Основи нелінійної алгебри

Мета дисципліни забезпечити базову підготовку щодо використання методів теорії нелінійної алгебри при створені теоретичних методів побудови дистрибутивних структур упорядкованих множин та моделюванні методів аналізу та обробки складних алгебраїчних динамічних процесів в прикладних галузях. Формування у студентів практичних навичок, які б дали змогу ефективно застосовувати знання та методи з теорії прийняття рішень.
Завдання дисципліни: ознайомити студентів з поняттями: змістовного визначення множин та його недоліками, конструктивними методами визначення множин на основі аксіоматики Цермело-Френкеля, упорядкованими типами множин, основними класами відображень, основами не лінійної алгебри, алгебраїчними системами, дистрибутивними структурами, аксіоматичними формами визначення напівтруп, груп, кілець, тілець, полів, ідеалів, різноманітних відображень на та в однієї алгебри в іншу, методами визначення алгоритмічної складності гомеоморфізмів, ізоморфізмів та автоморфізмів, методами застосування пакетів прикладних програм Wolfram Mathematic, Maple ; навчити користуватися пакетами прикладних програм при розв’язуванні реальних моделювання складних процесів та систем; сприяти розвитку тих якостей особистості, що мають для майбутнього магістра особисте професійне значення в контексті інтеграції у європейський освітній простір.
Тематика та види навчальних занять
Для денної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. Основні поняття та визначення. Математичні основи сучасної нелінійної алгебри. Аксіоматична теорія множин як фундаментальна основа комп’терної алгбри. Алгоритмічні методи представленя множин. Відображеня множин в інективній, сюрективній та біективній формах. Обчислювальна складність методів формального предсталеня множин та функцій відображеня множин. Визначення топологічного простору. Відкриті та замкнуті множини. Задання топології сукупності замкнутих множин.
Лекція 2. Алгоритмічні методи упорядоченя множин. Порядкові типи множин. Частковий порядок. Алгоритмічні проблеми упорядоченя. Порядкові структури. Цілком упорядочені множини. Алгорими побудови порядку. Точкові простори. Кільця та повязані з ними алгебраїчні системи. Аксіоматичні методи визначеня структур множин. .
Лекція 3. Дистрибутивні структури порядку. Структури з доповненями. Дистрибутивні структури. Напівструктури. Приклади напівструктур, структур з доповненями. Булеві алгебри. Точні нижня та верхня грані. Повні стртури. Цілком упорядочені множии. Приклади важливих класів дистрибутивних структур з доповненнями. Застосування теорії структур в задачах аналізу та обробки складно організованих великих масивів даних.
Лекція 4. Основи теорії груп. Аксіоматичні методи визначеня груп. Основні класи груп, що використовуються в розвязувані прикладних задач. Групи операторних перетворень. Групи перестановок. Матричні групи обмеженого порядку. Групи в теорії чисел. Гомоморфізми та ізоморфізми груп. Алгоритми визначеня ізоморфізму груп та їх застосуваня задачах математичного моделюваня. Епіморфізми, мономорфізми та їх застосування в теорії аналізу математичних перетворень.
Лекція 5. Гомоморфні відображеня груп. Гомоморфі відображеня груп із різних класів. Обчисювальна складіність алгоритмів визначеня міри гомоморфності виділених груп. Мультіпликативна теорія чисел. Теорія груп в сучасній теорії чисел. Алгоритми обчисленя значень примітивного кореня за заданою величиною простого числа. Динамічна теорія чисел. Класи натуральних чисел. Класи алгебраїчних чисел на основі еліптичних кривих. Застосування теорії чисел в криптографії та моделювані випадкових процесів, складних систем.
Лекція 6. Підгрупи. Суміжні класи. Фактор-групи та їх застосуваня. Визначеня підгруп. Алгоритми виділеня підгруп з заданими властивостями. Суміжні класи в групах на основі виділених підгруп. Суміжні класи в групах перетворень різних класів. Праві та ліві класи суміжсті. Властивсті класів суміжності комутативних та не комутативних груп. Групи коренів з одиниці з непарним показником та простим показником. Не тривіальні підгрупи та алгоритми їх виділеня. Алгоритми перечисленя усіх підгруп груп обмеженої величини. Таблиці Келлі. Складість пробеми визаченя тотожності слів в групах. Фактор-групи операторів перетворень. Вейвлет перевореня. Перетвореня Фурье. Алгебра вейвлет перетворень різних класів.
