Функції Гріна і фейнманівські інтеграли в квантовій механіці

ID: 6401
Вибіркова дисципліна
Навчальна дисципліна професійної підготовки
Рік впровадження: 
2020.
Кількість кредитів ЄКТС: 
4.50.
Містить розрахунково-графічну роботу.
Форма контрою: 
Залік.
Кількість аудиторних занять: 
30 годин лекційних занять, 16 годин практичних занять.

Мета дисципліни:
-    Навчити студентів сучасним методам квантово-механічних розрахунків з використанням інтегралів по траєкторіях;
-    Сформувати у студентів знання про функції Гріна, їх властивості і можливості застосування в квантово-механічних задачах;
-    Навчити студентів методам розрахунків функцій Гріна;
-    Навчити студентів застосуванню інтегралів по траєкторіях для квантування систем із зв’язками і тим самим підготувати їх для вивчення квантових калібрувальних теорій поля;
-    Сформувати у студентів знання про когерентні стани і можливості їх застосування для описання фізичних явищ;
Завдання дисципліни: 
-    Навчити студентів отримувати вирази для функцій Гріна за допомогою інтегралів по траєкторіях і обчислювати ці інтеграли;
-    Навчити студентів техніці роботи з гаусівськими інтегралами по траєкторіях; 
-    Навчити студентів розрахункам негаусівських інтегралів по траєкторіях методом теорії збурень;
-    Навчити студентів визначати точно вирішувані моделі і отримувати вирази для функцій Гріна в цих моделях;
-    Підготовити студентів до вивчення розрахунків методом континуального інтегрування в релятивістських теоріях. 

Основні результати навчання
РН01. Використовувати концептуальні та спеціалізовані знання і розуміння актуальних проблем і досягнень обраних напрямів сучасної теоретичної і експериментальної фізики та/або астрономії для розв'язання складних задач і практичних проблем.
РН02. Проводити експериментальні та/або теоретичні дослідження з фізики та астрономії, аналізувати отримані результати в контексті існуючих теорій, робити аргументовані висновки (включаючи оцінювання ступеня невизначеності) та пропозиції щодо подальших досліджень.
РН04. Обирати і використовувати відповідні методи обробки та аналізу даних фізичних та/або астрономічних досліджень і оцінювання їх достовірності.
РН05. Здійснювати феноменологічний та теоретичний опис досліджуваних фізичних та/або астрономічних явищ, об'єктів і процесів
РН06.Обирати ефективні математичні методи та інформаційні технології  та застосовувати їх для здійснення досліджень та/або інновацій в області фізики та/або астрономії.
РН07. Оцінювати новизну та достовірність наукових результатів з обраного напряму фізики та/або астрономії, оприлюднених у формі публікації чи усної доповіді.
РН08. Презентувати результати досліджень у формі доповідей на семінарах, конференціях тощо, здійснювати професійний письмовий опис наукового дослідження, враховуючи вимоги, мету та цільову аудиторію.
РН09. Аналізувати та узагальнювати наукові  результати з обраного напряму фізики та/або астрономії, відслідковувати найновіші досягнення в цьому напрямі,  взаємокорисно спілкуючись із колегами.
РН10. Відшуковувати інформацію і дані, необхідні для розв'язання складних задач фізики та/або астрономії, використовуючи різні джерела, зокрема, наукові видання, наукові бази даних тощо, оцінювати та критично аналізувати отримані інформацію та дані.
РН11. Застосовувати теорії, принципи і методи фізики та/або астрономії для розв'язання складних міждисциплінарних наукових і прикладних задач
РН12. Розробляти та застосовувати ефективні :алгоритми та спеціалізоване програмне забезпечення для дослідження моделей фізичних та/або астрономічних об'єктів і процесів, обробки результатів експерименті і спостережень.
РН13. Створювати фізичні, математичні і комп'ютерні моделі природних об'єктів та явищ, перевіряти їх адекватність, досліджувати їх для отримання нових висновків та поглиблення розуміння природи, аналізувати обмеження.
РН14. Розробляти та викладати фізичні та/або астрономічні навчальні дисципліни в закладах вищої, фахової, передвищої, професійної (професійно-технічної), загальної середньої та позашкільної освіти, застосовувати сучасні освітні технології та методики, здійснювати необхідну консультативну та методичну підтримку здобувачів освіти.
 

Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять

Л – лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; РГР – розрахунково-графічна робота; Кз – самостійні контрольні завдання; МКР – модульна контрольна робота; К – консультації.

 
Тематика та види навчальних занять

1 тиждень
Л1. Представлення дії оператора часової еволюції за допомогою функції Гріна.
ПЗ1. Лінійний гармонійний осцилятор в квантовій механіці.
Кз1. Самостійне знерозмірювання гамільтоніана гармонійного осцилятора, введення операторів народження і знищення і розрахунок комутаційних співвідношень для них.
СРС. К.

2 тиждень
Л2. Рівняння для функції Гріна.
СРС. К.

3 тиждень
Л3. Функції Гріна для різних динамічних систем.
ПЗ2. Лінійний гармонійний осцилятор в квантовій механіці (продовження).
Кз2. Самостійний розрахунок спектра власних значень лінійного гармонійного осцилятора за допомогою операторів народження і знищення.
СРС.К.

4 тиждень
Л4. Функції Гріна для точно вирішуваних моделей.
СРС.К.

5 тиждень
Л5. Функції Гріна для точно вирішуваних моделей (продовження).
ПЗ3. Лінійний гармонійний осцилятор в квантовій механіці (продовження).
Кз3. Розрахунок власних функцій для лінійного гармонійного осцилятора за допомогою операторів народження і знищення.
СРС.К.

6 тиждень
Л6. Інтеграл по траєкторіях в фазовому просторі.
СРС.К.

7 тиждень
Л7. Когерентні стани в квантовій теорії.
ПЗ4. Формула Хаусдорфа і її доведення.
Кз4. Самостійне доведення формули Хаусдорфа.
СРС.К.

8 тиждень
Л8. Голоморфне представлення в квантовій механіці.
МКР1. СРС. К.

9 тиждень
Л9. Інтеграл по траєкторіях в голоморфному представленні.
ПЗ5. Отримання тотожностей підсумування по спіральностях для розв’язків рівняння Дірака за допомогою функції Гріна цього рівняння.
Кз5. Самостійне отримання виразів для розв'язків рівняння Дірака і їх властивостей.
СРС. К.

10 тиждень
Л10. Використання інтегралу по траєкторіях для побудови ряду теорії збурень для функції Гріна.
СРС. К.

11 тиждень
Л11. Використання інтегралу по траєкторіях для побудови функції Гріна систем із зв’язками.
ПЗ6. Отримання тотожностей підсумування по спіральностях для розв’язків рівняння Дірака за допомогою функції Гріна цього рівняння (продовження).
Кз6. Самостійний розрахунок розкладу функції Гріна по повній системі розв’язків рівняння Дірака.
СРС. К.

12 тиждень
Л12. Використання інтегралу по траєкторіях для побудови функції Гріна систем із зв’язками (продовження).
РГР.СРС. К.

13 тиждень
Л13. Поле як гамільтонова система з нескінченою кількістю ступенів свободи.
ПЗ7. Представлення функції Гріна інтегралом по траєкторіях в одновимірному випадку.
Кз7. Самостійний розрахунок представлення функції Гріна в виді інтеграла по траєкторіях.
СРС. К.

14 тиждень
Л14. Розрахунок ядра часової еволюції для випадку скалярного поля, що взаємодіє із заданим зовнішнім полем. 
СРС. К.

15 тиждень
Л15. Ряд теорії збурень для релятивістського ядра оператора часової еволюції.
ПЗ8. Розрахунок інтегралів по траєкторіях для лінійного гармонійного осцилятора.
Кз8. Самостійний розрахунок функції Гріна для лінійного гармонійного осцилятора за допомогою континуального інтеграла.
МКР2.СРС. К.

