Спецрозділи математики для кібербезпеки

Метою дисципліни «Спеціальні розділи математики» є вивчення студентами  теорії чисел, оволодіння конгруентними обчисленнями для набуття теоретичних знань та практичних навичок розв’язання задач додаткових розділів математики, які не входять до курсу вищої математики,  але використовуються у криптографічних засобах захисту інформації, стеганографії та вивченні ряду спеціалізованих дисциплін за напрямком «Кібербезпека».
    Вивчення дисципліни «Спеціальні розділи математики» надає можливість оволодіння знаннями алгебри полів, груп і кілець та застосування набутих знань до криптування конфіденційної інформації; оволодіння основними відомостями про еліптичні криві дасть можливість освоєння принципів побудови криптосистем на еліптичних кривих.  
Програму побудовано за вимогами кредитно-модульної системи організації навчального процесу у закладах вищої освіти (ЗВО), рекомендованої Європейською Кредитно-Трансферною Системою (ЄКТС). 
Задачі вивчення дисципліни:
– оволодіння певною системою теоретичних знань та практичних навичок в сфері додаткових розділів математики, які не вивчаються в курсі вищої математики;
– оволодіння методами розв’язання задач, які зводяться до конгруентних рівнянь та систем конгруенцій;
– оволодіння теоретичною  та практичною частиною з метою застосування до вирішення задач криптографії; 
– оволодіння знаннями для подальшого застосовувати теорії та методів спеціальних розділів математики в сфері кібербезпеки.

Практичне значення та використання отриманих знань. 
– майбутні фахівці зможуть опанувати сучасні підходи до рішення проблем кібербезпеки, зможуть проводити наукові дослідження, спрямовані на застосування досконалих алгебраїчних конструкцій у системах захисту інформації. 
– майбутні фахівці зможуть застосовувати отримані знання для проєктування криптографічних та стеганографічних підсистем сучасних систем захисту інформації. 
– набуті навички дозволять проводити розробку та тестування якості компонентів сучасних криптографічних та стеганографічних алгоритмів. 
– отримані під час вивчення дисципліни знання дозволять майбутнім спеціалістам знаходити та усувати вразливості у сучасних криптографічних та стеганографічних системах. 
    Цей курс забезпечує формування компетентностей, необхідних для успішної кар'єри в сфері кібербезпеки, як у науковій, так і практичній діяльності.
    Спрямованість навчальної дисципліни: навчальну дисципліну рекомендовано для вивчення здобувачами першого (бакалаврського) рівня вищої освіти, які навчаються за освітньою програмою «Кібербезпека».

Тематика та види навчальних занять

Для денної форми здобуття освіти.
Лекційні заняття
    Лекція 1.   Елементарні поняття теорії чисел
    Лекція 2.   Найбільший спільний дільник і найменше спільне кратне натуральних чисел
            Лекція 3.   Важливі функції теорії чисел
    Лекція 4.   Мультиплікативні функції  
    Лекція 5.   Конгруентності
    Лекція 6.   Системи конгруенцій
    Лекція 7.   Застосування лінійних конгруенцій та бінарного алгоритму піднесення до степеня в криптосистемі RSA
    Лекція 8.    Квадратичні лишки
    Лекція 9.    Частинні випадки знаходження розв’язків квадратичних конгруенцій
           Лекція 10.   Застосування квадратичних лишків до ймовірнісного криптування
    Лекція 11.   Первісні корені та індекси
    Лекція 12.   Відшукання первісних коренів
    Лекція 13.   Таблиця індексів. Застосування таблиці індексів
    Лекція 14.   Алгоритм Сільвера-Поліга-Хелмана
    Лекція 15.   Криптосистема Ель-Гамаля

