Вища математика 2

Анотація навчальної дисципліни

Мета вивчення дисципліни: забезпечити теоретичну і практичну підготовку здобувачів з формування розвитку логічного і алгоритмічного мислення, вивчення основ математичного апарату, який необхідний для розв'язання теоретичних і практичних задач техніки, підвищення загального рівня математичної культури. Навчити студентів самостійно працювати над математичною літературою та її застосуванням, здобути навички математичного дослідження прикладних задач і вміти будувати математичні моделі технічних завдань.

Практичне значення та використання отриманих знань. Знати теоретичні основи вищої математики та практичні методи розв’язування відповідних задач. Обирати методи зведення реальної задачі до математичної моделі та застосовувати їх з метою дослідження та аналізу. Використовувати математичний апарат, що до питань, пов’язаних зі спеціальністю та літературу з прикладних питань математики, довідники, таблиці.

Основні результати навчання

ПРН1. Застосовувати знання основних форм і законів абстрактно-логічного мислення, основ методології наукового пізнання, форм і методів вилучення, аналізу, обробки та синтезу інформації в предметній області комп'ютерних наук.
ПРН2. Використовувати сучасний математичний апарат неперервного та дискретного аналізу, лінійної алгебри, аналітичної геометрії, в професійній діяльності для розв’язання задач теоретичного та прикладного характеру в процесі проектування та реалізації об’єктів інформатизації.

Тематика та види навчальних занять

1 тиждень.
Лекція 1. Дослідження функції однієї змінної за допомогою похідної. Теореми Ферма і Ролля. Теореми Коші і Лагранжа. Правило Лопіталя. Монотонність функції. Екстремум функції. Необхідні та достатні умови екстремуму функції. Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Опуклість графіку функції. Точки перегину. 
Практичне заняття 1. Правило Лопіталя. Зростання та убування функцій. Максимум і мінімум. Найбільше і найменше значення на відрізку.
Отримання завдання на розрахунково-графічну роботу. 
Самостійна робота здобувача. Консультація.

2 тиждень.
Лекція 2. Асимптоти графіку функції. Формула Тейлора. Формула Маклорена.
Практичне заняття 2. Загальна схема дослідження функції та побудова графіку. Розвинення за формулами Тейлора і Маклорена основних елементарних функцій.
Контрольне завдання 1. Диференціальне числення функції однієї змінної та його застосування.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: застосування похідних до дослідження функцій. 
Самостійна робота здобувача. Консультація.

3 тиждень.
Лекція 3. Функції багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних. Рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні.
Практичне заняття 3. Знаходження області визначення функції багатьох змінних. Обчислення частинних похідних. Частинні похідні і диференціали вищих порядків. 
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: застосування похідних до дослідження функцій. 
Самостійна робота здобувача. Консультація.

4 тиждень.
Лекція 4. Екстремум функції багатьох змінних. Стаціонарні точки. Необхідні умови екстремуму. Достатня ознака безумовного екстремуму в стаціонарній точці. Найбільше та найменше значення функції в обмеженій області.
Практичне заняття 4. Знаходження критичних точок і визначення екстремуму функції багатьох змінних.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: застосування похідних до дослідження функцій. 
Самостійна робота здобувача. Консультація.

5 тиждень.
Лекція 5. Первісна. Невизначений інтеграл. Властивості. Таблиця інтегралів. Безпосереднє інтегрування. Заміна змінної у невизначеному інтегралі. Інтегрування частинами. 
Практичне заняття 5. Табличні інтеграли. Заміна змінної. Інтегрування частинами.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: застосування похідних до дослідження функцій. 
Самостійна робота здобувача. Консультація.

