Випадкові процеси

 Мета дисципліни : Метою даної дисципліни являється забезпечення вивчення студентами сучасних методів моделювання процесів формування послідовностей випадкових подій під впливом фактору часу та пов’язаних з ними локальними та інтегральними процесами. Оволодіння методами побудови різноманітних законів розподілу ймовірностей випадкових величин в любий проміжок часу відповідно до заданих умов. Освоїти методи та алгоритми обчислення різноманітних характеристик випадкових прцесів з застосуванням міри Стілтьеса-Лебега та засобів аналізу динаміки за допомогою фракталів, вейвлетів та інших класів функцій.  Детально освоїти  теореми та методи закону великих чисел та вміти застосовувати його при аналізі властивостей множин випадкових станів поведінки сигналів та величин їх різноманітних характеристик.   Вивчення сучасних методів  дослідження властивостей випадкових процесів за допомогою характеристичних функцій та розв’язання зворотних задач за  за допомогою інтегралу Фурьє.
 
Завдання дисципліни.
 
  Визначити умови при яких застосування сучасної теорії випадкових процесів для аналізу та обробки складно організованих даних  можливе та являється ефективним. Освоїти методи оцінювання ймовірностей випадкових подій при переході системи їз одного стану в інший та їх послідовностей при різноманітних додаткових умовах та ефективного  застосування  сучасних  граничних теорем математичного аналізу  для аналізу їх інтервальної поведінки при різноманітних додаткових умовах. 
   Сформувати професійні навички аналізу властивостей випадкових процесів з метою побудови їх функцій розподілу ймовірностей та функції щільності розподілу ймовірностей в різноманітні моменти часу та  вбору адекватних алгоритмів побудови математичних їх моделей.
   Придбати уміння вибирати методи структурного аналізу багатомірних випадкових процесів  з метою побудови  моделі стохастичної  залежності між ними  в вигляді кореляційної або коваріаційної матриць або залежностей які описуються функціями певних класів.
   Сформувати уміння ефективно оцінювати коваріаційну та автокореляційну матриці з метою аналізу залежності між фрагментами випадкових величин при різній кількості випробувань в різноманітних умовах. 
    Освоїти методи та алгоритми зменшення розмірності багатомірних випадкових процесів  на основі законів великих чисел .        
     Придбати навички аналізу багатомірних випадкових величин при умовах коли спостерігається ефект   глибокої колінеарності або складних динамічно змінюючихся  мір функціональної залежності. 
 
Основні результати навчання
 
 Демонструвати знання й розуміння основних концепцій, принципів, теорій фундаментальної та прикладної математики і використовувати їх на практиці. 
 Володіти основними положеннями та методами математичного, комплексного та функціонального аналізу, лінійної алгебри та аналітичної геометрії, теорії диференціальних рівнянь, зокрема рівнянь математичної фізики, теорії ймовірностей, математичної статистики та випадкових процесів, чисельними методами, методами оптимізації, методами аналізу даних.
 Володіти методиками вибору раціональних методів та алгоритмів розв'язання математичних задач оптимізації, дослідження операцій, оптимального керування і прийняття рішень, аналізу даних.
 Знати властивості випадкових процесів, уміти застосовувати теорію випадкових процесів при аналізі складних систем, оцінювати параметри випадкових процесів, визначати клас випадкових процесів. 
Знати та уміти застосовувати методи та алгоритми сучасної математики при обробці великих потоків даних в сучасних інформаційних системах.
 
 
Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять
 
Лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; РГР – розразунково-графічна робота; Кз – самостійні контрольні завдання; МКР – модульна контрольна робота; К – консультації..
 
 
Тематика та види навчальних занять 
 
1 тиждень
 
Л1.  Математичні основи сучасної теорії випадкових процесів. Аксіоматика випадкових процесів   та   її застосування при створені теоретичних основ операцій над випадковими процесами в визначені моменти часу.
СРС.К.
 
