Математичні методи та моделювання в розрахунках на ЕОМ

Мета вивчення дисципліни:
Придбання здобувачем вищої освіти теоретичних та практичних знань у галузі ма-тематичного моделювання та використання чисельних методів при виконанні розрахунків на ПЕОМ для успішного рішення комплексних практичних задач при освоєнні спеціаль-них дисциплін та в майбутній інженерній діяльності.

Практичне значення та використання отриманих знань:
Формування знань щодо використання математичної символіки для виразів відно-шень об’єктів обчислювальної математики, вміння використовувати основні поняття та методи чисельних методів математики, вміння проводити необхідні розрахунки для побу-дованих моделей, вміння на основі отриманих знань при вивченні курсу розробити та реа-лізувати програми розрахунку математичних моделей теплотехнічних задач за спеціально-стями, використання на практиці інтегровані пакети програмування, застосовувати їх для вирішення задач математичного моделювання галузі.
Тематика та види навчальних занять

Для денної форми здобуття освіти

Лекційні заняття

Лекція 1. Поняття математичної моделі і моделювання, види моделювання. Класифікація ма-тематичних моделей.
Лекція 2. Загальні підходи до побудови математичних моделей. Способи опису математи-чних моделей. Основні етапи створення математичної моделі.
Лекція 3. Наближене розв’язання алгебраїчних рівнянь. Знаходження інтервалів ізоляції. Метод дихотомії. Метод Ньютона. Метод хорд. Комбінований метод.
Лекція 4. . Розв’язання систем лінійних рівнянь. Метод Крамера. Метод виключення Гауса.
Лекція 5. Розв’язання систем нелінійних рівнянь. Метод простих ітерацій. Умови до вибо-ру функції стиснення. Метод Ньютона.
Лекція 6. Чисельне інтегрування. Постановка задачі чисельного інтегрування. Метод пря-мокутників. Метод трапецій. Метод Сімпсона.
Лекція 7. Розв’язання диференціальних рівнянь. Задача Коші, її геометрична інтерпрета-ція. Геометрична інтерпретація і точність методу. Метод ломаних Ейлера. Модифікова-ний метод Ейлера.
Лекція 8. Розв’язання диференціальних рівнянь. Метод Ейлера-Коши. Метод Рунге-Кутта.
Лекція 9. Постановка задачі апроксимації функцій. Метод найменших квадратів. Визна-чення коефіцієнтів рівняння лінійної регресії. Поліноміальна регресія другої степені (ква-дратична).
Лекція 10. Інтерполяція функцій. Постановка задачі інтерполяції функцій. Вибір інтерпо-ляційної залежності. Інтерполяційний поліном Лагранжа.
Лекція 11. Методи оптимізації. Постановка задачі оптимізації і пошуку екстремуму функ-ції. Класифікація методів пошуку екстремуму функції. Метод повного перебору.
Лекція 12. Мінімізація функцій однієї змінної. Метод дихотомії. Метод золотого перети-ну. Метод чисел Фібоначі.
Лекція 13. Методи спрямованого пошуку екстремуму. Класифікація градієнтних методів. Метод градієнтного спуску. Метод найшвидшого спуску. Метод покоординатного спуску. Умовна мінімізація.
Лекція 14. Формулювання задачі оптимізації. Цільова функція. Обмеження, граничні умови.
Лекція 15. Диференціальні рівняння в часткових похідних. Розв’язання еліптичного дифе-ренціального рівняння в часткових похідних.

