Теорія ймовірностей та математична статистика 2

Мета дисципліни забезпечити базову підготовку щодо використання методів теорії множин та теорії алгоритмів для описування випадкових подій, побудови сігма алгебр множин складних подій, володіння засобами описування законів розподілу одномірних та багатомірних випадкових величин, володіння методами обчислення характеристик випадкових подій та випадкових величин, уміння застосовувати закон великих чисел при аналізі та обробці випадкових величин. Володіти методами застосування теорії ймовірностей для вирішення прикладних задач. Формування у студентів практичних навичок, які б дали змогу ефективно застосовувати знання та методи з теорії ймовірностей в стохастичних методах оптимізації , оптимальному управлінні, при розвязуванні задач теорії розпізнавня образів , моделюванні складних динамічних систем..
Завдання дисципліни: ознайомити студентів з поняттями: випадковість , комплекс умов формування випадкових подій та величин , сігма алгебра, ймовірністьний простір, система аксіом теорії ймовірностей та її не повнота, міра випадковості, біноміальний та поліноміальний закони розподілу випадкових подій, закон Пуассона, граничні локальна та інтегральна теореми та області їх застосування, випадкові величини та головні класи законів розподілу випадкових величин, методи формування законів розподілу випадкових величин, їх характеристики та властивості, закони великих чисел, необхідні та достатні умови їх виконання, характеристичні функції та їх властивості; сприяти розвитку тих якостей особистості, що мають для майбутнього бакалавра особисте професійне значення в контексті інтеграції у європейський освітній простір.
Тематика та види навчальних занять
Для денної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. Основні поняття та визначення. Математичні основи сучасної математичної статистики.
1.2. Аксіоматична теорія випадкових подій та комплексу умов формування ймовірністних законів їх спостереження. Алгоритмічні методи проведення статистичних випробувань. Репрезентативні вибірки та методи статистичного їх аналізу. Упорядочені вибірки. Статистики як функції оцінювання ймовірностей випадкових подій, параиетрів та характеристик випадкових величин.
Лекція 2. Методи вибору статистик для оцінювання ймовірності випадкових подій та параметрів випадкових величин. Частота як базова статистика оцінювання. Варіанти оцінювання частоти та проблеми повязані з її використанням.. Частковий порядок в множинах статистичних випробувань на множинах випадкових подій. Алгоритмічні проблеми упорядоченя. Статистики для оцінювання математичного сподівання, дисперсії та початкових моментів різних проядків. Статистики для оцінювання центральрих моментів різних порядкі. Злежність між статистиками центральних та початкових моментів.
Лекція 3. Методи статистичного оцінювання характеристик багатовимірних випадкових. Стратегії оцінювання параметрів та характеристик багатовимірних випадкових величин. Локальна та глобальна гранична теореми та їх застосування в теорії статистичного оцінювання. Статистики для оцінювання коєфіціента коваріації. Властивості статистичних оцінок коєфіціентів кореляції. Оцінювання коваріаційної матриці та його властивості . Статистики для оцінювання кореляційної матриці.
Лекція 4. Властивості статистичних точкових оцінок. Обгрунтованість крпкових статистичних оцінок. Ймовірнісьтні методи доведення обгрунтованості статистичних оцінок. Не зміщений характер токовихстатистичних оцінок. Властивості статистичних оцінок дисперсії. Корегування статистичних оцінок дисперсії. Ефективні статистичні оцінки. Методи пошуку ефективних статистик для оцінювання характеристик випадкових величчин. Метод максимальної правдоподібності. Особливості математичного опису алгоритмів оцінювання функцій розподілу випадкових дискретних та безперервних випадкових величин. Інтеграл Стілтьеса та його застосування в математичній статистиці.
Лекція 5. Методи максимальної правдоподібності та моментів Функції максимальної правдоподібності. Методи вибору функцій максимальної правдоподібності. Алгоритми пошуку ефективних статистик на основі метода максимальної правдоподібності. . Визначення закону розподілу випадкових величин які являються функціями випадкових величин з відомим законом розподілу. Обгрунтування методу моментів в багатовимірному випадку.Нормальний закон розподілу випадкових величин. Одномірна та багатовимірна форми нормального закону розподілу випадкових величин.Властивості нормального закону розподілу випадкових величин. Оцінювання параметрів нормального закону розподілу випадкових величин. Метод Байєса в теорії статистичного оцінювання та його застосування.Особливості статистичного оцінювання законів розподілу випадкових величин: хі- квадрат, Стьюдента, Фішера-Снедекора. Динамічна природа статистичних методів точкового оцінювання характеристик випадкових величин.
