Диференціальні та інтегральні рівняння

Мета дисципліни:
Метою викладання та вивчення студентами курсу " Диференціальні та інтегральні рівняння" є формування особистості студентів, розвиток їх інтелекту та здібностей до логічного і алгоритмічного мислення, оволодіння математичними методами необхідними для аналізу та моделювання пристроїв, процесів і явищ, а також пошуку оптимальних рішень поставлених технічних задач, розвиток у студентів вміння самостійно користуватися учбовою літературою з диференціальних та інтегральних рівнянь.
Завдання дисципліни:

Курс  диференціальних та інтегральних рівнянь являються базовим в освіті інженера. Його задача: забезпечити можливість успішного оволодіння фундаментальними та спеціальними дисциплінами, для яких математика являється універсальною мовою. В результаті вивчення дисципліни студент повинен придбати наступні знання та вміння.
 
Основні результати навчання
 
У результаті вивчення навчальної дисципліни студент повинен
знати: 
основні твердження диференціальних та інтегральних рівнянь;
основні теореми та методи їх застосування;
цілі, завдання, методи диференціальних та інтегральних рівнянь, які безпосередньо застосовуються для дослідження та розв’язання прикладних задач;
вміти:
використовувати основні поняття диференціальних та інтегральних рівнянь при розв’язуванні конкретних практичних задач;
застосовувати основні поняття і теореми диференціальних та інтегральних рівнянь при вивченні інших теоретичних та прикладних дисциплін;
проводити аналіз найпростіших прикладних математичних проблем із застосуванням відповідних математичних моделей та методів.
Мати базові навички самостійного навчання: вміти відшуковувати потрібну інформацію в друкованих та електронних джерелах, аналізувати, систематизувати, розуміти, тлумачити та використовувати її для вирішення наукових і прикладних завдань.
 
Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять

Л – лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; МКР – модульна контрольна робота; РГР – розрахунково-графічна робота;  К – консультації.

 Тематика та види навчальних занять

1 семестр

1 тиждень
Л 1. Задачі, що приводять до поняття диференціального рівняння. Загальні поняття та положення про диференціальні рівняння. Звичайне диференціальне рівняння першого порядку. Задача Коші для нього.   Теорема про існування і єдиність розв'язку задачі Коші для диференціального рівняння першого порядку. 
ПЗ1. . Розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку з  відокремленими та відокремлюваними змінними, однорідних відносно змінних та диференціальних рівнянь, що зводяться до них.
СРС. К.
 
2 тиждень 
Л2. Загальний та частинний розв'язки диференціального рівняння першого порядку. Інтегральні криві. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремленими та відокремлюваними змінними. Диференціальні рівняння вигляду у' = f(ах + bу). Однорідні відносно змінних х і у функції. Однорідні диференціальні рівняння. 
ПЗ2. Розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку з  відокремленими та відокремлюваними змінними, однорідних відносно змінних та диференціальних рівнянь, що зводяться до них..
Л3. Диференціальні рівняння першого порядку типу Бернуллі. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку, їх розв'язання за методом Бернуллі та методом варіації довільної сталої. Наближене розв'язання задачі Коші для диференціальних рівнянь першого порядку за методами Ейлера та Рунге-Кутта.  
СРС. К.
 
 
3 тиждень
ПЗ3. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку, їх розв'язання за методами Бернуллі
ПЗ4. Лінійні  рівняння 1-го порядку. Метод варіації довільної сталої
СРС. К.
 
4 тиждень 
ПЗ5 . Розв'язання диференціального рівняння першого порядку типу Бернуллі. Наближені розв'язання диференціальних рівнянь першого порядку за методами Ейлера та Рунге-Кутта.
ПЗ6. Розв'язання диференціального рівняння першого порядку типу повних диференціалів.
ПЗ7. Розв'язання диференціального рівняння першого порядку типу повних диференціалів.
СРС. К.

5 тиждень 
Л4. Поняття про диференціальні рівняння вищих порядків, їх загальний та частинний розв'язки. Задача Коші для диференціального рівняння n-го порядку. функцій.  
Л5. Диференціальні рівняння вищих порядків, що допускають зниження порядку: 1) у(n)=f(х),    2) F(х,у(k),у(k+1),-,у(n)) = 0,
F(х,у',у") = 0,   3) F(у,у',у") = 0  
СРС. К.

6 тиждень 
Л6.. Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку. ЛНДР та  ЛОДР. Диференціальний оператор, його лінійність. Теорема про лінійну комбінацію розв’язків ЛОДР. Лінійна комбінація системи функцій. Лінійна залежність та незалежність системи функцій. Критерій лінійної залежності системи  двох функцій. Визначник Вронського для системи функцій. Необхідна умова лінійної залежності систем n функцій..Теорема про достатню умову лінійної залежності системи розв'язків ЛОДР n-го порядку. Фундаментальна система розв'язків ЛОДР n-го порядку
ПЗ8. Розв'язання диференціальних рівнянь вищих порядків, що допускають зниження порядку 
ПЗ9. Розв'язання диференціальних рівнянь вищих порядків, що допускають зниження порядку 
СРС. К.
 
7 тиждень
Л7 Теореми про структуру загального розв'язку ЛОДР та ЛНДР. Знаходження частинного розв'язку  ЛНДР за методом варіації довільних сталих.. ЛОДР n-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Характеристичне рівняння. Знаходження частинних та загального розв'язків диференціального рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтів в залежності від виду коренів характеристичного рівняння.  
ПЗ10. Метод варіації довільних сталих знаходження частинного розв'язку неоднорідного лінійного рівняння.
СРС. К.
 