Лекція 7. Нормальні дільники в групах. Аналіз фактор-груп груп перестанвок та перетворень. Визначеня нормальних підгруп та їх властивості. Необхідні та достатні умови існуваня нормальних дільників в некомутативних групах. Алоритми пошуку нормальних в групах та їх обчислювальна складність. Фактор-групи нормальних груп. Алоритми виділеня максимальих нормальних підгруп в групах обмеженої потужності. Перестановки над множинами обмеженої потужності. Властивості груп перестановок та області їх застосуваня. Методи аналізу структури нормальних підгруп груп перестановок. Групи перетворень в комплексному просторі. Нормальні підгрупи груп перетворень обмеженої потужності.
Лекція 8. Групи в теорії чисел. Циклічні групи та їх властивості. Алгоритми пошуку циклічних підгруп та їх виділення. Формуваня циклічних груп. Прості групи. Групи створені простими числами. Методи та алгоритми факторизації чисел. Обчилювальна складність алгоритмів розкладання чисел на прості множники. Алгоритми пошуку примітивних коренів згідно заданому базису.
Лекція 9. Гомоморфні відображеня в різних класах груп. Властивості гомоморфних відображень між різними групами. Основні теореми.Одно-однозначні відображеня одніеї групи на та в іншу групу. Властивості одно-однозначних відображень.
Лекція 10. Ізоморфні відображеня.Аналіз структури груп методами ізоморфних відображень групи на себе. Алгоритмічна складність перевірки іоморфності груп обмеженого порядку. Алгоритми побудови ізоморфного відображеня графових структур. Методи виділення в групах підгруп ізоморфних заданій групі.
Лекція 11. Пакети компютерної алгебри Wolfram Mathematica, Maple, Reduce, GP Pari. Обчислювальні аспекти алгебраїчної геометрії та комутативної алгебри. Базіси Грьобнера. Властивості базісів Грьобнера. Застосуваня базисів Грьобнера. Поліноміальні відображеня. Геометричні основи обробки графічної інформації.
Лекція 12. Розширений варіант обчислення базисів Грьобнера. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. Розв’язування систем нелінійних рівнянь над полем раціональних чисел. Знаходження часткових при ділені поліномів та матриць які дозволяють описувати базиси Грьобнера.
Лекція 13. Обчислення базисів Грьобнера над полем раціональних гауссовських чисел.
Лекція 14. Знаходження базових коренів в теорії чисел за допомогою пакета прикладних програм Maple.
Лекція 15. Розвязування задач дискретного логарифмування за допомогою пакета прикладних програм Wolfram Mathematic.
Лабораторні заняття
Лабораторне заняття 1. Визначеня множин різних класів та алгоритмічні методи їх представлення
Мета заняття: Застосування теоріїї алгоритмів для формального алгоритмічного представення множин та їх відображень.
Лабораторне заняття 2. Детальне вивчення методів упорядкування множин різних класів. Методи побудови дистрибутивних структур та їх застосування
Мета заняття: Застосування сучасної теорії множин та теоріїї функцій для побудови відображень множин різних класів в задачах моделювання складних процесів , аналізу та обробки великих масивів даних.
Лабораторне заняття 3. Основні класи сучасних алгебр. Базова теорія груп. Фундаментальні класи груп.
Мета заняття: Детальне вивчення основних класів груп та їх стрктур. Дослідження груп операторів, перетворень різних класів, груп перестановок при моделюванні динамічних процесів, пошуку оптимумів в багато критеріальних задачах.
Лабораторне заняття 4. Методи побудови гомеоморфізмів, ізоморфізмів, автоморфізмів в теорії груп та їх застосувані.
Мета заняття: Вивчення методів побудови відображень груп в вигляді гомеоморфізмів, ізоморфізмів та автоморфізмів для дослідження структур груп при їх застосувані.
Лабораторне заняття 5. Методи побудови гомеоморфізмів, ізоморфізмів, автоморфізмів в теорії груп та їх застосувані.
Мета заняття: Вивчення методів побудови відображень груп в вигляді гомеоморфізмів, ізоморфізмів та автоморфізмів для дослідження структур груп при їх застосувані.
Лабораторне заняття 6. Придбання навичкі застосування сучасних пакетів прикладних програм компютерно алгебри Wolfram athematca, Maple.
Мета заняття: Придбання навичків використання пакетів прикладних прграм при розвязувані реальних прикладних проблем.
Лабораторне заняття 7. Групові рішення в процесах застосування пакетів прикладних програм.
Мета заняття: Застосування різноманітних схем отримання групових рішень
Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.
Індивідуальна робота. Не має
Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання
Для денної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні
1) 7-ми індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань лаборатрних занять. Бездоганне виконання індивідуального поточного завдання №1 оцінюється у 4 бали; індивідуального поточного завдання №2 – 5 балів; індивідуальних поточних завдань № 3, 4, 5, 6 - 6 балів, № 6 – 7 балів;
2) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з теоретичної і практичної частин та проводяться у формі тестування.
Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 30 балів.
Підсумковий контроль – залік. Залік виставляється за результатами роботи студента в семестрі.