Математичний аналіз 1

Мета вивчення дисципліни: грунтовна математична підготовка здобувачів та наукове обґрунтування ряду питань: поняття функції, границі, неперервності, похідної, інтегралу, формування у майбутніх фахівців повноцінних теоретичних знань та практичних навичок по застосуванню методів математичного аналізу.
Практичне значення та використання отриманих знань: практичне застосування теоретичних положень і математичних методів аналізу для розв’язування задач.
Створення математичної бази для подальшого вивчення нормативних та спеціалізованих дисциплін;
Тематика та види навчальних занять
Для денної форми здобуття освіти
Лекція 1. Дійсні числа. Елементи теорії множин. Поняття відображення або функції. Деякі властивості дійсних чисел. Межі числових множин.
Лекція 2. Границя числової послідовності. Означення числової послідовності. Арифметичні дії над числовими послідовностями. Обмежені і необмежені числові послідовності. Нескінченно малі і нескінченно великі послідовності.
Лекція 3. Збіжні та монотонні послідовності. Збіжні послідовності. Властивості збіжних послідовностей. Граничний перехід у нерівностях. Монотонні послідовності. Число е.
Лекція 4. Підпослідовність числової послідовності. Теорема про вкладені відрізки. Підпослідовність числової послідовності. Теорема Больцано − Вейєрштрасса. Критерій Коші збіжності числової послідовності.
Лекція 5. Границя функції. Означення границі функції в точці за Гейне й за Коші. Односторонні границі. Границя функції на нескінченності. Теореми про границі функцій.
Лекція №6. Нескінченно малі функції. Визначні границі. Нескінченно малі і нескінченно великі функції. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції.
Лекція 7. Основні властивості неперервних функцій. Неперервність функції в точці. Основні властивості неперервних функцій. Класифікація точок розриву функції.
Лекція 8. Основні властивості рівномірно неперервних функцій. Поняття рівномірної неперервності функції. Теорема Кантора про рівномірну неперервність функції. Теорема про неперервність оберненої функції
Лекція 9. Похідна функції однієї змінної. Задачі, що проводять до поняття похідної. Означення похідної. Механічний та геометричний зміст похідної. Односторонні похідні.
Лекція 10. Диференційованість функцій. Диференційовність функції у точці. Похідні елементарних функцій. Похідна оберненої функції.
Лекція 11. Диференціал. Диференціал функції. Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Лейбніца для n-ної похідної добутку двох функцій.
Лекція 12. Основні теореми диференціального числення. Теореми про середнє значення. Розкриття невизначеностей. Правило Лопіталя. Формула Тейлора для довільної функції.
Лекція 13. Монотонні диференційовані функції. Ознака монотонності функції. Екстремальні точки. Необхідні й достатні умови існування екстремуму функції. Знаходження найбільшого й найменшого значення функції на відрізку.
Лекція 14. Дослідження функцій. Опуклість та вгнутість кривої. Точки перегину. Асимптоти графіка функції.
Лекція 15. Загальна схема дослідження функцій і побудови їх графіків.
Практичні заняття
Практичне заняття №1. Властивості множин, скінченність, обмеженість знизу, зверху. Пошук точних верхньої і нижньої меж
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та використовувати поняття обмеженості множини, точних верхньої і нижньої меж для розв’язку задач. Практичне заняття №2. Границя послідовності. Обчислення границі послідовності за визначенням.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати границю послідовності, користуючись лише визначенням.
Практичне заняття №3. Обчислення границі послідовності. Обчислення різноманітних границь послідовностей.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати границі довільних послідовностей.
Практичне заняття №4. Властивості збіжних послідовностей. Перевірка необхідної умови збіжності послідовності, фундаментальності.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та використовувати властивості послідовностей, виходячи з їх збіжності чи розбіжності.
Практичне заняття №5. Границя функції. Обчислення границі функції за визначенням Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та використовувати визначення границі функції по Коші і Гейне для розв’язку задач.
Практичне заняття №6. Обчислення границі функції. Обчислення різноманітних границь функції.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати границі довільних функцій.
Практичне заняття №7. Перша та друга чудові границі. Обчислення границь функцій, які зводяться до першої чудової границі.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та при обчисленні границі функції виділяти першу чудову границю.
Практичне заняття №8. Класифікація точок розриву. Визначення точок розриву функції та їх типів.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та визначати точки розриву функції та проводити класифікацію їх типів.
Практичне заняття №9. Обчислення похідної. Обчислення похідної за правилами обчислення похідної суми, різниці, добутку, відношення функцій.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати похідну функцій за правилами обчислення.
Практичне заняття №10. Логарифмічна похідна. Зясування питання про необхідність і зручність використання логарифимічної похідної, розгляд прикладів різних підходів до обчислення похідної.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати логарифмічну похідну
Практичне заняття №11. Похідна складної функції. Будування складної функції, розкладання її на частки. Обчислення похідної складних функцій різних рівней вкладеності. Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати похідну складної функції.
Практичне заняття №12. Формула Тейлора. Будування розвинення Тейлора с залишковим членом в формі Пеано, в формі Лагранжа.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати та будувати розвинення Тейлора для функції .
Практичне заняття №13. Локальний екстремум функції. Знаходження локального екстремума функції за допомогою необхідної та першої достатньої умови локального екстремума.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати та знаходити екстремум функції
Практичне заняття №14. Найбільше і найменше значення функції. Знаходження найбільшого і найменшого значення функції, яка є неперервною на сегменті, користуючись поданим алгоритмом.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати та знаходити найбільше і найменше значення функції на відрізку.
Практичне заняття №15. Опуклі функції. Визначення напрямків опуклості та точок перегину функції.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та обчислювати та знаходити точки перегину функції.
Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.
Індивідуальна робота
Для денної форми здобуття освіти
Розрахунково-графічна робота

Мета розрахунково-графічної роботи – систематизувати, розширити та закріпити теоретичні знання здобувачів з дисципліни «Математичний аналіз» розділів «Границя функції. Похідна функції».
Здобувач отримує завдання на першому тижні семестру на практичному занятті.
Робота містить 12 завдань, кожне завдання має 30 варіантів.
Змістовна послідовність виконання роботи.
1. Отримання завдання. Виконання розрахунків з першої частини завдання.
2. Виконання розрахунків з другої частини завдання.
3. Захист роботи.
Захист розрахунково-графічної роботи – протягом останнього навчального тижня семестру.
Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання
Для денної форми здобуття освіти

Поточний контроль полягає у виконанні
1) 15-ти індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання виконуються письмово і полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Бездоганне виконання індивідуальних поточних завдань №1-5 оцінюється у 2 бали; №6 -15 оцінюється у 3 бали.
2) розрахунково-графічної роботи. Бездоганне виконання оцінюється у 20 балів.
3) двох модульних контрольних робіт. Модульна робота складається з теоретичної частини (у формі тестових запитань) та практичної частини (2 завдання).
Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 20 балів.
Підсумковий контроль – екзамен. Екзаменаційний білет складається з теоретичної частини (у формі тестових запитань) та практичної частини (2 завдання).
Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.