2тиждень
 
Л2. Основні класи математичних проблем які пов’язані з аналізом та обробкою послідовностей випадкових подій які виникають в певні моменти які визначаються попередніми умовами. Класи еквівалентності  випадкових процесів з різноманітними мірами.
ПЗ.К.
 
3 тиждень 
 
Л3.Теорема Колмогорова стосовно множини функцій розподілу ймовірностей випадкових процесів  в задані моменти часу. Граничні теореми стосовно поведінки випадкових процесів при переході із однієї системи станів в іншу як послідовності подій.  
СРС. ПЗ. К.
 
4 тиждень 
 
Л4. Застосування граничних теорем теорії ймовірностей при аналізі динаміки розвитку випадкових процесів при переході випадкових процесів із однієї множини станів в іншу систему. Одномірні та багатомірні функції розподілу ймовірностей випадкових процесів в задані моменти часу та їх параметри.
ПЗ. К.
 
5 тиждень 
 
Л5.Аналіз динаміки формування розрізів та траєкторій випадкових процесів згідно їз задании умовами та можливості застосування    інтегральних теорем теорії ймовірностей при умові використання нормального закону.  Багатомірна граничні теореми та проблеми їх застосування в методах аналізу переходу випадкового процесу їх одного стану в інший.  Теорема Пуассона.
СРС. К. 
 
6 тиждень 
 
Л6. Випадкові процеси  та особливості їх формування їх характеристик. Функція розподілу ймовірностей випадкового процесу та її властивості при заданих значеннях  математичного сподівання та коефіцієнта коваріації. Функція щільності випадкових процесів та умови її існування.  Основні закони розподілу ймовірностей випадкових процесів  та їх застосування. 
ПЗ. К 
 
7 тиждень 
 
Л7.Моменти високих порядків випадкових процесів  та залежності між ними.  Автокореляційна функція одномірних випадкових процесів  та її обчислення. Коваріаційна та кореляційна функції та їх властивості як міри стаціонарності або нестаціонарності.            МКР. К
 
8 тиждень 
 
Л8 Закон великих чисел та умови його виникнення в випадкових процесах. Багагатомірна автокореляційна функція випадкового процесу  та необхідні умови її застосування. Алгоритми обчислення коваріаційної та кореляційної матриць випадкових процесів  та їх застосування. Необхідні та достатні умови існування закону великих чисел.                                                                    ПЗ.СРС. 
 
9 тиждень  
 
Л9. Нерівнісь Чебишева та теорема Чебишева та їх застосування в випадкових процесах. Методи аналізу динаміки зміни значень характеристик випадкових процесів на основі закону великих чисел..
 СРС. К. 
 
10 тиждень  
 
Л 10.Застосування закону великих чисел. Методи аналізу багатомірних випадкових процесів на основі закону великих чисел. Застосування теорії груп при аналізі циклічних фрагментів випадкових процесів та їх обчислювальна складність.
ПЗ.К.
 
11 тиждень 
 
Л 11.Гауссовські випадкові процеси та їх властивості. Броуновські випадкові процеси та умови їх виникнення. Посилений закон великих чисел та його застосування. Математичні методи апроксимації багатомірних випадкових процесів  на основі закону великих чисел. 
СРС. К. 
 
12. тиждень 
 
Л 12.Теорема Гливенко та її застосування при відновлені функції розподілу ймовірностей випадкового процесу  на основі закону великих чисел. Гільбертові процеси  та їх  застосування в теорії апроксимації  функцій розподілу ймовірностей. 
ПЗ. К. 
 
13 тиждень 
 
Л 13.Характеристичні функції та їх властивості. Застосування характеристичних функцій в теорії  при оцінювані характеристик випадкових процесів.  Алгоритми побудови ефективної апроксимації функцій розподілу ймовірностей випадкових процесів в методах прогнозування динаміки їх  розвитку на перспективу. Технології застосування пакетів Statistica, Maple при моделюванні та аналізі динаміки розвитку випадкових процесів
СРС.Кз. 
 