Лекція 6. Довірювальні інтервали статистичного оцінювання. Довірювальні інтервали та області. Математичне обгрунтування основних стратегій побудови довірювальних інтервалів. Аналіз багатовимірювального аипадку побудови довірювальної області. Матеиатичне сподівання одномірних та багатовимірних випадкових величин та алгоритми побудови їх довірювальних областей. Дисперсія олномірних та багатовимірних випадкових величин. Проблеми побудови довірювальних інтервалів для нормально розподілених випадкових величин. Алгоритм побудови довірювального інтервалу для дисперсії в одномірному випадку. Довірювальний інтервал для оцінювання ймовірності випадкових подій. Номограмна процедура інтервального оцінювання ймовірності випадкових подій Аналітичний метод побудови довірювального інтервалу для ймовірності випалкових полій.
Лекція 7. Моменти високих порядків, коефіціенти кореляції та коваріації. Початкові моменти випадкових величин високих порядків та їх властивості. Центровані моменти випадкових величин високих порядків та їх властивості. Алгоритми побудови довірювальних інтервалів для моментів високих порядків. Взаємозвязок між центрованими та початковими моментами високих порядків та навпаки. Коєфіціенти асиметрії, єксцесу таалгоритми побудови їх довірювальних інтервалів. Проблема оцінювання довірювальних інтервалів для складних характеристик випадкових величин. Стохастична залежність між випадковими величинами. Коєфіціент коваріаціїї, властивості та методи його обчислення. Ковариаційна матриця та її властивості. Застосування матриць ковариації та кореляціїї в моделювані складних систем. Ефективні статистики для інтервального оцінювання коваріаційних матриць.
Лекція 8. Статистичне обгрунтування закону великих чисел. Масові явища та проблеми їх стохастичного аналізу. Проблеми оцінювання статистичних характеристик одномірних та бгатовимірних випадкових величин в масових явищах. Необхідні та достатні умови для розвитку стратегії перевірки статистичних гіпотез в терії статистичного оцінювання функціїї щільності випадковиз величин. Одиничні явища та обмеженість їх як носіїв інформації стосовно властивостей випадкових величин. Статистичні основи закону великих чисел та їх використання для розвитку методів побудови алгоритмів ефективних багатовимірних інтервальних статистик оцінювання параметрів нормального закону розподілу ймовірностей.
Лекція 9. Основи математичної теорії перевірки статистичних гіпотез. Алгоритми перевірки статистичних гіпотез стосовно значеь параметрів законів розподілів випадкових величин.Методи порівнювання параметрів законів розподілу. Порівнювання значень двох середніх шляхом перевірки статистичних гіпотез. Порівнювання оцінок математичних сподівань при відомих значеннях дисперсій. Перевірка статистичних гіпотез відносно рівності оцінок двух математичних сподіань при невідомих значеннях їх дисперсій. Порівнювання оцінок математичних сподівань при невідомх рвних дисперсіях.
Лекція 10. Критерії перевірки статистичних. Критерії Кохрана-Кокса, Сатервайта, Стьюдента , Уєлча. Модифікований критерій Стьюдента. Критерій Уолша побудований на теорії порядкових статистик. Аналіз динаміки розвитку необхідних та достатніх виконання умов критеріїв. Дисперсійний критерій перевірки статистичних гіпотез. Послідовні методи перевірки статистичних гіпотез. Послідовний аналіз Вальда. Фундаментальна теорема необхідних та достатніх виконання умов статистичних критеріїв перевірки гіпотез. Метод перевірки гіпотез стосовно значень параметрів експоненційного закону розподілу випадкових величин. Перевірка статистичних гіпотез стосовно значень параметрів біноміального закону розподілу випадкових величин. Теорема Гливенко та її застосування при перевірці статистичних гіпотез стосовно закону розподілу випадкових величин в загальному випадку. Повна схема застосування теореми Гливенко. Фундаментальна роль теореми Гливенко в математичній статистиці.
Лекція 11. Непараметричні критерії однорідності даних. Обгрунтування необхідності введення непараметричних методів перевірки статистичних гіпотез. Непараметричні методи оцінки величини зсуву. Порівнювання параметрів зсуву двох послідовностей статистичних даних. Ранглві критерії зсуву та їх застосування. Алгебраїчний метод Ван дер Вардена. Тренд сатистичних даних. Головні методи аналізу величини тренду в статистичних даних. Статистичні методи аналізу величини тренду. Залежність між характеристичними функціями та функціями розподілу випадкових величин та її вплив на величину ефективності прогнозу.
Лекція 12. Методи дослідження впливу постороніх. Основи дисперсійного аналізу Базова теорема для обчислення динаміки зміни величини дисперсії функцій розподілу випадкових величин під впливом різноманітних не контрольованих факторів впливу. Алгоритмічна обгрунтованість однозначного обчислення функції міри стохастичної залежноті між випадковими величинами. Багатофакторний дисперсійний аналіз. Непараметричний дисперсійний аналіз для неповних даних.