Практичні заняття

Практичне заняття № 1. Розв'язання нелінійних рівнянь методами хорд, Ньютона, комбіно-ваним методом.
Мета заняття: Знайти корені нелінійних рівнянь на підставі типових алгоритмів та внутрі-шніх функцій Mathcad.
Практичне заняття № 2. Розв'язання алгебраїчних рівнянь за допомогою вбудованої функ-ції Mathcad.
Мета заняття: Знайти корені алгебраїчних рівнянь на підставі внутрішніх функцій Mathcad.
Практичне заняття № 3. Розв'язання систем лінійних рівнянь.
Мета заняття: Знайти розв'язання систем лінійних рівнянь на підставі типових алгоритмів і внутрішніх функцій Mathcad.
Практичне заняття № 4. Розв'язання систем нелінійних рівнянь.
Мета заняття: Знайти розв'язання систем нелінійних рівнянь на підставі внутрішніх функ-цій Mathcad.
Практичне заняття № 5. Чисельні методи інтегрування. Метод трапецій.
Мета заняття: Обчислити невизначений і визначений інтеграл на підставі типового алго-ритму методу трапецій та внутрішніх функцій Mathcad.
Практичне заняття № 6. Чисельні методи інтегрування. Метод Сімпсона.
Мета заняття: Обчислити невизначений і визначений інтеграл на підставі типового алго-ритму методу Сімпсона та внутрішніх функцій Mathcad.
Практичне заняття № 7. Чисельні методи розв’язання диференціальних рівнянь. Аналітич-не розв'язання задачі Коші.
Мета заняття: Знайти розв’язок задачі Коші для звичайного диференціального рівняння на підставі типових алгоритмів.
Практичне заняття № 8. Чисельні методи розв’язання диференціальних рівнянь за методом Ейлера та за методом Рунге-Кутта.
Мета заняття: Знайти розв’язок задачі Коші для звичайного диференціального рівняння на підставі внутрішніх функцій Mathcad.
Практичне заняття № 9. Чисельні методи розв’язання систем диференціальних рівнянь з фіксованим кроком за методом Рунге-Кутта.
Мета заняття: Знайти розв’язок задачі Коші для системи диференціальних рівнянь на підс-таві внутрішніх функцій Mathcad за методом Рунге-Кутта з фіксованим кроком.
Практичне заняття № 10. Чисельні методи розв’язання систем диференціальних рівнянь зі змінним кроком за методом Рунге-Кутта.
Мета заняття: Знайти розв’язок задачі Коші для системи диференціальних рівнянь на підс-таві внутрішніх функцій Mathcad за методом Рунге-Кутта зі змінним кроком.
Практичне заняття № 11. Чисельні методи розв’язання систем диференціальних рівнянь за методом Булирша-Штера.
Мета заняття: Знайти розв’язок задачі Коші для системи диференціальних рівнянь на підс-таві внутрішніх функцій Mathcad за методом Булирша-Штера.
Практичне заняття № 12. Чисельні методи апроксимації функцій.
Мета заняття: Виконати чисельну апроксимацію функції, яка задана таблицею початкових даних на підставі методу найменших квадратів.
Практичне заняття № 13. Чисельні методи інтерполяції функцій.
Мета заняття: Виконати чисельну інтерполяцію функції, яка задана таблицею початкових даних на підставі методу Ньютона.
Практичне заняття № 14. Чисельні методи розв'язання задач одномірної оптимізації. Ме-тод золотого перетину.
Мета заняття: Знайти найбільше та найменше значення функції на даному проміжку на підставі методу золотого перетину.
Практичне заняття № 15. Чисельні методи розв'язання задач одномірної оптимізації. Ме-тод дихотомії.
Мета заняття: Знайти найбільше та найменше значення функції на даному проміжку на підставі методу дихотомії.

Для заочної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. Поняття математичної моделі і моделювання, види моделювання. Класифікація ма-тематичних моделей.
Лекція 2. Методи оптимізації. Постановка задачі оптимізації і пошуку екстремуму функ-ції. Класифікація методів пошуку екстремуму функції. Метод повного перебору.

Практичні заняття
Практичне заняття № 1. Розв'язання нелінійних рівнянь методами хорд, Ньютона, комбіно-ваним методом.
Мета заняття: Знайти корені нелінійних рівнянь на підставі типових алгоритмів та внутрі-шніх функцій Mathcad.

