Теорія ймовірностей та математична статистика 1

Мета дисципліни забезпечити базову підготовку щодо використання методів теорії множин та теорії алгоритмів для описування випадкових подій, побудови сігма алгебр множин складних подій, володіння засобами описування законів розподілу одномірних та багатомірних випадкових величин, володіння методами обчислення характеристик випадкових подій та випадкових величин, уміння застосовувати закон великих чисел при аналізі та обробці випадкових величин. Володіти методами застосування теорії ймовірностей для вирішення прикладних задач. Формування у студентів практичних навичок, які б дали змогу ефективно застосовувати знання та методи з теорії ймовірностей в стохастичних методах оптимізації , оптимальному управлінні, при розвязуванні задач теорії розпізнавня образів , моделюванні складних динамічних систем..
Завдання дисципліни: ознайомити студентів з поняттями: випадковість , комплекс умов формування випадкових подій та величин , сігма алгебра, ймовірністьний простір, система аксіом теорії ймовірностей та її не повнота, міра випадковості, біноміальний та поліноміальний закони розподілу випадкових подій, закон Пуассона, граничні локальна та інтегральна теореми та області їх застосування, випадкові величини та головні класи законів розподілу випадкових величин, методи формування законів розподілу випадкових величин, їх характеристики та властивості, закони великих чисел, необхідні та достатні умови їх виконання, характеристичні функції та їх властивості; сприяти розвитку тих якостей особистості, що мають для майбутнього бакалавра особисте професійне значення в контексті інтеграції у європейський освітній простір.
Тематика та види навчальних занять
Для денної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. Основні поняття та визначення. Математичні основи сучасної теорії ймовірностей. Аксіоматична теорія випадкових подій та її не повнота як фундаментальна основа поглиблення розвитку теорії ймовірностей. Алгоритмічні методи представленя множин сігма алгебр. Відображеня множин вмпадкових подій на основі теорії ймовірностного простору. Алгебраїчні методи аналізу множин випадкових подій та обчислення їх ймовірностей. Теорема пової ймовірності та теорема Байеса.
Лекція 2. Обчислення ймовірностей з використаннями формули Байеса. Застосування формули повної ймовірності та формули Байеса. Частковий порядок в множинах випадкових подій. Алгоритмічні проблеми упорядоченя. Порядкові структури. Цілком упорядочені множини. Алгорими побудови порядку. Теореми стосовно біноміального та поліноміального законів та проблеми їх обчислення.
Лекція 3. Локальна гранична теорема та її доведення. Глобальна гранична теорема.Структури випадкових подій. Локальна інтегральна гранпча теорема. Глобальна інтегральна гранична теорема. вненями. Висновки із інтегральних теорем та їх застосування. Закон Пуассона та обгрунтування умов його застосування.
Лекція 4. Аксіоматичні методи визначеня випадкових величин. Основні класи випадкових величин , що використовуються в розвязувані прикладних задач. Одномірні та багатомірні випадкові величини. Функція розподілу одномірних величин. Функція щільності розподілу випадкових величин. Дискретниі та безперервниі випадкові величини. Особливості математичного опису функцій розподілу дискретних та безперервних випадкових величин. Інтеграл Стілтьеса та його застосування в теорії ймовірностей.
Лекція 5. Функції від випадкових величин. Визначення закону розподілу випадкових величин які являються функціями випадкових величин з відомим законом розподілу. Нормальний закон розподілу випадкових величин. Одномірна та багатовимірна форми нормального закону розподілу випадкових величин.Властивості нормального закону розподілу випадкових величин. Закони розподілу випадкових величин: хі- квадрат, Стьюдента, Фішера Снедекора.Динамічна теорія випадкових величин.
Лекція 6. Матеиатичне сподівання одномірних та багатовимірних випадкових величин. Властивості математичного сподівання. Методи обчислення математичного сподівання. Дисперсія олномірних та багатовимірних випадкових величин. Властивості дисперсії. Методи обчислення диспесії. Застосування математичного сподівання та дисперсіїї в теоріїї моделювання процесів формування складних систем.
Лекція 7. Моменти високих порядків, коефіціенти кореляції та коваріації Початкові моменти випадкових величин високих порядків та їх властивості. Центровані моменти випадкових величин високих порядків та їх властивості. Взаємозвязок між центрованими та початковими моментами високих порядків та навпаки. Коєфіціенти асиметрії, єксцесу. Проблема існування деяких характеристик випадкових величин. Стохастична залежність між випадковими величинами. Коєфіціент коваріаціїї, властивості та методи його обчислення. Ковариаційна матриця та її властивості. Застосування матриць ковариації та кореляціїї в моделювані складних систем.
Лекція 8. Масові явища та проблеми їх стозастичного аналізу. Проблеми оцінювання статистичних характеристик одномірних та бгатовимірних випадкових величин в масових явищах. Необхідні та достатні умови існуваня функціїї щільності випадковиз величин. Одиничні явища та обмеженість їх як носіїв інформації стосовно властивостей випадкових величин..і.
Лекція 9. Математичні основи закону великих чисел. Історичний розвиток методі які лежать в основі закону великих чисел. Не рівність Чебишева та її доведення. Фундаментальна теорема Чебишева як основа закону великих чисел та її доведення. Методи аналізу структури великих даних та принципиїх формування. Теорема Бернуллі та її доведення. Теорема Пуассона та її доведення. Теорема Маркова як узагальнення ткореми Чебишева..
