процесів побудови хеш-функцій в системах стиснення інформації до великих степенів; 
Використовувати теорію структур при представлені даних в необхідній формі;
Аналізувати різні моделі криптосистем та моделі розподілених  структур ;
Застосовувати теорію груп в методах побудови сучасних технологій перетворення даних в форму яка відповідає умовам їх  використання в системнім аналізі;
Вибирати фундаментальні алгоритми представлення чисел та поліномів в адитивній та мультиплікативній формах; 

Створювати ефективні алгоритми факторизації чисел та поліномів;
Навчити застосовувати алгоритм Евкліда в класичній та розширеній формах при обчислені НСД та НСК як для чисел так і поліномів . 
 Основні результати навчання
 
 Володіти основними положеннями та методами математичного, комплексного та функціонального аналізу, лінійної алгебри та теорії чисел, аналітичної геометрії, теорії диференціальних рівнянь, зокрема рівнянь у частинних похідних, теорії ймовірностей, математичної статистики та випадкових процесів, чисельними методами.
 Знати основні методи системного аналізу, закономірності побудови, функціонування та розвитку систем для розв’язання задач аналізу та синтезу.
 Демонструвати знання й розуміння основних концепцій, принципів, теорій прикладної математики і використовувати їх на практиці.
 Формалізувати задачі, сформульовані мовою певної предметної галузі; формулювати їх математичну постановку та обирати раціональний метод вирішення; розв’язувати отримані задачі аналітичними та чисельними методами, оцінювати точність та достовірність отриманих результатів.
 
Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять
 
Л – лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; РГР – розрахунково-графічна робота; Кз – самостійні контрольні завдання;  МКР – модульна контрольна робота; К – консультації.
 
 
Тематика та види навчальних занять
 
1 тиждень
 
Л1. Значення та використання  сучасної  алгебри в моделюванні складних систем. Використання теорії множин в алгебраїчних операціях над даними теорії груп при створені різноманітних форм відображень. Властивості методів та алгоритмів нелінійної алгебри при розв’язувані сучасних проблем аналізу та обробки  інформації в складних динамічних системах.
Пз1. Розподілені системи даних та класи задач які розв’язуються методами та алгоритмами теорії груп, кілець, ідеалів, полів сучасної нелінійної та абстрактної алгебри .
СРС. К.
 
2 тиждень
 
Л2.Алгебраїчні та алгоритмічні методи упорядкування множин з використанням різноманітних порядкових структур. Застосування в криптографії  та основні  класи задач які  розв’язуються  її  методами .
СРС. К.
 
3 тиждень
 
Л3. Системи  алгебри та використання в них структур з доповненнями, дистрибутивними решітками  та  їх фундаментальні алгоритми. Основи сучасної теорії чисел. Розподілення простих чисел. Дзета функція Рімана та пов’язана з нею проблема. Мала теорема Ферма. 
Пз2. Класифікація простих чисел по заданому модулю. Властивості групи лишків  (Z/pZ)* по модулю простого числа. Теорема про циклічний характер даної групи та обчислення її первісних коренів.
Кз1. Обчислення первісних коренів простих чисел. Формула Ейлера та її обчислення.
СРС. К.
 
4 тиждень
 
Л4. Методи представлення чисел на основі теорії груп та доведення їх ефективності шляхом розкладання їх на прості множники. Обчислювальна складність задачі факторизації натуральних чисел. Аналіз методів побудови гомоморфних відображень в теорії груп.  Доведення адитивної та мультипликативної  форм представлення натуральних чисел та поліномів від однієї та багатьох змінних. Ділення цілих чисел з лишками та його властивості. Функція Ейлера та її властивості.
СРС. К.
 
5 тиждень
 
Л5. Алгоритм Евкліда для обчислення НСД та НСК. Розширений  алгоритм Евкліда та його застосування..Методи виділення підгруп із заданими властивостями.
Пз3. Застосування алгоритму Евкліда для обчислення НСД та НСК поліномів довільної степені. Алгоритми обчислення коренів поліноміальних функцій.
Кз2. Алгоритми  НСД та НСК двох і більше цілих чисел. Основні алгоритми обчислення НСД та НСК та їх складність. Методи застосування теорії чисел і сучасній криптографії 
СРС. К.
 
