Нелінійна динаміка та якісна теорія стійкості розв'язків динамічних діференційних рівнянь

Мета вивчення дисципліни − формування знань з нелінійної динаміки та теорії стійкості рішень динамічних диференціальних рівнянь, які є базовими для професійної підготовки фахівців другого (магістерського) рівня для спеціальності 104 – Фізика і астрономія та для подальшого навчання, наприклад, для вивчення  фізики ядерних реакторів, фізики плазми. Метою курсу є також формування та розвиток теоретичних знань в галузі теорії стійкості та теорії катастроф, практичних розрахунків, що базуються на сучасних математичних моделях і методах.
Для досягнення цієї мети потрібно вирішити такі завдання:
-    магістри повинні ознайомитися з основними теоретичними моделями та напрямками досліджень в галузі нелінійної динаміки;
-    магістри повинні освоїти фізичні та математичні моделі з нелінійної динаміки;
-    магістри повинні освоїти теорію та математичні методи з якісної теорії стійкості рішень динамічних диференціальних рівнянь;
-    магістри повинні за допомогою комп'ютерних розрахунків опанувати методи з якісної теорії стійкості рішень динамічних диференціальних рівнянь. 
 

Основні результати навчання

РН01. Використовувати концептуальні та спеціалізовані знання і розуміння актуальних проблем і досягнень обраних напрямів сучасної теоретичної і експериментальної фізики та/або астрономії для розв'язання складних задач і практичних проблем
РН05. Здійснювати феноменологічний та теоретичний опис досліджуваних фізичних та/або астрономічних явищ, об'єктів і процесів
РН09. Аналізувати та узагальнювати наукові  результати з обраного напряму фізики та/або астрономії, відслідковувати найновіші досягнення в цьому напрямі,  взаємокорисно спілкуючись із колегами.
РН13. Створювати фізичні, математичні і комп'ютерні моделі природних об'єктів та явищ, перевіряти їх адекватність, досліджувати їх для отримання нових висновків та поглиблення розуміння природи, аналізувати обмеження.

Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять

Модульні контролі, екзамен, лекції, практичні заняття

Тематика та види навчальних занять
1 тиждень
Лекція № 1. Дискретні відображення.
2 тиждень
Лекція № 2. Квадратичне відображення.
Практичне заняття № 1. Дискретні відображення.
3 тиждень
Лекція № 3. Безперервні системи. 
4 тиждень
Лекція № 4. Експеримент Бенара і дивний аттрактор Лоренца.
Практичне заняття № 2. Безперервні системи.
5 тиждень
Лекція №5. Кількісні міри хаосу.
6 тиждень
Лекція №6. Кількісні міри хаосу (продовження).
Практичне заняття № 3. Кількісні міри хаосу.
7 тиждень
Лекція №7. Геометрично регулярні фрактали.
8 тиждень
Лекція №8. Мультіфрактали.
9 тиждень
Лекція №9. Процеси на фрактальних середовищах.
10 тиждень
Лекція №10. Процеси на фрактальних середовищах (продовження). 
11 тиждень
Лекція №11. Перетворення подібності. Автомодельні рішення.
Практичне заняття № 4. Автомодельні рішення.
12 тиждень
Лекція №12. Солітони, КАМ-теорія.
Практичне заняття № 5. Автомодельні рішення (продовження).
13 тиждень
Лекція №13. Визначення стійкості рішень динамічних диференціальних рівнянь. Теореми Ляпунова.
Практичне заняття № 6. Визначення стійкості рішень динамічних диференціальних рівнянь.
14 тиждень
Лекція №14. Теореми Барбашина-Красовського і Четаєва.
Практичне заняття № 7. Теореми Барбашина-Красовського і Четаєва.
15 тиждень
Лекція №15. Дослідження динаміки ядерних реакторів якісними методами.
Практичне заняття № 8. Дослідження динаміки ядерних реакторів якісними методами.

