Використання аналітичних і симетрійних властивостей величин в фізичних задачах

Мета дисципліни: 
сформувати в здобувачів навички аналізу та спрощення фізичних задач за допомогою врахування аналітичних і симетричних властивостей фізичних величин;
сформувати розуміння зв’язку між фізичними вимогами, такими як причинність, унітарність тощо і аналітичними властивостями величин;
сформувати вміння і навички використання цих зв’язків у самостійних дослідженнях.
Завдання дисципліни: 
 актуалізація, розширення та поглиблення знань, отриманих у курсах «Теорія функцій комплексної змінної» і «Фізика високих енергій»;
 подальше формування навичок застосування методів теорії функцій комплексного змінного для проведення обчислень в різноманітних фізичних задачах і, зокрема, для розрахунків багатовимірних інтегралів, що відповідають фейнманівським діаграмам, які містять петлі;
 формування знань про аналітичні властивості амплітуд розсіяння різних процесів як із частинками із нульовим, так і з ненульовим спіном, а також знань про фізичне обґрунтування цих властивостей на основі вимог унітарності, причинності, симетрії відносно обертання часу;
 розширення і поглиблення знань про основні групи симетрії і їх представлення;
 набуття навичок використання представлень груп в фізичних задачах. 

 
 
Основні результати навчання
 
РН01. Вільно презентувати та обговорювати з фахівцями і нефахівцями результати досліджень, наукові та прикладні проблеми фізики та астрономії державною та іноземною мовами, кваліфіковано відображати результати досліджень у наукових публікаціях в провідних міжнародних наукових виданнях.
РН02. Формулювати і перевіряти гіпотези; використовувати для обґрунтування висновків належні докази, зокрема, результати теоретичного аналізу, експериментальних досліджень і математичного та/або комп’ютерного моделювання, наявні літературні дані.
РН03. Розробляти та досліджувати концептуальні, математичні і комп’ютерні моделі  процесів і систем, ефективно використовувати їх для отримання нових знань та/або створення інноваційних продуктів у фізиці (астрономії) та дотичних міждисциплінарних напрямах.
РН04. Планувати і виконувати експериментальні та/або теоретичні дослідження з фізики (астрономії) та дотичних міждисциплінарних напрямів з використанням сучасних інструментів, критично аналізувати результати власних досліджень і результати інших дослідників у контексті усього комплексу сучасних знань щодо досліджуваної проблеми.
РН05. Застосовувати сучасні інструменти і технології пошуку, оброблення та аналізу інформації, зокрема, статистичні методи аналізу даних великого обсягу та/або складної структури, спеціалізовані бази даних та інформаційні системи.
РН06. Розробляти та реалізовувати наукові та/або інноваційні інженерні проекти, які дають можливість переосмислити наявне та створити нове цілісне знання та/або професійну практику і розв’язувати значущі наукові та технологічні проблеми фізики та/або астрономії з дотриманням норм академічної етики і врахуванням соціальних, економічних, екологічних та правових аспектів.
РН07. Глибоко розуміти загальні принципи та методи природничих наук, а також методологію наукових досліджень, уміти застосувати їх у власних дослідженнях у сфері фізики (астрономії) та у викладацькій практиці.
РН09. Описувати різноманітні експериментальні дані за допомогою моделей із калібрувальними полями з урахуванням електромагнітної, слабкої і сильної взаємодій, а також розробляти Монте-Карло генератори відповідних процесів.
РН10. Вміти представляти розв'язки систем рівнянь, що описують різні фізичні процеси, у вигляді континуальних інтегралів і на конкретних прикладах доводити ці розрахунки до числових результатів.

Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять
 
Л – лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; Кз – самостійні контрольні завдання; МКР – модульна контрольна робота; К – консультації.

 
Тематика та види навчальних занять
 
1 тиждень
Л1. Окіл, границя похідна та інтеграл на довільній множині.
ПЗ1. Розрахунок хронологічних спарювань різних полів.
Кз1. Самостійний розрахунок хронологічних спарювань скалярного, біспінорного і калібрувальних полів.
СРС. К.
 
2 тиждень
Л2. Теорема Коші і інтегральна формула Коші.
СРС. К.
 
3 тиждень
Л3. Теореми Тейлора і Лорана, теорема про лишки.
ПЗ2. Розрахунок петлі з трьох ліній.
Кз2. Самостійний розрахунок аналітичного виразу для петлі з трьох ліній.
СРС.К.
 
4 тиждень
Л4. Принцип аргументу і основна теорема алгебри. 
СРС.К.
 
5 тиждень
Л5. Застосування основної теореми алгебри для розв’язку задач на власні значення для матриць. 
ПЗ3. Розрахунок петлі з чотирьох ліній з рівними зовнішніми чотириімпульсами.
Кз3. Самостійний розрахунок аналітичного виразу для петлі з чотирьох ліній з рівними зовнішніми чотириімпульсами – розрахунок інтеграла по внутрішньому чотириімпульсу за допомогою переходу до фейнманівської параметризації.
СРС.К.
 