14 тиждень 
 
Л 14  Відновлення функцій розподілу ймовірностей на основі їх характеристичних функцій. Відновлення функцій щільності та умови їх існування на основі характеристичних функцій. Поліноміальні моделі випадкових процесів на основі базисів Грьобнера з застосуванням прикладних програм. 
ПЗ. К. 
 
15 тиждень 
 
Л 15 Граничні теореми в теорії випадкових процесів    та їх застосування. Пряма  теорема в теорії характеристичних функцій випадкового процесу та її обчислювальна складність. Методи застосування пакету прикладних програм Wolfram Mathematic. 
 
 
Індивідуальна робота
 
Виконується РГР. 
 
Мета РГР:
Набуття загальних та спеціальних компетентностей  майбутніх бакалаврів, поглиблення теоретичних знань в галузі придбання практичних навичок стосовно застосування сучасної теорії груп при створені систем побудови генераторів псевдовипадкових чисел в максимальній мірі наближених до ймовірнісної  моделі та вирішені проблеми дискретного логарифма.. 
 
1–7 тижні
 
Отримання завдання. виконання розрахунків: знаходження пов’язаних з заданим простим числом послідовності значень дискретного логарифма та організації пошуку значення яке відповідає даним умовам.
 
8–14 тижні
 
Розв'язання п'яти задач з розрахунку  найбільш складних варіантів вибору первісних коренів як основи методу використання складних траєкторій при умові що використовуються великі прості числа.
 
15 тиждень
 
Захист роботи.
 
 
Самостійна робота 
 
Самостійна робота складає 44 годин. 
Підготовка до лекційних занять 20 годин. 
Підготовка до практичних занять та до виконання індивідуальних контрольних робіт разом 22 годин. 
 
Процедура оцінювання
 
Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та практичних занять виконують дві модульні контрольні роботи   Для забезпечення оперативного контролю за успішністю та якістю рівня навчальних досягнень здобувачів вищої освіти дисципліна поділяється на два семестрові модулі  Кожний модуль оцінюється у 50 балів ..Модульні контрольні роботи номер 1 та номер 2 виконуються в письмовій формі. Модульна контрольна робота складається з теоретичної частини ( 2 запитання ) та практичної частини ( 1 задача ). Відповідь на кожне питання оцінюється максимум 10 балами. Правильне розв’язання задачі оцінюється в 5 балів. Кожний модуль оцінюється максимально в 50 балів.
 
 
Семестровий модуль № 1
 
Кз1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 5 тиждень.
МК1. Модульна контрольна робота – 25 балів (8 тиждень). Перескладання можливе протягом 9–11 тижнів за розкладом консультацій.

Семестровий модуль № 2
 
Кз3. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 10 тиждень.
Кз4. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 13 тиждень.
МК2. Модульна контрольна робота – 25 балів (15 тиждень).
 
Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
 
Підсумковим контролем з дисципліни є усний залік  який складається з теоретичної частини (2 запитання) та практичної частини (1 задача). Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання заліку становить 100 балів. 
 
Умови допуску до підсумкового контролю
 
До заліку допускаються здобувачі вищої освіти, які виконали всі види навчальних елементів навчальної дисципліни на не менш, ніж на 60 %.
Залік відбувається за всіма тематичними (змістовними) модулями дисципліни.

Складання/перескладання заліку організується за встановленим навчальним відділом  розкладом.
 
 
Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності. 

Виконаний не свій варіант завдання здобувачем не оцінюється.
 
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
 
Відсутність здобувача на заліку або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
 
Складання/перескладання заліку – за встановленим деканатом розкладом.
 
Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.

 
Заборонено використання будь-яких підручників, посібників, конспектів лекцій, шпаргалок під час проходження модульних контролів та складання заліку з дисципліни: Випадекові процеси.