Математичне моделювання нелінійних динамічних процесів

Мета дисципліни: придбання знань в області теорії динамічних систем і нелінійної динаміки.

Завдання дисципліни :

– ознайомити з основними положеннями якісної теорії диференціальних рівнянь, підходами нелінійної динаміки і теорії динамічних систем, що застосовуються для аналізу поведінки динамічних систем;
 – навчити формулювати завдання аналітичного і чисельного дослідження динамічних систем на фазової площині і в тривимірному фазовому просторі і вибирати адекватні теоретичні та чисельні методи їх вирішення;
– навчити проводити аналіз на стійкість станів рівноваги моделей живих систем, комп'ютерними методами аналізу стійкості періодичних рішень, спеціалізованими методами оцінки заходів хаотичності руху на аттракторі в фазовому просторі модельної системи.

Основні результати навчання 

Уміння застосовувати знання і розуміння для розв’язання задач, які характерні обраній спеціальності.
Вміти використовувати методи та методики проведення наукових та 
прикладних досліджень.
Знати методи проведення досліджень та вміти аналізувати складність технічних систем, розуміти складність задач оптимізації цих систем та їх елементів, та вдосконалювати методики їх проведення.
Вміти встановлювати зв'язок між фізичними процесами та описувати його математично.
Вміти визначити основну та додаткову інформацію отриманих математичних рішень та їх використання.
Вміти дискретизувати неперервні процеси.

Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять 
 Л – лекційні заняття; ЛЗ – лабораторні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; МКР – модульна контрольна робота; К – консультації.

Тематика та види навчальних занять 

1 тиждень

Л1. Загальне поняття про динамічні системи, як параметрична група перетворень. Приклади лінійних та нелінійних динамічних систем. Завдання динамічних систем з безперервним часом моделями у вигляді систем звичайних диференціальних рівнянь, диференціальних рівнянь в частинних похідних.
ЛЗ1. Гармонійний осцилятор з загасанням і збудженням; рішення, фазові траєкторії, фазовий портрет.
СРС. К.

2 тиждень

Л2. Динамічні системи з дискретним часом у вигляді систем ітеріруемих відображень.
СРС. К.

3 тиждень

Л3. Існування і єдність розв'язку. Фазовий простір, фазова траєкторія і полутраєкторія, особливі точки, особливі і неособливі траєкторії.
ЛЗ2. Математичний маятник з загасанням і збудженням; рішення, фазові траєкторії, фазовий портрет.
СРС. К.

4 тиждень

Л4. . Поняття інтегральної кривої. Граничні безлічі: атрактори, репеллери і сідла. Задачі якісного дослідження динамічної системи.
СРС. К.

5 тиждень

Л5. Визначення стану рівноваги. Приклади стійких і нестійких станів рівноваги в живих системах.
ЛЗ3. Чисельне інтегрування систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь.
СРС. К.

6 тиждень

Л6. Процедура аналітичного пошуку та аналізу на стійкість станів рівноваги в двовимірних і тривимірних системах.
СРС. К.

7 тиждень

Л7. Поняття структурної стійкості і біфуркації. Поняття про точку біфуркації і її коразмерності. Нормальні форми.
ЛЗ4. Чисельне інтегрування систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь.
СРС. К.

8 тиждень

Л8. Біфуркації станів рівноваги динамічних систем. Біфуркації граничних циклів і нерухомих точок ітеріруемих відображень. Нелокальні біфуркації.
МКР1. 
СРС. К.

9 тиждень

Л9. М'яке народження автоколивань і суперкритичним біфуркація АндроноваХопфа.
ЛЗ5. Загальне лінійне хвильове рівняння. Методи рішення.
СРС. К.

10 тиждень

Л10. Жорстке народження автоколивань, субкритичного біфуркація АндроноваХопфа і седлоузловая біфуркація граничних циклів.
СРС. К.

11 тиждень

Л11. Седлоузлова біфуркація станів рівноваги на граничному циклі. Гомоклініческая біфуркація.
ЛЗ6. Рівняння Лоренца; чисельний опис подвоєння періоду.
СРС. К.

12 тиждень

Л12. Нестійкість фазових траєкторій. Експоненціальне наростання малих збурень, непередбачуваність, перемішування елементів фазового обсягу.
СРС. К.

13 тиждень

Л13. Сценарії переходу до хаосу: Ландау, Релея-Такенса, Фейгенбаума. Ілюстрація сценарію Фейгенбаума за допомогою спектрів та біфуркаційних діаграм . Подвоєння періоду в відображенні. Сценарій Помо-Маневіля. Перехід до хаосу через руйнування двовимірного тора.
ЛЗ7 Логистичне рівняння; чисельний опис подвоєння періоду, перехід до хаосу.
СРС. К.