8 тиждень
Л8 . Загальна теорія лінійних однорідних диференціальних рівнянь (ЛОДР) n-го порядку. Фундаментальна система розв’язків. Побудова ЛОРД за фундаментальною  системою розв’язків. 
ПЗ11. Розв'язок неоднорідного лінійного диференціального рівняння зі сталими коефіцієнтами та спеціальним видом правої частини.
ПЗ12. . Наближене розв'язання ДР. Розв'язання задачі Коші за методами Ейлера. Методи Рунге-Кутта. Метод Адамса.
СРС. К.
 
9 тиждень
Л9 . ЛОДР n-го порядку із сталими коефіцієнтами. Знаходження загального розв'язку ЛОДР n-го порядку.  Загальна теорія лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь ЛНДР n-го порядку. Знаходження їх частинного розв'язку методом варіації довільної сталої. 
Л10 . Визначення загального та частинного розв’язків ЛНДР n-го порядку із сталими коефіцієнтами та спеціальним виглядом правої  частини рівняння. 
МКР1.

10 тиждень
Л 11 . Системи диференціальних рівнянь першого порядку. Різні форми їх запису. Задача Коші для системи диференціальних рівнянь. Загальний та частинний розв'язки системи. Запис системи, початкових умов, загального і частинного розв'язків в матричній формі. Розв'язання системи n диференціальних рівнянь першого порядку зведенням її до одного диференціального рівняння n-го порядку. Лінійна однорiдна система п диференціальних рівнянь, її фундаментальна система розв'язків та загальний розв'язок. 
ПЗ13. Системи ДР. Нормальна система, векторний запис нормальної системи. 
ПЗ14 . Метод зведення системи диференціальних рівнянь до одного рівняння відповідного порядку.
СРС. К.
 
11 тиждень
Л 12. Лінійна однорідна система n диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Визначення її фундаментальної системи розв'язків за допомогою властивих значень та властивих векторів матриці системи. 
ПЗ15. Системи ДР. Розв'язання  системи ДР матричним методом.
СРС. К.

12 тиждень
Л 13. Наближені розв'язання задачі Коші для системи диференціальних рівнянь першого порядку та для диференціального рівняння другого порядку за методами Ейлера та Рунге-Кутта. 
ПЗ16. Системи ДР. Розв'язання  системи ДР матричним методом.
.Л14.Лінійні інтегральні рівняння. Нелінійні інтегральні рівняння. Інтегродифференціальні рівняння. Теорема скручування. 
СРС. К.

13 тиждень
Л15. Застосування інтегральних рівнянь. Застосування ДР  з частковими похідними, задача Коші, розв’язання.
ПЗ17. Інтегральні рівняння. Основні поняття та означення.
СРС. К.

14 тиждень
ПЗ18. .  Інтегральні рівняння типа згортки
ПЗ19. Інтегральні рівняння Вольтера І та ІІ типів
ПЗ20. Застосування інтегральних рівнянь
СРС. К.

15 тиждень
ПЗ21 Застосування ДР з частинами похідними, задача Коші, розв'язання
ПЗ22. Застосування ДР з частинами похідними, задача Коші, розв'язання
СРС. К.
 
РГР.
МКР2.
Індивідуальна робота**
 
Самостійна робота
 
Самостійна робота складає 106 годин. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лекційних занять – 20 годин;
2) підготовка до практичних занять –40 годин;
3) підготовка до МКР – 15 годин;
4) підготовка до екзамену – 15 годин
5) виконання РГР – 16 годин;
 
 
Процедура оцінювання
 
Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Дисципліна поділяється на два семестрові модулі. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та практичних занять, виконують 2 модульні контрольні роботи.
 Модульні контрольні роботи № 1 та № 2 виконуються у письмовій формі. Модульна робота складається з теоретичної частини та практичної частини. Відповідь на кожне теоретичне питання оцінюється максимум 10 балами. Правильне розв’язання задачі оцінюється в залежності від складності задачі. Бали за кожну задачу прописуються в білеті
 
Кожний модуль оцінюється у максимально можливі 50 балів:
 
Семестровий модуль № 1
РГР-10 балів
МК1. Модульна контрольна робота – 40 балів (9 тиждень). Перескладання можливе протягом 10–14 тижнів за розкладом консультацій.

Семестровий модуль № 2
РГР-10 балів
МК2. Модульна контрольна робота – 40 балів (15 тиждень).
 
Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
 
Підсумковим контролем з дисципліни є усний екзамен, білет до якого складається з теоретичної частини та практичної частини. Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання екзаменаційного білету становить 100 балів. 
 
Умови допуску до підсумкового контролю
До екзамену допускаються здобувачі вищої освіти, які виконали всі види навчальних елементів навчальної дисципліни на не менш, ніж на 46 %.

Екзамен відбувається за всіма тематичними (змістовними) модулями дисципліни.

Складання/перескладання екзаменів організується за встановленим навчальним відділом  розкладом.

Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності.
 
Виконаний не свій варіант завдання здобувачем не оцінюється.
 
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
 
Відсутність здобувача на екзамені або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
 
Складання/перескладання екзаменів – за встановленим деканатом розкладом.

Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.