Лабораторні заняття

Лабораторне заняття 1.    Алгоритм Евкліда. 
Мета лабораторного заняття: В лабораторній роботі набуваються навички визначення подільності суми, різниці і добутку чисел, застосовуються загальні ознаки подільності Паскаля, визначаються прості і складені числа, вивчаються властивості простих чисел, будується решето Ератосфена, знаходяться спільне кратне, найменше спільне кратне, спільний дільник, найбільший спільний дільник кількох натуральних чисел   за їх канонічним розкладом. Набуваються навички знаходження НСД і НСК за  алгоритмом Евкліда. 
    Лабораторне заняття 2. Мультиплікативні функції.
Мета лабораторного заняття: В лабораторній роботі досліджуються та засвоюються властивості функцій  τ(n)  і  σ(n), функції Ейлера, Мебіуса. Перевіряється тотожність Гауса.  
    Лабораторне заняття 3. Повна та зведена система лишків.
Мета лабораторного заняття: В лабораторній роботі визначаються повні системи лишків за модулем, обчислюються системи лишків за допомогою теореми Ейлера. Перевіряється простота та псевдопростота числа за теоремою Ферма.
    Лабораторне заняття 4. Лінійні конгруенції.
Мета лабораторного заняття: В лабораторній роботі розв’язуються лінійні конгруенції за допомогою повної системи лишків, теореми Ейлера, ланцюгових дробів
    Лабораторне заняття 5. Системи лінійних конгруенцій.
Мета лабораторного заняття: В лабораторній роботі розв’язуються системи лінійних конгруенцій з використанням Китайської теореми про лишки. Розв’язуються завдання піднесення числа до степеня за модулем за допомогою теореми Ейлера та бінарного методу.
    Лабораторне заняття 6. Криптосистема RSA. 
Мета лабораторного заняття: В лабораторній роботі застосовуються лінійні конгруенції та бінарний алгоритм піднесення до степеня в криптосистемі RSA
    Лабораторне заняття 7. Квадратичні лишки.
Мета лабораторного заняття: В лабораторній роботі визначаються квадратичні лишки і нелишки за модулем з використанням символу Лежандра та Якобі. Розглядаються частинні випадки знаходження розв’язків квадратичних конгруенцій. Застосовуються квадратичні лишки до ймовірнісного криптування.

Для заочної форми здобуття освіти

Лекційні заняття

Лекція 1.   Конгруентності
Лекція 2.   Системи конгруенцій

Лабораторні заняття

Лабораторне заняття 1. Лінійні конгруенції.
Мета лабораторного заняття: В лабораторній роботі розв’язуються лінійні конгруенції за допомогою повної системи лишків, теореми Ейлера, ланцюгових дробів
    Лабораторне заняття 2. Системи лінійних конгруенцій.
Мета лабораторного заняття: В лабораторній роботі розв’язуються системи лінійних конгруенцій з використанням Китайської теореми про лишки. Розв’язуються завдання піднесення числа до степеня за модулем за допомогою теореми Ейлера та бінарного методу.
Консультації здійснюються впродовж семестру, згідно встановленого розкладу.
 

6 Індивідуальна робота

При вивченні дисципліни «Спеціальні розділи математики» індивідуальна робота не передбачена навчальним планом

 Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання
Для денної форми здобуття освіти
В організації навчального процесу при вивченні дисципліни застосовується модульний,  поточний та підсумковий контролі. Модульний контроль полягає у виконанні двох модульних контрольних робіт; поточний контроль полягає у виконанні поточних лабораторних робіт, контрольних опитувань теоретичного плану. Підсумковий контроль виконується у формі диференційованого заліку.
Модульні контрольні роботи (МКР) виконуються у письмовій формі. Максимальна оцінка за бездоганне виконання МКР становить 20 балів. МКР складається з теоретичної частини (у формі двох відкритих запитань) та практичної частини (у формі 2 задач). Якщо остаточна кількість балів, що набрана здобувачем за МКР, має неціле значення, вона округлюється в бік збільшення.
Накопичувальна частина дисципліни складається з контрольних робіт теоретичного плану та виконання практичних робіт.
Контрольне опитування теоретичного плану включає в себе 1 роботу в семестровому модулі № 1 і 1 роботу в семестровому модулі № 2. Кожна з робіт максимально оцінюється в 3 бали і вважається зарахованою, і не підлягає перескладанню, якщо здобувач отримав не менше 60% від максимально можливої кількості балів за роботу.
Лабораторні роботи здобувачі виконують за темою матеріалу, що розглядається. Виконання всіх поточних лабораторних робіт оцінюється максимально в 24 бали за семестр. Оцінка за виконання лабораторних робіт 1-4  оцінюється по 3 бали кожна, лабораторні 5-7 по 4 бали кожна.
 Підсумковий контроль здійснюється у формі диференційованого заліку. Оцінка за семестр з навчальної дисципліни «Спеціальні розділи математики» виставляється після закінчення її вивчення (до початку екзаменаційної сесії) за сумарними результатами поточного контролю. Якщо здобувач вищої освіти отримав недостатню кількість балів з навчальної дисципліни, він має право на перескладання дисципліни до початку наступного навчального семестру.
Для заочної форми здобуття освіти
Контрольні заходи складаються з контрольної роботи та практичних робіт. Підсумковий контроль передбачає диференційований залік.
Захист контрольної роботи. Бездоганне виконання контрольної роботи оцінюється у 50 балів. При її захисті здобувач вищої освіти може отримати до 50 балів.
Накопичувальна частина дисципліни складається з виконання практичних робіт, виконання всіх робіт оцінюється максимально в 50 балів за семестр. Оцінка за виконання кожної практичні роботи становить: 25 балів.
Підсумковий контроль виконується у формі диференційованого заліку. Оцінка за семестр виставляється за сумарними результатами поточного контролю. Максимальна оцінка, яку може отримати здобувач вищої освіти ― 100 балів.