Вища математика 2

Мета дисципліни:

-    забезпечення розвитку загальних та спеціальних компетентностей майбутніх бакалаврів; 
-    формування комплексу знань щодо основних математичних методів, необхідних для аналізу та моделювання пристроїв, процесів і явищ, пошуку оптимальних рішень і найкращих способів реалізації цих рішень, знання та розуміння законів і методів діяльності у загальнонауковій сфері;
-    оволодіння студентами основами математичного апарату;
-    вироблення навичок самостійного вивчення наукової літератури з математики та її застосувань;
-    навчання основним математичним методам, які необхідні для аналізу та моделювання процесів, явищ, пристроїв при пошуку оптимальних розв’язків методом обробки та аналізу результатів числових та натуральних експериментів.
Для досягнення мети вивчення дисципліни студенти повинні навчитися будувати адекватні математичні моделі природних, техногенних та соціальних процесів та систем.

Завдання дисципліни:

В результаті вивчення дисципліни студент повинен знати:
-    теоретичні основи вищої математики та практичні методи розв’язування відповідних задач;
-    методи зведення реальної задачі до математичної моделі та методи дослідження та аналізу математичної моделі;
-    математичний апарат, що використовується в питаннях, пов’язаних зі спеціальністю.
В результаті вивчення дисципліни студент повинен вміти:
-    застосовувати вивчені методи до розв'язування конкретних математичних задач;
-    зводити практичну задачу до математичної моделі;
-    вибирати оптимальний метод дослідження математичної моделі;
-    алгоритмізувати метод, практично використовувати його i аналізувати одержані результати;
-    використовувати літературу з прикладних питань математики, довідники, таблиці

Основні результати навчання
 
ЗК8. Здатність вчитися і оволодівати сучасними знаннями. 
ПРН 3. (З, ВА) Розуміти широкий міждисциплінарний контекст спеціальності, її місце в теорії пізнання і оцінювання об’єктів і явищ. 
ПРН 12. (З, У) Знати та розуміти сучасні теоретичні та експериментальні методи досліджень з оцінюванням точності отриманих результатів. 
ПРН 20. (З, У, ВА) Демонструвати знання та розуміння розділів з вищої математики, фізики при вирішенні практичних завдань професійної сфери.
 
 
Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять
 
Л – лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; Кз – самостійні контрольні завдання; МКР – модульна контрольна робота; К – консультації.
 
Тематика та види навчальних занять
 
1 тиждень
 
Л1. Функція: означення, способи завдання, класифікація. Основні елементарні функції. Означення границі функції в точці, геометричний зміст. Еквівалентність різних означень границі функції. Арифметичні теореми про границю функції. Границя функції на нескінченності. Нескінченно малі функції.
ПЗ1. Границя функції. Односторонні границі. Перша та друга важливі границі. Нескінченно малі та нескінченно великі функції. 
СРС, К, РГР 1 етап.
 
2 тиждень
 
Л2. Арифметичні операції над границями. Нескінченно великі функції. Їх зв'язок з нескінченно малими функціями. Односторонні границі функції в точці. Неперервність функції. Означення неперервності функції в точці. Властивості неперервних функцій. Неперервність функції на інтервалі. Перша та друга важливі границі. Наслідки з важливих границь. Методи обчислення границі функції за допомогою важливих границь та їх наслідків.
Л3. Властивості неперервних функцій. Складна функція. Неперервність складної функції. Точки розриву функції. Їх класифікація.
ПЗ2. Неперервність функції. 
СРС. К.
 
3 тиждень

Л4. Неперервність функції на інтервалі. Властивості функцій, неперервних на сегменті. Теорема про корінь. Теореми Больцано-Коші. Теореми Вейєрштраса. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції. 
ПЗ3. Порівняння нескінченно малих функцій. Еквівалентні нескінченно малі функції. 
Кз1. Границя функції. Неперервність функції.
СРС. К.
 
4 тиждень

Л5. Похідна функції. Означення похідної функції в точці. Геометричний, фізичний та механічний зміст похідної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої. Нескінченні похідні. Диференційованість функції. Умова диференційованості функції в точці. Неперервність диференційованої функції. Зв'язок диференційованості функції з неперервністю та похідною.
Л6. Диференціювання суми, добутку та частки. Похідні деяких основних елементарних функцій. Диференціювання складної функції. Поняття оберненої функції. Похідна оберненої функції. Похідні обернених тригонометричних функцій. Похідні гіперболічних функцій. Таблиця похідних.
ПЗ4. Похідна і диференціал функції. Правила диференціювання. Диференціювання складної функції.
СРС. К.
 