Індивідуальна робота

Індивідуальна робота здобувача вищої освіти у дисципліні передбачає виконання курсової роботи в обсязі 15 годин.
Передбачені різні теми КР з різними методами рішень і особистими варіантами для кожного здобувача вищої освіти.
Мета курсової роботи – набуття загальних та спеціальних компетентностей майбутніх магістрів, поглиблення теоретичних знань і практичних вмінь. 
Задачі курсової роботи: вдосконалення здобувачами теоретичних знань та навичок роботи з програмним забезпеченням, методів програмування та проведення комп’ютерних розрахунків, а також проведення порівняльного аналізу розрахункових і експериментальних результатів.
В результаті виконання курсової роботи здобувач вищої освіти одержує додаткові теоретичні та практичні навички в використанні методів із нелінійної динаміка і якісна теорія стійкості рішень динамічних диференціальних рівнянь.
Досягнення поставленої мети контролюється викладачем за встановленим графіком роботи кожного здобувача вищої освіти.
При виконанні КР здобувач вищої освіти підтверджує ПРН5.(У/Н) Аргументувати вибір теоретичної моделі, програмних та технічних засобів для отримання результатів комп’ютерних розрахунків за темою КР, а також ПРН12.(ВА) Здатність до самонавчання та продовження професійного розвитку.

Графік виконання КР.
№ Етапу    Вид робіт    Тиждень    Бали
1    Формулювання постановки задачі для КР       1-2    1
2    Застосування теоретичних положень для розробкі комп’ютерної програми та проведення розрахунків відповідно до поставленого завдання    3-6    2
3     Обґрунтування одержаних результатів розрахунків і їхнє інтерпретування    8-10    3
4    Оформлення КР відповідно ДСТУ    11-12    2
5    Презентація та захист КР    13-15    2

Приклади завдання тем для курсової роботи:
Перша тема: У такий задачі дослідити стійкість нульового рішення, побудувавши функції Ляпунова, застосувавши теореми Ляпунова, Барбашина-Красовського, Четаева. Дослідити асимптотичну стійкість в цілому нульового стану рівноваги:
 - реактор з постійним відведенням тепла

 
тут і нижче в інших темах параметри реактора l, mc, N0, α, T0, k,  , β, λ, A, B – додатні постійні.
Друга тема: У такий задачі дослідити стійкість нульового рішення, побудувавши функції Ляпунова, застосувавши теореми Ляпунова, Барбашина-Красовського, Четаева. Дослідити асимптотичну стійкість в цілому нульового стану рівноваги:
-    реактор з відведенням тепла, пропорційним температурі:

Треття тема: У такий задачі дослідити стійкість нульового рішення, побудувавши функції Ляпунова, застосувавши теореми Ляпунова, Барбашина-Красовського, Четаева. Дослідити асимптотичну стійкість в цілому нульового стану рівноваги:
-    реактор з відведенням тепла, пропорційним температурі, та з урахуванням запізнілих нейтронів:
   

Четверта тема: У такий задачі дослідити стійкість нульового рішення, побудувавши функції Ляпунова, застосувавши теореми Ляпунова, Барбашина-Красовського, Четаева. Дослідити асимптотичну стійкість в цілому нульового стану рівноваги:
-    найпростіша модель реактора з нелінійним регулятором:

     
 
де нелінійні функції підпорядковуються умовам:

ƒ(0) = φ(0) = 0,
 
 

Самостійна робота

Підготовка до лекційних, практичних занять, підготовка до екзамену

Процедура оцінювання

На протязі семестру проводяться 4 письмові опитування з лекційного курсу (по 2 в кожному семестровому модулі), кожне з яких оцінюється в 2 бали. Також проводиться 10 усно – письмових опитувань з матеріалу практичних занять (по 5 в кожному семестровому модулі). Кожне із них оцінюється в 2 балів. Ще в 20 балів оцінюється робота студентів на практичних заняттях. Також в семестрі проводяться дві модульні контрольні роботи, які оцінюються в 30 балів кожна.
Білет з модульної контрольної роботи містить два питання з лекційного курсу (10 бали кожне) і два питання за матеріалом практичних занять, які оцінюються в 5 балів кожне. 

Умови допуску до підсумкового контролю

Здобувач вищої освіти допускається до підсумкового контролю, якщо протягом семестру його робота оцінюється в 60 та більше балів.

Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності.

Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.

Відсутність здобувача на екзамені або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».

Складання/перескладання екзаменів – за встановленим деканатом розкладом.

Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.