Основи нелінійної алгебри

Мета дисципліни забезпечити базову підготовку щодо використання методів теорії нелінійної алгебри при створенні теоретичних методів побудови дистрибутивних структур упорядкованих множин та моделюванні методів аналізу та обробки складних алгебраїчних динамічних процесів в  прикладних галузях. Формування у студентів практичних навичок, які б дали змогу ефективно застосовувати знання та методи з теорії прийняття рішень.
Завдання дисципліни: ознайомити студентів з поняттями: змістовного визначення множин та його недоліками, конструктивними методами визначення множин на основі аксіоматики  Цермело-Френкеля, упорядкованими  типами  множин, основними класами відображень, основами не лінійної алгебри, алгебраїчними системами, дистрибутивними структурами, аксіоматичними формами визначення напівгруп, груп, кілець, тілець, полів, ідеалів, різноманітних відображень на та в однієї алгебри в іншу, методами визначення алгоритмічної складності гомеоморфізмів,  ізоморфізмів та автоморфізмів,  методами застосування пакетів прикладних програм Wolfram Mathematica, Maple ; навчити користуватися пакетами прикладних програм при розв’язуванні реальних моделювання складних процесів та систем; сприяти розвитку тих якостей особистості, що мають для майбутнього бакалавра особисте професійне значення в контексті інтеграції у європейський освітній простір.
  Тематика та види навчальних занять

Для денної форми здобуття освіти

Лекційні заняття
Лекція 1. “Основні поняття та визначення. Математичні основи сучасної нелінійної  алгебри. Аксіоматична теорія множин як фундаментальна основа комп'ютерної алгебри. Алгоритмічні методи представлення множин.  Відображення множин в ін'єктивні, сюр'єктивні та бієктивні формах. Обчислювальна складність методів формального представлення множин та функцій відображення множин. Визначення топологічного простору. Відкриті та замкнені множини. Задання топології сукупності замкнених множин”.
Лекція 2. “Алгоритмічні методи упорядочення множин. Порядкові типи множин. Частковий порядок. Алгоритмічні проблеми упорядкування. Порядкові структури. Цілком упорядковані множини. Алгоритми побудови порядку. Точкові простори. Кільця та пов'язані з ними алгебраїчні системи. Аксіоматичні методи визначення структур множин”.          .
Лекція 3. “Дистрибутивні структури порядку. Структури з доповненнями. Дистрибутивні структури. Напівструктури. Приклади напівструктур, структур з доповненнями. Булеві алгебри. Точні нижня та верхня грані. Повні структури. Цілком упорядковані множини. Приклади важливих класів дистрибутивних структур з доповненнями. Застосування теорії структур в задачах аналізу та обробки складно організованих великих масивів даних”.
Лекція 4. “Основи теорії груп. Аксіоматичні методи визначення груп. Основні класи груп, що використовуються в розв'язуванні прикладних задач. Групи операторних перетворень. Групи перестановок. Матричні групи обмеженого порядку. Групи в теорії чисел. Гомоморфізми та ізоморфізми  груп. Алгоритми визначення ізоморфізму груп та їх застосування задачах математичного моделювання. Епіморфізми, мономорфізми та їх застосування в теорії аналізу математичних перетворень”.
Лекція 5. “Гомоморфні відображення  груп. Гомоморфні відображення груп із різних класів. Обчислювальна складність алгоритмів визначення  міри гомоморфності виділених груп. Мультіпликативна теорія чисел. Теорія груп в сучасній теорії чисел. Алгоритми обчислення значень примітивного кореня за заданою величиною простого числа. Динамічна теорія чисел.  Класи натуральних чисел. Класи алгебраїчних чисел на основі еліптичних кривих. Застосування теорії чисел в криптографії та моделюванні випадкових процесів, складних систем”.
Лекція 6. “Підгрупи. Суміжні класи. Фактор-групи та їх застосування. Визначення підгруп. Алгоритми виділення підгруп з  заданими властивостями. Суміжні класи в групах на основі виділених підгруп. Суміжні класи в групах перетворень різних класів. Праві  та ліві класи суміжності. Властивості  класів суміжності комутативних та не комутативних груп. Групи коренів з одиниці  з непарним показником та простим показником. Не тривіальні підгрупи та алгоритми їх виділення. Алгоритми перечислення усіх підгруп груп обмеженої величини. Таблиці Келлі. Складність проблеми визначення тотожності слів в групах. Фактор-групи операторів перетворень. Вейвлет перетворення. Перетворення Фур'є. Алгебра вейвлет перетворень різних класів”.
Лекція 7. “Нормальні дільники  в групах. Аналіз фактор-груп груп перестановок та перетворень. Визначення нормальних підгруп  та їх властивості. Необхідні та достатні умови  існування нормальних дільників в некомутативних групах. Алгоритми пошуку нормальних в групах та їх обчислювальна складність. Фактор-групи нормальних  груп. Алгоритми виділення максимальних нормальних підгруп в групах  обмеженої потужності. Перестановки над множинами обмеженої потужності. Властивості груп перестановок та області їх застосування. Методи аналізу структури нормальних підгруп груп перестановок. Групи перетворень в комплексному просторі. Нормальні підгрупи груп перетворень обмеженої  потужності”.                     
Лекція 8. “Групи  в теорії  чисел. Циклічні  групи  та  їх  властивості.  Алгоритми пошуку циклічних підгруп та їх виділення. Формування  циклічних груп.  Прості групи. Групи створені простими числами. Методи та алгоритми  факторизації   чисел.  Обчислювальна   складність алгоритмів  розкладання чисел на прості  множники. Алгоритми пошуку примітивних коренів згідно заданному базису”.
Лекція 9. “Гомоморфні відображення в різних класах груп.  Властивості гомоморфних відображень між різними групами. Основні теореми.Одно-однозначні відображення однієї групи на та в іншу групу. Властивості  одно-однозначних відображень”.    
Лекція 10. “Ізоморфні відображення.Аналіз структури груп методами ізоморфних відображень групи на себе. Алгоритмічна  складність  перевірки  іоморфності  груп обмеженого  порядку. Алгоритми побудови ізоморфного відображення  графових  структур. Методи  виділення в групах підгруп  ізоморфних  даній групі”.
Лекція 11. “Пакети  комп'ютерної алгебри Wolfram Mathematica, Maple, Reduce, GP Pari. Обчислювальні аспекти алгебраїчної геометрії та комутативної алгебри. Базиси Грьобнера. Властивості базисів Грьобнера. Застосуваня базисів Грьобнера. Поліноміальні відображення. Геометричні основи обробки графічної інформації”.
Лекція 12. “Розширений варіант обчислення базисів Грьобнера. Розв’язування  алгебраїчних рівнянь. Розв’язування систем нелінійних рівнянь над полем раціональних чисел. Знаходження часткових при діленні поліномів та матриць які дозволяють описувати базиси Грьобнера”.
Лекція 13. “Обчислення базисів Грьобнера над полем раціональних гауссовських чисел”.
Лекція 14. “Знаходження базових коренів в теорії чисел за допомогою пакета прикладних програм Maple”.
Лекція 15. “Розв'язування задач дискретного  логарифмування за допомогою пакета прикладних програм Wolfram Mathematica”.