5 тиждень

Л7. Логарифмічне диференціювання. Похідні вищих порядків. Механічний зміст другої похідної. Похідні вищих порядків суми і добутку функцій. Похідні функцій заданих неявно та параметрично. 
ПЗ5. Логарифмічне диференціювання. Похідна функцій, заданих неявно та параметрично. Геометричні та механічні додатки похідної. Диференціал функції. Похідна і диференціал функції вищих порядків. 
СРС. К.
 
6 тиждень
 
Л8. Диференціал функції. Геометричний зміст диференціала. Інваріантність форми диференціала. Застосування диференціалів в наближених обчисленнях. Диференціали вищих порядків. Основні теореми диференційного числення. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа. Наслідки. Геометричний зміст. Теорема Коші. Теорема Лопіталя. Наслідки. Правила розкриття невизначеностей. Приклади. 
Л9. Формула Тейлора. Розвинення довільної функції. Розвинення основних елементарних функцій. Застосування формули Тейлора до наближених обчислень та обчислення границь.
ПЗ6. Розкриття невизначеностей за правилом Лопіталя. Формула Тейлора 
Кз2. Похідна функції.
СРС. К.

7 тиждень

Л10. Ознаки зростання та спадання функції. Означення мінімуму та максимуму функції. Необхідні умови екстремуму функції. Достатні умови екстремуму функції в критичній точці.
ПЗ7. Монотонність функції. Екстремум функції. 
СРС. К.
 
8 тиждень
 
Л11. Дослідження функцій на максимум і мінімум за допомогою другої похідної. Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Опуклі множини. Опуклість функції. Достатня ознака опуклості функції. Точки перегину функції.
Л12. Асимптоти функції. Загальна схема дослідження функції і побудова графіка. 
ПЗ8. Опуклість функції. Асимптоти. Схема дослідження функції.
МК1.
СРС, К, РГР 2 етап.

9 тиждень

Л13. Первісна. Невизначений інтеграл, його властивості. Таблиця первісних. Інтегрування простіших інтегралів. Заміна змінної в невизначеному інтегралі. Інтегрування частинами. Інтегрування функцій, що містять квадратний тричлен.
ПЗ9. Невизначений інтеграл. Простіші методи інтегрування. Інтегрування частинами та заміною змінної. 
СРС. К.

10 тиждень

Л14. Інтегрування раціональних функцій. 
Л15. Інтегрування функцій, що містять деякі ірраціональності. Інтегрування диференціального бінома. Інтегрування тригонометричних функцій. Універсальна тригонометрична підстановка. Інтегрування гіперболічних функцій. 
ПЗ10. Інтегрування дробово-раціональних функцій. Інтегрування ірраціональностей. Інтегрування тригонометричних функцій.
СРС. К.

11 тиждень

Л16. Площа плоскої фігури. Означення визначеного інтеграла. Умови інтегрованості функцій. Властивості визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца. Заміна змінних у визначеному інтегралі.
ПЗ11. Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Заміна змінної та інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Застосування визначеного інтеграла. 
Кз3. Невизначений та визначений інтеграл. Його застосування.
СРС. К.

12 тиждень

Л17. Інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Обчислення площі плоских фігур у прямокутних координатах. Обчислення площі плоскої фігури у полярних координатах. Обчислення об'єму тіла по відомим площам поперечного перетину. Обчислення довжини дуги в прямокутних, параметричних, полярних координатах. Фізичні застосування визначеного інтегралу. 
Л18. Інтеграли з нескінченними границями інтегрування. Означення невласного інтегралу 1-го роду та 2-го роду. Невласні інтеграли 1-го та 2-го роду від невід’ємних функцій. Головне значення інтеграла 1-го та 2-го роду. 
ПЗ12. Застосування визначного інтегралу. Невласні інтеграли 1-го роду. Невласні інтеграли 2-го роду. 
СРС. К.

