Вища математика 3

Мета вивчення дисципліни. Формування комплексу знань щодо основних математичних методів, необхідних для аналізу та моделювання пристроїв, процесів і явищ, пошуку оптимальних рішень і найкращих способів реалізації цих рішень, знання та розуміння законів і методів діяльності у загальнонауковій сфері. Для досягнення мети вивчення дисципліни здобувачі повинні навчитися фундаментальним принципам і методам математичного аналізу фізичних та технічних процесів та явищ, побудові і дослідженню математичних моделей, інтерпретації отриманих результатів, отримати навички у застосуванні математичних методів в різних галузях природознавства і техніки.
Практичне значення та використання отриманих знань. Дисципліна базується на знаннях, отриманих при вивченні шкільного курсу алгебри, геометрії і початків математичного аналізу і є однією з фундаментальних дисциплін у системі підготовки бакалаврів спеціальності 163 – Біомедична інженерія.
Мета практичних занять – закріплення та подальше поглиблення теоретичних знань студента і набуття практичних умінь, що визначені освітньо-професійною програмою напряму підготовки. В результаті вивчення дисципліни студент повинен знати фундаментальні розділи вищої математики в обсязі, необхідному для оволодіння математичним апаратом спеціальних дисциплін та вміти розрізняти типи математичних тверджень, будувати аналітичні та алгоритмічні моделі задач, узагальнювати та інтерпретувати результати досліджень, оцінювати їхню похибку, користуватися типовими алгоритмами розв’язання задач. Дисципліна має націлити майбутніх фахівців на осмислене і творче застосування отриманих знань в їх практичній діяльності.
Тематика та види навчальних занять
Лекційні заняття
Лекція 1. «Функція багатьох змінних. Диференційованість функцій багатьох змінних. Неперервність функції багатьох змінних. Частинні прирости і частинні похідні першого порядку. Умова диференційованості функції 2-х змінних і її геометричний зміст. Достатня ознака диференційованості функції в точці».
Лекція 2. «Диференціал функції багатьох змінних. Перший диференціал функції багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних. Застосування диференціала до наближених обчислень. Рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні».
Лекція 3. «Екстремум функції багатьох змінних. Умовний екстремум. Метод підстановки знаходження умовного екстремуму. Метод Лагранжа знаходження умовного екстремуму. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції в області».
Лекція 4. «Подвійні інтеграли та їх властивості. Зведення подвійного інтегралу до повторного».
Лекція 5. «Обчислення подвійних інтегралів. Заміна змінних у подвійному інтегралі.
Застосування полярних координат до обчислення подвійних інтегралів».
Лекція 6. «Потрійний інтеграл. Властивості та обчислення потрійних інтегралів. Застосування потрійних інтегралів. Формула Остроградського».
Лекція 7. «Числові ряди. Функціональні ряди. Ознака Вейєрштрасса рівномірної збіжності функціонального ряду. Степеневі ряди. Теорема Абеля та її наслідки».
Лекція 8. «Диференціальні рівняння першого порядку. Задача Коші для диференціального рівняння та її геометричний зміст. Теорема існування розв'язку диференціального рівняння першого порядку. і ті, що зводяться до них
Лекція 9. «Диференціальні рівняння першого порядку. Поняття загального, частинного і особливого розв'язків. Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння».
Лекція 10. «Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Метод Лагранжа розв’язання лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку.
Метод Бернуллі розв’язання лінійних диференціальних рівнянь 1-го порядку.
Рівняння Бернуллі».
Лекція 11. «Диференційні рівняння у повних диференціалах».
Лекція 12. « Диференціальні рівняння вищих порядків, які припускають зниження порядку».
Лекція 13. «Розв‘язання ЛОДР із сталими коефіцієнтами. Метод Ейлера розв‘язання ЛОДР n-го порядку із сталими коефіцієнтами. Метод Лагранжа знаходження частинного розв'язку ЛНДР.».
Лекція 14. «Розв‘язання ЛНДР 2-го порядку із сталими коефіцієнтами. Розв‘язок ЛНДР з сталими коефіцієнтами і спеціальним видом правої частини.
Лекція 15. «Системи диференціальних рівнянь. Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Нормальні системи. Розв‘язання нормальної системи диференціальних рівнянь методом виключення. Застосування диференціальних рівнянь та систем».