6 тиждень.
Лекція 6. Методи інтегрування (продовження ). Знаходження інтегралів, що містять квадратний тричлен. Інтегрування раціональних дробів. Інтегрування тригонометричних функцій. Інтегрування ірраціональностей за допомогою тригонометричних підстановок. Інтеграли, що не виражаються через елементарні функції.
Практичне заняття 6. Інтегрування дробово-раціональних і деяких ірраціональних функцій. Інтегрування тригонометричних функцій. Тригонометричні підстановки для деяких ірраціональностей.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: застосування похідних до дослідження функцій. 
Самостійна робота здобувача. Консультація.
7 тиждень.
Лекція 7. Задачі, які приводять до поняття визначеного інтеграла. Означення та основні властивості визначеного інтеграл. Інтеграли зі змінною верхнею межею. Теорема про диференціювання інтегралів зі змінною верхнею межею. Формула Ньютона-Лейбніца.
Практичне заняття 7. Формула Ньютона-Лейбніца. Заміна змінної і інтегрування частинами у визначеному інтегралі.
Контрольне завдання 2. Інтегральне числення функції однієї змінної.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: застосування похідних до дослідження функцій. 
Самостійна робота здобувача. Консультація.

8 тиждень.
Лекція 8. Застосування визначеного інтеграла. Обчислення площі, довжини дуги, об’єму тіла обертання.
Практичне заняття 8. Геометричні застосування визначеного інтеграла.
Модульна контрольна робота 2.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: функціональні ряди та звичайні диференціальні рівняння. Їх застосування у прикладних дослідженнях.
Самостійна робота здобувача. Консультація.

9 тиждень.
Лекція 9. Невласні інтеграли. Означення невласних інтегралів 1-го та 2-го роду. Дослідження невласних інтегралів на збіжність.
Практичне заняття  9. Невласні інтегралі 1-ого і 2-ого роду, основні властивості, правила їх обчислення.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: функціональні ряди та звичайні диференціальні рівняння. Їх застосування у прикладних дослідженнях.
Самостійна робота здобувача. Консультація.

10 тиждень.
Лекція 10. Подвійні інтеграли. Означення подвійного інтегралу та умови його існування. Застосування подвійних інтегралів. Простіші властивості подвійного інтегралу. Зведення подвійного інтегралу до повторного. Заміна порядку інтегрування.
Практичне заняття 10. Обчислення подвійних інтегралів.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: функціональні ряди та звичайні диференціальні рівняння. Їх застосування у прикладних дослідженнях.
Самостійна робота здобувача. Консультація.

11 тиждень.
Лекція 11. Поняття про криволінійні координати. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Застосування полярних координат до обчислення подвійних інтегралів.
Практичне заняття 11. Застосування подвійних інтегралів. Циліндричні та сферичні координати.
Контрольне завдання 3. Інтегральне числення функцій багатьох зминних.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: функціональні ряди та звичайні диференціальні рівняння. Їх застосування у прикладних дослідженнях.
Самостійна робота здобувача. Консультація.

12 тиждень.
Лекція 12. Числові ряди. Збіжні та розбіжні ряди. Необхідна ознака збіжності ряду. Достатні ознаки збіжності числових рядів з додатними членами. Знакозмінні ряди. Абсолютна і умовна збіжність. Ознака Лейбніца.
Практичне заняття 12. Збіжні та розбіжні ряди. Гармонічний ряд. Необхідна ознака збіжності ряду. Наслідок. Достатні ознаки збіжності: порівняння Д’аламбера, радикальна і інтегральна ознаки Коші. Знакозмінні ряди. Ознака Лейбніца.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: функціональні ряди та звичайні диференціальні рівняння. Їх застосування у прикладних дослідженнях.
Самостійна робота здобувача. Консультація.

13 тиждень.
Лекція 13. Функціональні ряди. Означення функціонального ряду. Область визначення і область збіжності функціонального ряду. Степеневі ряди. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду та їх знаходження. Властивості степеневих рядів.
Практичне заняття 13. Область визначення і область збіжності функціонального ряду. Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду та їх знаходження. Розвинення функції у степеневий ряд та його застосування до наближених обчислень.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: функціональні ряди та звичайні диференціальні рівняння. Їх застосування у прикладних дослідженнях.
Самостійна робота здобувача. Консультація.