Лекція 13. Математичні основи кореляційного аналіз. Класичний кореляційний аналіз нормально розподілених випадкових величин. Оцінювання кореляційного відношення. Непараметричний кореляційний аналіз.. Коефіціент кореляції згідно Ван дер Вардену. Статистичне оцінювання кореляції між якісними ознаками. Коефіціент кореляції згідно Спірмену. Часткова та множинна кореляція. Коефіціент автокореляції. Коефіціент рангової кореляції. Зворотня гранична теорема та її застосування. Доведення зворотньої теореми. Прикладні задачі використання зворотньої теореми. Багатовимірний кореляційний аналіз. Застосуваня кореляційного аналізу в структурній теорії обробки складних багатовимірних даних.
Лекція 14. Прикладний регресійний аналіз. Попередня інформація стосовно проблеми пошуку функціональних зв’язків між складно організованими даними. Розширений варіант аналізу стохастичних функцій. Матрична теорія опису функцій між змінними різної природи. Метод найменьших квадратів та його математичне обгрунтування. Прямолінійна залежність між змінними випадковими величинами. Оцінювання коефіціентів лінійної регресії методом найменьших квадратів. Багатовимірний регресійний аналіз. Випадок мультиколінеарності, квазімультиколінеарності та шляхи розв’язування даної проблеми. Методи обчислення довірчих інтервалів в регресійному аналізі. Регресійні моделі багатовимірних випадкових процесів. Головні напрямки розвитку регресійного аналізу. Критерії ефективності регресійних моделей.
Лекція 15. Нелінійний регресійний аналіз. Нелінійні стохастичні процеси. Багатовимірні нелінійні стохастичні процеси. Нелінійна модель регресійного аналізу. Структурна теорія оцінювання коефіціентів нелінійної регресійної моделі. Математичні проблеми оцінювання параметрів нелінійних регресійних моделей. Сінгулярне розкладання матриць статистичних багатовимірних даних у випадку поганої обумовленості матриці випадкових даних. Застосування нелінійних регресійних моделей в сучасній теоріїї Big Data Science.
Практичні заняття
Практичне заняття №1. Визначеня множин різних класів та алгоритмічні методи їх представлення
Мета заняття: Застосування теоріїї алгоритмів для формального алгоритмічного представення множин та їх відображень.
Практичне заняття №2. Детальне вивчення методів упорядкування множин різних класів. Методи побудови дистрибутивних структур та їх застосування
Мета заняття: Застосування сучасної теорії множин та теоріїї функцій для побудови відображень множин різних класів в задачах моделювання складних процесів , аналізу та обробки великих масивів даних.
Практичне заняття №3. Основні класи сучасних алгебр. Базова теорія груп. Фундаментальні класи груп.
Мета заняття: Детальне вивчення основних класів груп та їх стрктур. Дослідження груп операторів, перетворень різних класів, груп перестановок при моделюванні динамічних процесів, пошуку оптимумів в багато критеріальних задачах
Практичне заняття №4. Методи побудови гомеоморфізмів, ізоморфізмів, автоморфізмів в теорії груп та їх застосувані.
Мета заняття: Вивчення методів побудови відображень груп в вигляді гомеоморфізмів, ізоморфізмів та автоморфізмів для дослідження структур груп при їх застосувані.
Практичне заняття №5. Придбання навичкі застосування сучасних пакетів прикладних програм компютерно алгебри Wolfram athematca, Maple.
Мета заняття: Придбання навичків використання пакетів прикладних прграм при розвязувані реальних прикладних проблем.
Практичне заняття №6. Групові рішення в процесах застосування пакетів прикладних програм.
Мета заняття: Застосування різноманітних схем отримання групових рішень.
Практичне заняття №7. Групові рішення в процесах застосування пакетів прикладних програм.
Мета заняття: Застосування різноманітних схем отримання групових рішень.
Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.
Індивідуальна робота
Розрахункова графічна робота виконується у 3 та 4 семестрах з 1 до 14 тижні згідно з графіком навчального процесу. На її виконання відводиться 15 годин індивідуальної роботи студента.
Робота повинна підтвердити опанування студентом дисципліни та прищепити навички самостійного вирішення і дослідженні задач, за допомогою пакетів прикладних програм.
Вихідні дані задаються викладачем.
Захист розрахунково-графічної роботи – протягом останнього навчального тижня семестру.
Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання
Для денної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні
1) 7-ми індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання виконуються письмово і полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Бездоганне виконання індивідуальних поточних завдань №1-№4 оцінюється у 4 бали; індивідуальних поточних завдань № 5, 6 - 5 балів;
2) розрахунково-графічної роботи. Бездоганне виконання оцінюється у 20 балів.
2) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з теоретичної і практичної частин та проводяться у формі тестування.
Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 25 балів.
Підсумковий контроль – екзамен. Екзаменаційний білет складається з теоретичної частини (3 питання) та практичної частини (1 завдання).
Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.