Лекція 10. Необхідні та достатні умови закону великих чисел. Теорема Бернуллі стосовно узагальнення закону великих чисел. Теорема Маркова та її доведення. Циклічні групи та їх властивості. Алгоритми пошуку циклічних підгруп та їх виділення. Теорема про необхідні та достатні умови виконання закону великих чисел. Застосування необхідних та достатніх умов при аналізі та обробці великих масивів випадкових даних. Методи та алгоритми аналізу багатовимірних випадкових даних які відповідають умовам теореми закону великих чисел.
Лекція 11.Обгрунтування необхідності поглиблення закону великих чисел. Головні недоліки класичної форми закону великих чисел. Розвиток методів ймовірністнього аналізу теорії великих чисел. Нерівність Колмогорова. Довелення теореми про посилений їакон великих чисел. Теорема про закон великих чисел для послідовносткй не залежних випадкових величин. Необхідні та достатні умови виконання посиленого закону великих чисел при уові існування математичного вподівання. .
Лекція 12. Теорема Гливенко та її застосування. Проблема обчислення функціїї розподілу випаднових величи при вілсутності необхідної шрформації. Алгоритмічна складність формулювання гіпотези стосовно математичної форми функції розподілу випадковох величини.Вибіркова функці розподілу випадкової величини. Основні леми доведення теореми Гливенко. Фундаментальна роль теореми Гливенко в сучасній теорії ймовірносткй та математичній статистиці.
Лекція 13. Визначення та властивості характеристичних функцій . Обчислювальні аспекти сучасної теорії ймовірностей. Обгрунтування необхідності створення ефективних методів представлення функцій розподілу випадкових величин. Теореми стосовно властивосткй характеристичних функцій. Базіси Гребнера. Властивості базісів Гребнера. Застосуваня характеристичних функцій в сучасній теорії ймовірностей.
Лекція 14. Формули відновлення функцій розподілу випадкових величин. Базові теореми обчислення функцій розподілу випадкових величин на основі їх характеристичних функцій. Теореми однозначності обчислення функцій розподілу випадкових величин. Розв. Теорема Хеллі та її доведення. Узагальнена теорема Хеллі.
Лекція 15. Граничні теореми для характеристичних функцій. Пряма гранична теорема та її доведення. Додатні за визначенням функції та їх властивості. Характеристичні функції багатовимірних випадкових величин. Алгоритми побудови багатовимірних характеристичних функцій. Перетворення Лапласа-Стілтьеса та його властивості. Головні напрямки використання перетворення Лапласа-Стілтьеса.
Практичні заняття
Практичне заняття №1. Визначеня множин випадкових подій різних класів та алгоритмічні методи аналізу їх представлення та прогнозування.
Мета заняття: Застосування теоріїї алгоритмів для формального алгоритмічного представення множин та їх відображень.
Практичне заняття №2. Детальне вивчення методів упорядкування множин випадкових величин різних класів. Методи побудови функціональної залежності між ними та аналізу структури
Мета заняття: Застосування сучасної теорії множин та теоріїї функцій для побудови відображень множин різних класів в задачах моделювання складних процесів , аналізу та обробки великих масивів випадкових даних
Практичне заняття №3. Основні класи сучасних алгебр які застосовуються при побудові випадкових величин як функцій заданої множини випадкових величин. Фундаментальні класи функцій які застосовуються в таких перетворенях.
Мета заняття: Детальне вивчення основних класів груп та їх стрктур. Дослідження груп операторів, перетворень різних класів, груп перестановок при моделюванні випадкових динамічних процесів, пошуку оптимумів в багато критеріальних задачах.
Практичне заняття №4. Методи побудови багатомірного нормального закону розподілу ймовірностей та його застосування.
Мета заняття: Вивчення методів побудови нових законів розподілу ймовірностей в вигляді функцій щільності розподілу ймовірностей випадкових величин на основі ізоморфізмів та автоморфізмів перетворень для дослідження їх структури
Практичне заняття №5. Придбання навичкі застосування сучасних пакетів прикладних програм Statistica, Wolfram athematca, Maple.
Мета заняття: Придбання навичків використання пакетів прикладних прграм при розвязувані реальних прикладних проблем.
Практичне заняття №6. Класи задач великої складності які вирішуються в процесах застосування пакетів прикладних програм Statistica, Wolfram Mathematica
Мета заняття: Застосування різноманітних схем отримання групових рішень.
Практичне заняття №7. Класи задач великої складності які вирішуються в процесах застосування пакетів прикладних програм Statistica, Wolfram Mathematica
Мета заняття: Застосування різноманітних схем отримання групових рішень.
Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу. Індивідуальна робота
Розрахункова графічна робота виконується у 3 та 4 семестрах з 1 до 14 тижні згідно з графіком навчального процесу. На її виконання відводиться 15 годин індивідуальної роботи студента.
Робота повинна підтвердити опанування студентом дисципліни та прищепити навички самостійного вирішення і дослідженні задач, за допомогою пакетів прикладних програм.
Вихідні дані задаються викладачем.
Захист розрахунково-графічної роботи – протягом останнього навчального тижня семестру.
Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання
Для денної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні
1) 7-ми індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання виконуються письмово і полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Бездоганне виконання індивідуальних поточних завдань №1-№5 оцінюється у 4 бали; індивідуальних поточних завдань № 6, 7 - 5 балів;
2) розрахунково-графічної роботи. Бездоганне виконання оцінюється у 20 балів.
2) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з теоретичної і практичної частин та проводяться у формі тестування. Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 25 балів.
Підсумковий контроль – залік. Мінімальна оцінка, яка дозволяє отримати «зараховано» - 60 балів. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.