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.
Індивідуальна робота

Для денної та заочної форми здобуття освіти

Курсова робота
Мета КР: закріплення теоретичних знань, придбаних у результаті вивчення курсу «Математичні методи та моделювання в розрахунках на ЕОМ», та одержання практичних навичок з розв’язання чисельними методами диференціальних рівнянь у частинних похід-них щодо процесів стаціонарної та не-стаціонарної теплопровідності на підставі внутріш-ніх функцій Mathcad
Курсова робота, що виконується здобувачами, складається із наступних етапів:
Етап 1: диференціальне рівняння стаціонарної теплопровідності для однорідної пластини (рівняння Лапласа) і граничні та початкові умови перетворити до стандартної форми Mathcad для використання вбудованої функції relax;
Етап 2: диференціальне рівняння стаціонарної теплопровідності для однорідної пластини (рівняння Лапласа) і граничні та початкові умови перетворити до стандартної форми Mathcad для використання вбудованої функції relax;
Етап 3: Побудувати графічні результати щодо розв’язання рівняння стаціонарної теплоп-ровідності для однорідної пластини;
Етап 4: Скласти програму щодо розв’язання заданого диференціального рівняння нестаці-онарної теплопровідності (поширення тепла) для однорідного стержня (рівняння Фур’є) з урахуванням граничних та початкових умов за явною різницевою схемою Ейлера;
Етап 5: Знайти за допомогою програми наближений розв’язок диференціального рівняння нестаціонарної теплопровідності для однорідного стержня;
Етап 6: Побудувати графічні результати щодо розв’язання рівняння нестаціонарної тепло-провідності та проаналізувати результати.
Етап 7: Створити анімаційний кліп щодо візуалізації процесу поширення тепла в стержні.

Контрольна робота для здобувачів заочної форми освіти
Завдання для виконання контрольної роботи здобувач отримує на установочній лекції.
Робота містить 7 практичних завдань.

Практичне завдання № 1. Розв’язати алгебраїчне рівняння за допомогою вбудованої функ-ції Mathcad.
Практичне завдання № 2. Розв’язати систему нелінійних рівнянь.
Практичне завдання № 3. Виконати чисельне інтегрування за методом трапецій.
Практичне завдання № 4. Виконати чисельне інтегрування за методом Сімпсона.
Практичне завдання № 5. Виконати чисельне розв’язання диференціального рівняння та аналітичне розв’язання задачі Коші.
Практичне завдання № 6. Виконати чисельне р розв’язання диференціальних рівнянь за методом Ейлера та за методом Рунге-Кутта.
Практичне завдання № 7. Виконати чисельну апроксимацію функції, яка задана таблицею початкових даних на підставі методу найменших квадратів.

Термін надання виконаної контрольної роботи на перевірку – не пізніше, ніж за місяць до початку сесії.

Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання

Для денної форми здобуття освіти

Поточний контроль полягає у виконанні:
1) 15-ми індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання викону-ються письмово і полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та за-вдань практичних занять. Бездоганне виконання індивідуального поточного завдан-ня оцінюється у 3 балів. Всього 15 практичних занять – 45 балів.
2) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з тео-ретичної і практичної частин та проводяться у формі комп’ютерного тестування. Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 27,5 балів.
3) виконання курсової роботи оцінюється – 100 балами.
Підсумковий контроль – екзамен. Екзамен усний. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.
Для заочної форми здобуття освіти – контрольна робота
Завдання для виконання контрольної роботи здобувач отримує на установочній сесії
Робота містить 7 практичних завдань.
Бездоганне виконання контрольної роботи оцінюється у 40 балів. Захист контрольної роботи – 40 балів З урахуванням того, що виконання практичного заняття оцінюється у 20 балів , тобто разом – 40+40+20 = 100 балів.