Лабораторні заняття
Лабораторне заняття №1. “Визначення множин різних класів та алгоритмічні  методи їх представлення”.
Мета заняття: Застосування теорії алгоритмів       для формального алгоритмічного представлення множин та їх відображень.
Лабораторне заняття №2. “Детальне вивчення методів упорядкування множин різних класів. Методи побудови дистрибутивних структур та їх застосування”.
Мета заняття: Застосування сучасної теорії множин та теорії функцій для побудови відображень множин різних класів в задачах моделювання складних процесів , аналізу та обробки великих масивів даних.
Лабораторне заняття №3. “Основні класи сучасних алгебр. Базова теорія груп. Фундаментальні класи груп”.
Мета заняття: Детальне вивчення основних класів груп та їх структур. Дослідження груп операторів, перетворень різних класів, груп перестановок при моделюванні динамічних процесів, пошуку оптимумів в багато критеріальних задачах.
Лабораторне заняття №4. “Методи побудови гомеоморфізмів, ізоморфізмів, автоморфізмів в теорії груп та їх застосуванні”.
Мета заняття: Вивчення методів побудови відображень груп в вигляді гомеоморфізмів, ізоморфізмів та автоморфізмів для дослідження структур груп при їх застосуванні.
Лабораторне заняття №5. “Методи побудови гомеоморфізмів, ізоморфізмів, автоморфізмів в теорії груп та їх застосуванні”.
Мета заняття: Вивчення методів побудови відображень груп в вигляді гомеоморфізмів, ізоморфізмів та автоморфізмів для дослідження структур груп при їх застосуванні.
Лабораторне заняття №6. “Придбання навичок застосування сучасних пакетів прикладних програм комп'ютерної алгебри Wolfram mathematica, Maple”.
Мета заняття: Придбання навичків використання пакетів прикладних програм при розв'язуванні реальних прикладних проблем.
Лабораторне заняття №7. “Групові рішення в процесах застосування пакетів прикладних програм”.
Мета заняття: Застосування різноманітних схем отримання групових рішень

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.

 Індивідуальна робота

Відсутня за планом

 Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання

Для денної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні
1) 7-ми індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань лабораторних занять. Бездоганне виконання індивідуального поточних завдань №1-№2 оцінюється у 5; індивідуальних поточних завдань № 3-№7  – 6 балів;
2) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з теоретичної і практичної частин та проводяться у формі тестування.
Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 30 балів.
Підсумковий контроль – залік. Залік виставляється за результатами роботи студента в семестрі.

 Політика освітнього процесу та умови допуску до підсумкового контролю
Активна участь в практичних заняттях, дотримання графіків здачі контрольних та індивідуальних завдань, самостійна робота здобувача при підготовці до всіх видів аудиторних занять, присутність на консультаціях. Здобувачі зобов’язані дотримуватись принципів академічної доброчесності при виконанні модульних контрольних робіт, поточних контрольних та індивідуальних завдань, складання заліку/екзамену.
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
Відсутність здобувача на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
Під час всіх видів аудиторних занять здійснювати телефонні дзвінки забороняється.