14 тиждень

Л14. Питання про вимірювання берегової лінії. Наївне визначення фрактальної розмірності. Приклади фрактальних множин: Канторова безліч, сніжинка Коха, серветка і килим Серпінського, губка Менгера, криві Пеано, всесвіт Фур'є.
СРС. К.

15 тиждень
Л.15. Фрактали як атрактори двовимірних ітеріруемих відображень. Метод випадкових ітерацій. Аффінне перетворення, що стискає. Лист папортника. Нелінійні комплексні відображення. Множини Жюліа і Мандельброта.
ЛЗ8. Алгоритми фрактальної графіки.
МКР1. 
СРС. К.
 

Індивідуальна робота
 
Не передбачена. 
 
Самостійна робота 

Самостійна робота складає 89 годин. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лекційних занять – 30 годин;
2) підготовка до лабораторних занять та до виконання індивідуальних контрольних завдань – разом 29 годин;
3) підготовка до екзамену -30 години.

Процедура оцінювання 
Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та лабораторних занять, виконують дві модульні контрольні роботи. Для забезпечення оперативного контролю за успішністю та якістю рівня навчальних досягнень здобувачів вищої освіти дисципліна поділяється на два семестрові модулі. Модульні контрольні роботи No1, No2 виконуються у письмовій формі. Максимальна оцінка за бездоганне виконання становить 30 балів.
Модульна робота складається з теоретичної частини (у формі тестових запитань) та практичної частини (3 завдання). Максимальна оцінка за правильне виконання теоретичної частини становить 15 балів, та за правильне виконання практичної частини становить 15 балів. 
Кількість тестових запитань – 15. Кожна правильна відповідь оцінюється в 1 бал. 
Правильне виконання практичної частини оцінюється в 15 балів, кожне Завдання вважається розв’язаним, якщо отримана правильна відповідь, послідовно наведено рішення, виконано всі необхідні рисунки та схеми, проставлені розмірності, пояснено формули. Накопичувальна частина дисципліни складається з виконання практичних робіт та поточних контрольних опитувань. Практична робота проводиться після опанування лекційним матеріалом змістового модулю. Кількість лабораторних робот – 8.
 Оцінка за виконання завдань для самостійної роботи є обов’язковим балом, який враховується при підсумковому оцінюванні навчальних досягнень з навчальної дисципліни. Поточні контрольні опитування оцінюються за семестр 20 балів (0,6 кредитів). Кількість опитувань – 4, кожне опитування – 5 балів (0,1 кредитів). 

Умови допуску до підсумкового контролю 
До складання екзамену допускаються здобувачі вищої освіти, які виконали всі види навчальних елементів навчальної дисципліни не менш, ніж на 60 %. Складання і перескладання екзамену відбувається за встановленим деканатом розкладом.

Критерії оцінювання підсумкового контролю
Остаточним контролюючим моментом освоєння дисципліни є екзамен. Оцінка виставляється за резальтатами модульних опитувань та результатів поточного опитування. 
Екзамен вважається не складеним, якщо студент отримав незадовільну оцінку. Критерії оцінювання та визначення відповідності якості навчання до оцінювання відповіді наведено в далі.
Повна, ґрунтовна відповідь на 2 питання практичної чистини екзаменаційного білету та на додаткові питання екзаменаторів лише з незначною кількістю помилок (відмінно), бальна 90-100. 
Ґрунтовна відповідь на 2 питання практичної частини екзаменаційного білету та на додаткові питання екзаменаторів з кількома помилками (дуже добре), бальна 82-89.
Неповна відповідь на 2 питання практичної частини екзаменаційного білету та на деякі додаткові питання екзаменаторів з певною кількістю суттєвих помилок (добре), бальна 75-81. 
Неповна відповідь хоча 2 питання практичної частини екзаменаційного білету та на одне додаткове питання екзаменаторів, але зі значною кількістю недоліків (задовільно), бальна 67-74. 
Неповна відповідь хоча б на 1 питання практичної частини екзаменаційного білету та на одне додаткове питання екзаменаторів (достатньо), бальна 60-66.
Не дана вірна відповідь на жодне питання теоретичної та практичної частини екзаменаційного білету, але дана відповідь на деякі додаткові питання екзаменаторів (незадовільно), бальна 35-59. 
Не дана відповідь на жодне питання теоретичної та практичної частини екзаменаційного білету та на додаткові питання екзаменаторів, потрібне повторне навчання (погано), бальна 0-34.

Політика освітнього процесу 
Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності. 
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
Відсутність здобувача на екзамені або на контрольній роботі відповідає оцінці «0». 
Складання/перескладання екзаменів – за встановленим деканатом розкладом. Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.