 
Індивідуальна робота**

Виконується РГР. 
Мета РГР:
Метою РГР є практичне обчислення студентами фейнманівського континуального інтегралу. При цьому студенти набуватимуть навичок роботи з фейнманівськими континуальними інтегралами, поглиблюватимуть та застосовуватимуть знання отримані на лекціях і практичних заняттях. Незвичність роботи з фейнманівськими інтегралами і певна громіздкість розрахунків роблять самостійну індивідуальну роботу незамінним компонентом у вивченні цієї теми.
9-11 тижні
Розрахункова частина роботи полягає в обчисленні ядра оператора часової еволюції для скалярного поля, що взаємодіє із заданим зовнішнім полем для різних значень параметрів лагранжіана. Ці параметри вказуються індивідуально для кожного студента. Далі завдання розрахункової частини полягає в отриманні ряду теорії збурень за допомогою обчисленого континуального інтеграла і розрахунок внесків до четвертого порядку по константі зв’язку в одночастинкову або двочастинкову (внески визначаються індивідуально для кожного студента) функцію Гріна.
Графічна частина роботи полягає в побудові графіка розподілу за множинністю частинок, народжених з вакууму за рахунок взаємодії із зовнішнім полем за різних значень параметрів лагранжіана, наданих кожному студентові. Ще одним завданням графічної частини є завдання зобразити в виді діаграм розраховані студентом внески в ряд теорії збурень і пояснити їх фізичний сенс.
12 тиждень
Захист роботи.
 

Самостійна робота

Самостійна робота складає 89 годин. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лекційних занять – 15 годин;
2) підготовка до практичних занять –  8 годин;
3) підготовка до МКР – 21 година;
4) виконання РГР – 15 годин;
5) підготовка до екзамену – 30 годин.

 
Процедура оцінювання

В організації навчального процесу при вивченні дисципліни застосовується поточний та підсумковий контроль. В поточний контроль полягає у контрольних опитуваннях на практичних заняттях щодо завдань самостійної роботи (оцінюються максимум в 20 балів) і виконанні двох модульних контрольних робіт (кожна оцінюється в 30 балів). Підсумковий контроль згідно з учбовим планом є заліком, який виставляється за результатами двох модулів.
Модульна контрольна робота виконується у письмовій формі та складається з 2 частин:
1) відповіді на два питання,  кожне з яких охоплює одну з тем лекційного курсу (максимум 10 балів за кожне питання; разом 20 балів)
2) розв’язку задачі з курсу практичних занять (10 балів)
Кожний модуль оцінюється у максимально можливі 50 балів:

Семестровий модуль № 1

Кз1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 1 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
Кз3. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 5 тиждень.
Кз4. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 7 тиждень.
МКР1. Модульна контрольна робота – 30 балів (8 тиждень). Перескладання можливе протягом 9–11 тижнів за розкладом консультацій.

Семестровий модуль № 2

Кз5. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 9 тиждень.
Кз6. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 11 тиждень.
Кз7. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 13 тиждень.
Кз8. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 15 тиждень.
РГР. Оцінка за виконання – 10 балів. Термін надання та захист – 12 тиждень. 
МКР2. Модульна контрольна робота – 30 балів (15 тиждень).

Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
Підсумковим контролем з дисципліни є іспит. Екзаменаційний білет складається з трьох питань. Два з них стосуються лекційного курсу і формулюються таким чином, щоб вони охоплювали декілька взаємопов'язаних частин цього курсу. Ці питання оцінюються в 35 балів кожне. Третє питання стосується курсу практичних занять і оцінюється в 30 балів. Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання екзаменаційного білету становить 100 балів.

 
Умови допуску до підсумкового контролю

До підсумкового контролю допускаються студенти, які здали перший модуль не менше ніж на 30 балів і захистили РГР.

Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності.

Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.

Відсутність здобувача на екзамені або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».

Складання/перескладання екзаменів – за встановленим деканатом розкладом.

Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.

Заборонено використання будь-яких підручників, посібників, конспектів лекцій, шпаргалок під час проходження модульних контролів та складання екзамену з дисципліни.