Алгебра логіки, атомарні функції та вейвлети

Мета дисципліни:

забезпечити розвиток загальних та спеціальних компетентностей майбутніх бакалаврів, розвити здатність використовувати отримані теоретичні знання з сучасної алгебри логіки предикативних рівнянь, теорії R-функцій як потужного методу моделювання складних процесів в динамічних системах випадкових процесів, сучасної теорії динамічних баз даних, методів оптимізації прийняття рішень в складних систематично змінюючихся  умовах роботи динамічних систем при яких необхідно знаходити найкращі варіанти їх розвитку, створювати ефективні методи захисту інформації, вміти моделювати  процеси створення генераторів псевдовипадкових чисел, розробляти алгебраїчні моделі формування траєкторій циклічних нерухомих точок динамічних систем та створити необхідні умови для аналізу їх поведінки за допомогою теорії вейвлетів. 

Завдання дисципліни:
 
Вибирати множини які можна використовувати в процесах побудови ефективних систем створення математичних моделей систем аналізу та обробки складних даних; 
Досліджувати ізоморфізм різних класів перетворень в процесах моделювання систем;
Характеризувати обчислювальну ефективність рекурсивних процедур моделювання процесів побудови R-функцій як атомарних систем аналізу та обробки данних  в системах  управління інформаційними потоками в процесах їх формування та стиснення до великих степенів; 
Використовувати теорію атомарних перетворень  систем логічного виводу алгебраїчних моделей при представлені даних в необхідній формі;
Аналізувати різні моделі створення R-функцій з необхідними властивостями  та розробляти методи аналізу формування  розподілених  структур в динамічних системах аналізу та обробки складно організованих систем даних;
Застосовувати теорію груп в методах побудови сучасних технологій перетворення даних в форму яка відповідає умовам їх  використання в системнім аналізі;
Вибирати фундаментальні алгоритми представлення чисел та поліномів в адитивній та мультиплікативній формах та методи вейвлет перетворень їх в необхідну форму; 
Створювати ефективні алгоритми факторизації чисел та поліномів в системах моделювання розвиваючихся систем ;
Навчити застосовувати алгоритм  в класичній та розширеній формах при обчислені коефіцієнтів вейвлет перетворень. 
 
 
 Основні результати навчання
 
 Володіти основними положеннями та методами математичного, комплексного та функціонального аналізу, лінійної алгебри та теорії чисел, аналітичної геометрії, теорії диференціальних рівнянь, зокрема рівнянь у частинних похідних, теорії ймовірностей, математичної статистики та випадкових процесів, чисельними методами.
 Знати основні методи системного аналізу, закономірності побудови, функціонування та розвитку систем для розв’язання задач аналізу та синтезу.
 Демонструвати знання й розуміння основних концепцій, принципів, теорій прикладної математики і використовувати їх на практиці.
 Формалізувати задачі, сформульовані мовою певної предметної галузі; формулювати їх математичну постановку та обирати раціональний метод вирішення; розв’язувати отримані задачі аналітичними та чисельними методами, оцінювати точність та достовірність отриманих результатів.
 
 
Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять
 
Л – лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; РГР – розрахунково-графічна робота; Кз – самостійні контрольні завдання;  МКР – модульна контрольна робота; К – консультації.
 
 
Тематика та види навчальних занять
 
1 тиждень
 
Л1. Значення та використання  сучасної  алгебри в моделюванні складних систем. Використання теорії множин в алгебраїчних операціях над даними теорії груп при створені різноманітних форм відображень.
Л2. Властивості методів та алгоритмів  алгебри логічного виводу при розв’язувані сучасних проблем аналізу та обробки  інформації в складних динамічних системах.
СРС. К.
 
2 тиждень
 
Л3.Алгебраїчні та алгоритмічні методи упорядкування множин з використанням різноманітних порядкових структур. Застосування в процесах формування систем аналізу  та обробки множин даних   методів логічного виводу для  задач які  розв’язуються   методами апроксимації функціями з заданими властивостями.
Пз1. Розподілені системи даних та класи задач які розв’язуються методами та алгоритмами теорії груп, кілець, ідеалів, полів сучасної  абстрактної алгебри .
СРС. К.
 
3 тиждень
 
Л4. Системи  алгебри та використання в них структур з доповненнями, дистрибутивними решітками  та  їх фундаментальні алгоритми..
Л5. Основи сучасної теорії чисел в теорії аналізу та обробки одномірних та багатомірних систем. Розподілення простих чисел. Дзета функція Рімана та пов’язана з нею проблема. Мала теорема Ферма. 
Кз1. Обчислення первісних коренів простих чисел. Формула Ейлера та її обчислення.
СРС. К.
 
4 тиждень
 
Л6. Методи представлення чисел на основі теорії груп та доведення їх ефективності шляхом розкладання їх на прості множники. Обчислювальна складність задачі факторизації натуральних чисел.
Пз2. Класифікація простих чисел по заданому модулю. Властивості групи лишків  (Z/pZ)* по модулю простого числа. Теорема про циклічний характер даної групи та обчислення її первісних коренів.
СРС. К.
 
5 тиждень
 
Л7.Аналіз методів побудови гомоморфних відображень в теорії груп.  Доведення адитивної та мультипликативної  форм представлення натуральних чисел та поліномів від однієї та багатьох змінних.
Л8. Ділення цілих чисел з лишками та його властивості. Функція Ейлера та її властивості.
Алгоритми  побудови R-функцій з необхідними властивостями. Основні алгоритми обчислення параметрів функцій апроксимації з необхідними властивостями та їх складність. Методи застосування теорії чисел і сучасній теорії моделювання випадкових процесів.
СРС. К.
 