Практичні заняття

Практичне заняття №1. «Функція багатьох змінних. Частинні похідні. Диференціал функції багатьох змінних».
Мета заняття. Оволодіти технікою обчислення частинних похідних першого порядку, диференціалу функції багатьох змінних, градієнту функції. Вміти застосовувати диференціал функції багатьох змінних до наближених обчислень. Вміти знаходити та будувати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні.
Практичне заняття №2. «Екстремум функції багатьох змінних».
Мета заняття. Оволодіти навичками знаходження критичних точок і визначення характеру екстремуму. Оволодіти методами Лагранжа і підстановки знаходження умовного екстремуму. Оволодіти навичками визначення найбільшого і найменшого значень функції в області.
Практичне заняття №3. «Подвійні інтеграли та їх властивості. Обчислення подвійних інтегралів. Потрійний інтеграл та його обчислення. Застосування подвійних і потрійних інтегралів».
Мета заняття. Вміти зводити подвійний інтеграл до повторного. Володіти методами обчислення подвійного інтегралу у декартових координатах та вміти обчислювати площі фігур. Володіти методами обчислення подвійного інтегралу у полярних координатах, обчислення об’ємів. Опанувати методом заміни змінних у потрійному інтегралі для його обчислення.
Практичне заняття №4. «Числові ряди. Функціональні ряди. Степеневі ряди».
Мета заняття. Вміти досліджувати на збіжність числові ряди з додатними членами. Володіти навичками дослідження на збіжність знакозмінних числових рядів та методами визначення радіусу, області збіжності степеневого ряду. Вміти використовувати ознаку Вейєрштрасса рівномірної збіжності функціонального ряду. Вміти володіти навичками розвинення функції у степеневий ряд та його застосування до наближених обчислень.
Практичне заняття №5. «Диференціальні рівняння першого порядку. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку».
Мета заняття. Оволодіти методами розв‘язання рівнянь з відокремленими і відокремлюваними змінними, однорідних рівнянь. Вміти володіти методами Лагранжа та Бернуллі розв'язання лінійних рівнянь. Володіти методами розв‘язання рівняння Бернуллі.
Практичне заняття №6. «Диференційні рівняння у повних диференціалах. Диференціальні рівняння вищих порядків. Розв‘язання ЛОДР із сталими коефіцієнтами».
Мета заняття. Оволодіти навиками розвязання диференційних рівнянь у повних диференціалах. Вміти розв’язувати диференціальні рівняння вищих порядків, які припускають зниження порядку та ЛОДР із сталими коефіцієнтами.
Практичне заняття №7. «Розв‘язання ЛНДР 2-го порядку із сталими коефіцієнтами. Системи ДР».
Мета заняття. Вміти користуватися методом Лагранжа для знаходження частинного розв'язку ЛНДР та навчитися розв‘язувати ЛНДР з сталими коефіцієнтами і спеціальним видом правої частини. Вміти розв’язувати системи диференціальних рівнянь першого порядку та нормальної системи диференціальних рівнянь методом виключення. Вміти застосовувати диференційні рівняння та системи для прикладних задач.

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.

Індивідуальна робота

Розрахунково-графічна робота
Мета розрахунково-графічної роботи:
– поглиблення, узагальнення і закріплення знань здобувачів з навчальної дисципліни та застосування методики аналізу завдань, формування вміння самостійно розв’язувати задачі з використанням відомого теоретичного матеріалу, а також закріплення, поглиблення і узагальнення знань і вмінь, отриманих при вивченні дисципліни, самостійно працювати з навчальною літературою і довідковою літературою, використовуючи сучасні інформаційні засоби.
Тематика розрахунково-графічної роботи:
– оволодіти технікою обчислення частинних похідних першого порядку, диференціалу функції багатьох змінних, градієнту функції.
– вміти застосовувати диференціал функції багатьох змінних до наближених обчислень та будувати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні;
– вміти зводити подвійний інтеграл до повторного. Володіти методами обчислення подвійного інтегралу у декартових координатах та вміти обчислювати площі фігур, володіти методами обчислення подвійного інтегралу у полярних координатах, обчислення об’ємів.
– оволодіти методами розв‘язання диференційних рівнянь з відокремленими і відокремлюваними змінними, однорідних рівнянь. Вміти володіти методами Лагранжа та Бернуллі розв'язання лінійних рівнянь. Володіти методами розв‘язання рівняння Бернуллі.

Завдання РГР включає 4 теми:
1. Функції кількох змінних. Частинні похідні (10 завдань).
2. Диференціал функції багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Застосування диференціала до наближених обчислень. Рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні (15 завдань).
3. Подвійні інтеграли та їх застосування (10 завдань).
4. Диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння вищих порядків (10 завдань).
Здобувачі отримують завдання у третьому семестрі на першому практичному занятті.
Розрахунково-графічна робота виконується письмово і захищається на 14 тижні.
Максимальна оцінка за виконання розрахунково-графічної роботи становить 10 балів.

Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання
Поточний контроль полягає у виконанні

1) 7-ми індивідуальних поточних домашніх завдань. Індивідуальні поточні домашні завдання виконуються письмово і полягають в розв'язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Бездоганне виконання 1, 2 та 3-го індивідуального поточного домашнього завдання оцінюється у 2 бали кожне. 4, 5, 6 та 7-ме – у 3 бали. Всього – 18 балів.
2) письмового чи усного опитування за лекційним матеріалом, активна участь у розв’язанні завдань на практичному занятті та виконання самостійної роботи, яка складається з одного чи двох прикладів. 1 та 2 практичне заняття оцінюється у 1 бал, 3 – 7 практичне заняття у 2 бали. Всього – 12 балів.
3) розрахунково-графічної роботи. Бездоганне виконання РГР оцінюється у 10 балів.
4) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з теоретичної і практичної частин та проводяться у письмовій формі. Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 30 балів. Підсумковий контроль – екзамен. Екзамен усний. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.