14 тиждень.
Лекція 14. Звичайні диференціальні рівняння. Типи рівнянь першого порядку і методи їх розвязку
Практичне заняття 14. Розв’язки диференціальних рівнянь першого порядку. Задача Коші для ЛНДР першого порядку.
Контрольне завдання 4. Звичайні диференціальні рівняння.
Виконання розрахунково-графічної роботи. Розв’язання прикладів на теми: функціональні ряди та звичайні диференціальні рівняння. Їх застосування у прикладних дослідженнях.
Самостійна робота здобувача. Консультація.

15 тиждень.
Лекція 15. Звичайні диференціальні рівняння вищих порядків. Структура і методи їх розв’язків. Застосування диференціальних рівнянь у прикладних дослідженнях. Системи диференціальних рівнянь і методи їх розв’язку.
Практичне заняття 15. Методи розв’язку звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків і систем ЗДУ першого порядку.
Захист розрахунково-графічної роботи.
Модульна контрольна робота 2.
Самостійна робота здобувача. Консультація.

Самостійна робота здобувача відбувається впродовж семестру та складається з підготовки до аудиторних занять, контрольних заходів, індивідуальних завдань.

Консультації: здійснюються викладачем впродовж семестру згідно розкладу.

Оцінювання результатів навчання

Оцінювання результатів навчання з дисципліни здійснюється за накопичувальною системою, яка дає можливість здобувачеві протягом семестру отримати максимально 100 балів.

Модуль 1
Повне виконання та захист контрольних завдань №№ 1, 2 – по 10 балів за кожну.
Модульна контрольна робота 1 – бездоганне виконання 25 балів (в кожному завданні модульної контрольної роботи наведено максимальну кількість балів за виконання кожного завдання).

Модуль 2
Повне виконання та захист контрольних завдань №№ 3, 4 – по 10 балів за кожну.
Модульна контрольна робота 2 – бездоганне виконання 25 балів (в кожному завданні модульної контрольної роботи наведено максимальну кількість балів за виконання кожного завдання).
Розрахунково-графічна робота – повне виконання і захист оцінюється в 10 балів.

Посилання на рекомендовані джерела

1. Довідник з математики. Частина I. Навчальний посібник з дисципліни "Вища математика". Для студентів технічних спеціальностей за напрямом підготовки 122, 144, 141, 104. / Укл.: Колмакова Л.М., Комарницький О.Л.  Одеса: ОНПУ, 2017.  80 с. Лаб. інф. технологій, рег. № НП08668 від 11.07.2017. 
2. Векторна алгебра. Електронний курс з дисципліни «Вища математика» (презентація). Для студентів технічних спеціальностей дистанційної й заочної форми навчання / Укл.: Колмакова Л.М., – Одеса: ОНПУ, 2017. – 54 с. Відділ технологій дистанційного навчання, рег. № 13/17 від 03.05.2017, розміщ. на ресурсі edu.opu.ua.
3. Матриці. Визначники та системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Електронний курс з дисципліни «Вища математика» (презентація). Для студентів технічних спеціальностей дистанційної й заочної форми навчання / Укл.: Колмакова Л.М., Кузьміна В.М. – Одеса: ОНПУ, 2017. – 44 с. Відділ технологій дистанційного навчання, рег. № 12/17 від 03.05.2017, розміщ. на ресурсі edu.opu.ua.
4. Індівідуальні домашні завдання з дисципліни «Вища математика», розділ «Лінійна алгебра» та методичні вказівки до їх виконання. Для здобувачів вищої освіти усіх форм навчання за спеціальністю 122 – Комп’ютерні науки та інформаційні технології. / Укл.: Л.М. Колмакова, Ю.Є. Сікіраш.  Одеса: НУОП, 2021.  40 с. Рег. номер в журналі обліку 8316-РС-2022.
5. І.І. Литвин, О.М. Конончук, Г.О. Железняк. Вища математика. Навчальний посібник для студентів вищих навчальних закладів. – Київ : Центр учбової літератури, – 2019. – 368 с.