6 тиждень
 
Л9. Алгоритм Евкліда для обчислення коеффіціентів апроксимації функцій поліномами. Розширений  алгоритм Евкліда та його застосування..Методи виділення підгруп із заданими властивостями.
Пз3. Застосування алгоритму Евкліда для обчислення  поліномів довільної степені в системах апроксимації. Алгоритми обчислення коренів поліноміальних функцій.
СРС. К.
 
7 тиждень
 
Л10. Модулярна арифметика та застосування її в теорії побудови генераторів випадкових чисел. Рекурсивна процедура для обчислення первісних коренів простих чисел.
Л11. Алгоритм для обчислення зворотного числа для довільно заданого простого числа. 
СРС. К.
 
8 тиждень
 
Л12. Фактор-групи та алгоритми їх виділення.    Алгоритми пошуку  коренів довільної степені із одиниці.
ПЗ4.Модулярні алгоритми та метоли інтерполяції. Логарифмічний закон розподілу простих чисел.Алгебра вейвлетів та її застосування.
МКР1. СРС. К.
 
9 тиждень
 
Л13.Властивості груп перестановок та їх застосування.  Проблема дискретного логарифма та  її обчислювальна складність. Китайська теорема про лишки та її застосування в теорії дискретного логарифма при умові гладкого простого числа.
Л14.Нормальні підгрупи груп перестановок. Модулярний алгоритм обчислення коефіцієнтів R-функцій. Модулярний розширений алгоритм Евкліда.
СРС. К.
 
10 тиждень
 
Л15. Застосування еліптичних кривих в алгоритмах факторизації  натуральних чисел. Алгоритм Ленкстри та його застосування.
ПЗ5. Алгоритм обчислення первісних коренів прости чисел. Розподілення первісних коренів простих чисел.
Кз3. Швидкий алгоритм Евкліда для поліномів та його застосування. Алгоритм обчислення примітивних коренів простих чисел.
СРС. К.
 
11 тиждень
 
Л16 Циклічні групи та їх застосування. Конечні поля та їх застосування в задачах аналізу траєкторій рекурсивних алгоритмів обчислення первісних коренів простих чисел.
Л17. Методи тестування складності алгоритмів вирішення проблеми побудови одно-однозначних відображень за допомогою вейвлет перетворень з заданими властиврстями. 
СРС. К.
 
12 тиждень
 
Л18.Теорія аналізу структури груп як системи їх підгруп.  Особливості аналізу траєкторій дискретного логарифма для гладких простих чисел  та дослідження його складності.
ПЗ6. Аналіз алгоритмів пошуку всіх первісних коренів довільно заданого простого числа та структури їх розподілення в групах лишків.
 
13 тиждень
 
Л19. Субекспоненційні алгоритми факторизації натуральних чисел та поліномів. Метод  факторизації натуральних чисел Поларда. 
Л20. Методи захисту інформації на основі теорії  кодування та алгоритми RSA.Базиси Грьобнера та їх застосування.
Кз4. Обчислення ключів обміну протоколами Діфі-Хелмана та їх застосування в сучасних методах захисту інформації.  
СРС. К.
 
14 тиждень
 
Л21. Системи    захисту інформації на основі метода теорії апроксимації динамічних процесів системами R-функцій які мають фрактальну структуру вейвлетного типу.
ПЗ7. Методи аналізу та обробки інформації на основі теорії еліптичних кривих та алгоритм  Ленкстри. Оцінювання ефективності алгоритму Ленкстри. Технології застосування пакетів прикладних програм Wolfram Mathematic, Maple.
 
15 тиждень
 
Л22.Аналіз обчислювальних можливостей сучасних пакетів прикладних програм.  Знаходження закону розподілу примітивних коренів та індексів простих чисел  та їх застосування .  Методи та технології використання пакету прикладних програм Wolfram Mathematic в теорії дискретного логарифма та системах аналізу та обробки інформації.
МКР2.
СРС. К.
 
 
Індивідуальна робота
 
Не передбачено 
 
Самостійна робота
 
Самостійна робота складає 56 годин. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лекційних занять – 21 годин;
2) підготовка до практичних занять та до виконання індивідуальних контрольних завдань – разом 35 годин;
 
 
Процедура оцінювання
 
Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Дисципліна поділяється на один семестровий модуль. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та практичних занять, виконують 1 модульну контрольну роботу та 4 індивідуальних контрольних завдання.
 
Модульна контрольна робота виконується у письмовій формі. Модульна робота складається з теоретичної частини (4 запитання) та практичної частини (2 задача). Відповідь на кожне теоретичне питання оцінюється максимум 10 балами. Правильне розв’язання задачі оцінюється в 5 балів.
 
Модуль оцінюється у максимально можливі 100 балів:
 
Семестровий модуль № 1
 
Кз1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 5 тиждень.
Кз3. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 10 тиждень.
Кз4. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 13 тиждень.
МК. Модульна контрольна робота – 50 балів (11 тиждень). 

Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
 
Остаточним контролюючим моментом освоєння дисципліни є залік у 8 семестрі. Оцінка виставляється за результатами модульних опитувань та практичних робіт.
 
 
Умови допуску до підсумкового контролю
 
До заліку допускаються здобувачі вищої освіти, які виконали всі види навчальних елементів навчальної дисципліни на не менш, ніж на 60 %.
 
 
Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності. 

Виконаний не свій варіант завдання здобувачем не оцінюється.
 
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
 
Відсутність здобувача на екзамені або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
 
Складання/перескладання екзаменів – за встановленим деканатом розкладом.
 
Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.