13 тиждень

Л19. Деякі означення та позначення. Означення функції багатьох змінних. Поняття границі функції в точці. Неперервність функції кількох змінних. Частинні прирости і частинні похідні першого порядку. Умова диференційованості функції 2-х змінних і її геометричний зміст. Достатня ознака диференційованості функції в точці.
ПЗ13. Диференціювання функції 2-х змінних.
СРС. К.

14 тиждень

Л20. Повний диференціал. Частинні диференціали. Диференційованість складної та неявної функції. Повна похідна. Інваріантність форми диференціала. Рівняння дотичної площини до поверхні. Геометричний зміст повного диференціала. 
Л21. Рівняння нормалі до поверхні. Скалярне поле. Похідна за напрямком. Градієнт скалярного поля. Властивості вектора градієнта. Похідні вищих порядків. Диференціали вищих порядків.
ПЗ14. Похідна за напрямком. Похідні ті диференціали вищих порядків функції 2-х змінних.
Кз4. Функції багатьох змінних.
СРС. К.

15 тиждень

Л22. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідні умови екстремуму функції. Достатня ознака безумовного екстремуму в стаціонарній точці. Поняття про умовний екстремум. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції в області. 
ПЗ15. Екстремум функції 2-х змінних. Умовний екстремум. Найбільше та найменше значення функції в обмеженій області. 
МК2.
СРС, К, РГР 3 етап.
 
Індивідуальна робота
 
Виконується РГР. 
 
Мета РГР:

Опанування студентом методики аналізу завдань, формування у студентів вміння самостійно розв’язувати задачі з використанням відомого теоретичного матеріалу, а також закріплення, поглиблення і узагальнення знань і вмінь, отриманих при вивченні дисципліни.
 
1–7 тижні 1 етап
 
Отримання завдання. Розв’язання прикладів на теми: границя функції, неперервність функції, похідна функції.

8–14 тижні 2 етап
 
Розв’язання прикладів на теми: невизначений та визначений інтеграл, його застосування, функції багатьох змінних.
 
15 тиждень 3 етап
 
Захист роботи.
 
Самостійна робота
 
Самостійна робота складає 106 годин. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лекційних занять – 22 годин;
2) підготовка до практичних занять та до виконання індивідуальних контрольних завдань – разом 30 годин;
3) виконання РГР – 15 годин;
4) підготовка до екзамену – 30 годин.

Процедура оцінювання
 
Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Дисципліна поділяється на два семестрових модуля. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та практичних занять, виконують 2 модульних контрольних роботи та 4 індивідуальних контрольних завдання.
 
Модульні контрольні роботи № 1, № 2 виконуються у письмовій формі. Модульна робота складається з теоретичної частини (2 запитання) та практичної частини (4 задачі). Відповідь на кожне теоретичне питання оцінюється максимум 5 балами. Правильне розв’язання кожної задачі оцінюється в 5 балів.
 
Кожний модуль оцінюється у максимально можливі 50 балів:
 
Семестровий модуль № 1

Кз1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 6 тиждень.
РГР(ч.1). Оцінка за виконання – 10 балів. Термін надання – 8 тиждень.
МК1. Модульна контрольна робота – 30 балів (8 тиждень). Перескладання можливе протягом 9–11 тижнів за розкладом консультацій.

Семестровий модуль № 2
 
Кз1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 11 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 14 тиждень.
РГР(ч.1). Оцінка за виконання – 10 балів. Термін надання – 15 тиждень.
МК1. Модульна контрольна робота – 30 балів (15 тиждень). 
Підсумковим контролем з дисципліни у другому семестрі є екзамен, білет до якого складається з теоретичної частини (2 запитання) та практичної частини (4 задачі). Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання екзаменаційного білету становить 100 балів. 
 
Умови допуску до підсумкового контролю
 
До екзамену допускаються здобувачі вищої освіти, які виконали всі види навчальних елементів навчальної дисципліни на не менш, ніж на 60 %.

Екзамен відбувається за всіма тематичними (змістовними) модулями дисципліни.

Складання/перескладання екзаменів організується за встановленим деканатом розкладом.
 
Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності. 

Виконаний не свій варіант завдання здобувачем не оцінюється.
 
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
 
Відсутність здобувача на заліку або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
 
Складання/перескладання заліків – за встановленим деканатом розкладом.
 
Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.

Під час розв’язання задач на МКР та заліку дозволяється користуватися математичними довідниками.