6 тиждень
Л6. Аналітичне продовження.
СРС. К.
 
7 тиждень
Л7. Умова унітарності для амплітуди розсіяння.
ПЗ4. Розрахунок петлі з чотирьох ліній з рівними зовнішніми чотириімпульсами (продовження).
Кз4. Самостійний розрахунок аналітичного виразу для петлі з чотирьох ліній з рівними зовнішніми чотириімпульсами – розрахунок інтеграла по параметрах Р.Фейнмана.
СРС.К.
 
8 тиждень
Л8. Аналітичне продовження в комплексну площину мандельстамівської змінної s.
МКР1. СРС. К.
 
9 тиждень
Л9. Особливості амплітуди розсіяння, які є наслідком умови унітарності.
ПЗ5. Зв’язок між матрицями довільного представлення групи і генераторами цього представлення для групи обертів і для приєднаного представлення групи SU(N).
Кз5. Самостійний розрахунок зв’язку між матрицями довільного представлення групи і генераторами цього представлення для групи обертів і для приєднаного представлення групи SU(N).
СРС. К.
10 тиждень
Л10. Тотожність Фейнмана.
СРС. К.
 
11 тиждень
Л11. Зв’язок матриць довільного представлення нерозривної групи з генераторами цього представлення.
ПЗ6. Стереографічна проекція.
Кз6. Самостійний розрахунок формул стереографічної проекції.
СРС. К.
 
12 тиждень
Л12. Представлення групи обертів, групи Лоренца, і групи SU(2).
СРС. К.
 
13 тиждень
Л13. Компактні і некомпактні групи.
ПЗ7. Зв’язок між параметрами SU(2) – матриць і кутами Ейлера для обертів.
Кз7. Самостійний розрахунок виразу  матриць через кути Ейлера.
СРС. К.
 
14 тиждень
Л14. Право і ліво-інваріантні інтеграли по групі.
СРС. К.
 
15 тиждень
Л15. Застосування інтегрування по групі в фізичних задачах.
ПЗ8. Побудова явних виразів для матриць представлень групи SU(2).
Кз8. Побудова матриць представлень групи .
МКР2.СРС. К.
 
 
Індивідуальна робота**
 
Не передбачена.
 
 
Самостійна робота
 
Самостійна робота складає 74 години. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лекційних занять – 12 годин;
2) підготовка до практичних занять –  32 години;
3) підготовка до екзамену – 30 годин;
 
 
Процедура оцінювання
 
В організації навчального процесу при вивченні дисципліни застосовується поточний та підсумковий контроль. Поточний контроль полягає у контрольних опитуваннях на практичних заняттях щодо завдань самостійної роботи (оцінюються максимум в 20 балів), а також в виконанні двох модульних контрольних робіт (кожна оцінюється в 30 балів). Підсумковий контроль згідно з навчальним планом є іспитом, який виставляється за результатами двох модулів.
Модульна контрольна робота виконується у письмовій формі та складається з 2 частин:
1) відповіді на питання,  що охоплює одну з тем лекційного курсу (15 балів);
2) розв’язку задачі з курсу практичних занять (15 балів).
Кожний модуль оцінюється у максимально можливі 50 балів:
 
Семестровий модуль № 1
 
Кз1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 1 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
Кз3. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 5 тиждень.
Кз4. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 7 тиждень.
МКР1. Модульна контрольна робота – 30 балів (8 тиждень). Перескладання можливе протягом 9–11 тижнів за розкладом консультацій.

Семестровий модуль № 2
 
Кз5. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 9 тиждень.
Кз6. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 11 тиждень.
Кз7. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 13 тиждень.
Кз8. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 15 тиждень.
МКР2. Модульна контрольна робота – 30 балів (15 тиждень).
 
Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
Підсумковим контролем з дисципліни є екзамен. Екзамен складається усно. Екзаменаційний білет складається з трьох питань. Два з них стосуються лекційного курсу і формуються таким чином, щоб вони охоплювали декілька взаємопов'язаних частин цього курсу. Ці питання оцінюються в 35 балів кожне. Третє питання передбачає розв’язок задачі, пов’язаної з курсом практичних занять і оцінюється в 30 балів. Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання екзаменаційного білету становить 100 балів.

 
Умови допуску до підсумкового контролю
 
До підсумкового контролю допускаються здобувачі, які здали перший модуль не менше ніж на 30 балів.
 
 
Політика освітнього процесу
 
Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності.

Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
 
Відсутність здобувача на екзамені або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
 
Складання/перескладання екзаменів – за встановленим деканатом розкладом.
 
Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.

Заборонено використання будь-яких підручників, посібників, конспектів лекцій, шпаргалок під час проходження модульних контролів та складання екзамену з дисципліни.