6 тиждень
 
Л6. Модулярна арифметика та застосування її теоремі Ферма. Рекурсивна процедура для обчислення первісних коренів простих чисел. Алгоритм для обчислення зворотного числа для довільно заданого простого числа. Фактор-групи та алгоритми їх виділення.    Алгоритми пошуку  коренів довільної степені із одиниці.
СРС. К.
 
7 тиждень
 
Л7.  Властивості груп перестановок та їх застосування.  Проблема дискретного логарифма та її обчислювальна складність. Китайська теорема про лишки та її застосування в теорії дискретного логарифма при умові гладкого простого числа. Нормальні підгрупи груп перестановок. Модулярний алгоритм обчислення НСД та НСК. Модулярний розширений алгоритм Евкліда
ПЗ4.Модулярні алгоритми та метоли інтерполяції. Логарифмічний закон розподілу простих чисел.Алгебра вейвлетів та її застосування.
Кз3. Швидкий алгоритм Евкліда для поліномів та його застосування. Алгоритм обчислення примітивних коренів простих чисел.
СРС. К.
 
8 тиждень
 
Л8. Застосування еліптичних кривих в алгоритмах факторизації  натуральних чисел. Алгоритм Ленкстри та його застосування.
СРС. К.
 
9 тиждень
 
Л9. Циклічні групи та їх застосування. Конечні поля та їх застосування в задачах аналізу траєкторій рекурсивних алгоритмів обчислення первісних коренів простих чисел.  Методи тестування складності алгоритмів вирішення проблеми побудови одно-однозначних відображень дискретного логарифма..
ПЗ5. Алгоритм обчислення первісних коренів прости чисел. Розподілення первісних коренів простих чисел.
СРС. К.
 
10 тиждень
 
Л10. Теорія аналізу структури груп як системи їх підгруп.  Особливості аналізу траєкторій дискретного логарифма для гладких простих чисел  та дослідження його складності.
Кз4. Обчислення ключів обміну протоколами Діфі-Хелмана та їх застосування в сучасних методах захисту інформації.  
СРС. К.
 
11 тиждень
 
Л11. Субекспоненційні алгоритми факторизації натуральних чисел та поліномів. Метод  факторизації натуральних чисел Поларда. Методи захисту інформації на основі теорії  кодування та алгоритми RSA. Криптографічні  схеми захисту інформації на основі метода Ель-Гамаля. 
ПЗ6. Аналіз алгоритмів пошуку всіх первісних коренів довільно заданого простого числа та структури їх розподілення в групах лишків. Методи захисту інформації на основі теорії еліптичних кривих та алгоритм  Ленкстри. Оцінювання ефективності алгоритму Ленкстри.
МК. 
СРС. К.
 
Індивідуальна робота
 
Не передбачена.НН(порожній рядок)*
 
Самостійна робота
 
Самостійна робота складає 56 годин. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лекційних занять – 30 годин;
2) підготовка до лабораторних занять та до виконання індивідуальних контрольних завдань – разом 26 годин;
 
 
Процедура оцінювання
 
Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Дисципліна поділяється на один семестровий модуль. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та практичних занять, виконують 1 модульну контрольну роботу та 4 індивідуальних контрольних завдання.
 
Модульна контрольна робота виконується у письмовій формі. Модульна робота складається з теоретичної частини (4 запитання) та практичної частини (2 задача). Відповідь на кожне теоретичне питання оцінюється максимум 10 балами. Правильне розв’язання задачі оцінюється в 5 балів.
 
Модуль оцінюється у максимально можливі 100 балів:
 
Семестровий модуль № 1
 
Кз1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 5 тиждень.
Кз3. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 10 тиждень.
Кз4. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 13 тиждень.
МК. Модульна контрольна робота – 50 балів (11 тиждень). 

Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
 
Остаточним контролюючим моментом освоєння дисципліни є залік у 8 семестрі. Оцінка виставляється за результатами модульних опитувань та практичних робіт.
 
Умови допуску до підсумкового контролю
 
До заліку допускаються здобувачі вищої освіти, які виконали всі види навчальних елементів навчальної дисципліни на не менш, ніж на 60 %.
 
Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності. 

Виконаний не свій варіант завдання здобувачем не оцінюється.
 
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
 
Відсутність здобувача на екзамені або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
 
Складання/перескладання екзаменів – за встановленим деканатом розкладом.
 
Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.