Обчислювальні методи 1

Мета вивчення дисципліни: формування базових знань методів чисельного розв’язання задач та навичок в застосуванні обчислювальних методів для розв’язування різноманітних задач, вміння вибирати найбільш вдалий спосіб чисельного розв’язування та оцінювати точність отриманого рішення, ефективність та умови збіжності обчислювального процесу.
Практичне значення та використання отриманих знань: теоретична та практична підготовка здобувачів, спрямована на оволодіння сучасними методами обчислювальної математики; оволодіння обчислювальними методами розв’язування прикладних задач та проведення досліджень з використанням чисельних методів; сприяння розвитку тих якостей особистості, що мають для майбутнього бакалавра особисте професійне значення в контексті інтеграції у європейський освітній простір.
Тематика та види навчальних занять
Для денної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. Основні відомості з теорії похибок.
Лекція 2. Обчислювальна похибка та математичні особливості комп'ютерної арифметики. Стійкі та нестійкі алгоритми.
Лекція 3. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР): основні поняття, число обумовленості матриці системи, добре та погано обумовлені СЛАР.
Лекція 4. Прямі методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Особливості застосування прямих методів розв'язування СЛАР на прикладі методу Гаусса.
Лекція 5. Розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь за допомогою LU-розкладання матриці систем лінійних алгебраїчних рівнянь з симетричною додатно визначеною матрицею.
Лекція 6. Чисельні методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь з розрідженими матрицями. Алгоритм розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь методом прогонки та умови стійкості алгоритму.
Лекція 7. Ітераційні методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Основні поняття побудування ітераційного процесу розв'язування СЛАР.
Лекція 8. Метод простої ітерації розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, оцінка похибки розв'язку. Критерій збіжності та достатня умова збіжності метода простої ітерації розв'язування СЛАР.
Лекція 9. Метод Зейделя розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, критерій збіжності методу, оцінка похибки розв'язку.
Лекція 10. Метод релаксації розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь, критерій збіжності методу.
Лекція 11. Градієнтні методи розв'язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Порівняльний аналіз ітераційних методів розв'язування СЛАР.
Лекція 12. Повна та часткова проблеми власних значень. Прямі та ітераційні методи розв'язування проблеми власних значень. Подібне перетворення матриці.
Лекція 13. Степеневий метод розв'язування часткової проблеми власних значень матриці. Метод оберненої ітерації знаходження мінімального за модулем власного значення.
Лекція 14. Ітераційний метод обертань розв'язування проблеми власних значень матриці. Матриці обертань та їх властивості. Алгоритм методу обертань розв'язування повної проблеми власних значень.
Лекція 15. Подібне перетворення матриці з використовуванням ортогональної матриці. QR-алгоритм розв'язування проблеми власних значень та його аналіз.
Практичні заняття
Практичне заняття №1. Абсолютна та відносна похибка. Похибка суми, різниці, добутку та частки.
Мета заняття: Засвоєння основних понять теорії похибок та отримання навичок підрахунку похибки обчислень.
Практичне заняття №2. Метод Гаусса без вибору головного елемента та з частковим та повним вибором головного елемента.
Мета заняття: Навчитися розв’язувати СЛАР методом Гаусса з частковим та повним вибором головного елемента, ознайомитися з труднощами, які виникають під час використовування прямих методів розв’язування СЛАР.
Практичне заняття №3. Розв’язування СЛАР метод квадратного кореня (метод Холеського ). Розв’язування тридіагональних СЛАР методом прогонки.
Мета заняття: Навчитися розв’язувати СЛАР методами Холеського та прогонки, ознайомитися з труднощами, які виникають під час використовування таких методів.
Практичне заняття №4. Розв’язування СЛАР ітераційними методами: метод простої ітерації для СЛАР з діагональною перевагою матриці, для нормальної СЛАР, в загальному випадку.
Мета заняття: Навчитися розв’язувати СЛАР методом простої ітерації, ознайомитися з особливостями застосування методу для різних типів СЛАР.
Практичне заняття №5. Розв’язування СЛАР ітераційним методом Зейделя.
Мета заняття: Навчитися розв’язувати СЛАР методом Зейделя, ознайомитися з особливостями застосування методу Зейделя, перевагами та недоліками.
Практичне заняття № 6. Розв’язування часткової проблеми власних значень степеневим методом.
Мета заняття: Навчитися розв’язувати часткову проблему власних значень матриці за допомогою степеневого методу.
Практичне заняття № 7. Розв’язування повної проблеми власних значень методом обертань. Мета заняття: Навчитися знаходити власні значення та власні вектори матриць за допомогою метода обертань. Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу. Індивідуальна робота
не передбачено. Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання
Для денної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні
1) 7-ми індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання виконуються письмово і полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Бездоганне виконання індивідуальних поточних завдань №1-2 оцінюється у 8 балів; №3-4 оцінюється у 7 балів, №5-7 оцінюється у 10 балів.
2) двох модульних контрольних робіт. Модульна робота складається з теоретичної частини та практичної частини. Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 20 балів. Підсумковий контроль – екзамен.
Екзаменаційний білет складається з теоретичної частини та практичної частини. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.