Математичне моделювання

Мета дисципліни: отримання здобувачами знань про сучасні методи моделювання фізичних процесів та способи вирішення відповідних математичних задач.

Задачі дисципліни: 
навчити здобувачів застосовувати теоретичні знання та практичні навички при моделюванні фізичних процесів, 
застосовувати чисельні методи рішення основних математичних задач з використанням сучасних обчислювальних середовищ та шляхом написання відповідних комп’ютерних програм.
 
 
Основні результати навчання
 
ПР01. Знати, розуміти та вміти застосовувати основні положення загальної та теоретичної фізики, зокрема, класичної, релятивістської та квантової механіки, молекулярної фізики та термодинаміки, електромагнетизму, хвильової та квантової оптики, фізики атома та атомного ядра для встановлення, аналізу, тлумачення, пояснення й класифікації суті та механізмів різноманітних фізичних явищ і процесів для розв’язування складних спеціалізованих задач та практичних проблем з фізики та/або астрономії.
ПР04. Вміти застосовувати базові математичні знання, які використовуються у фізиці та астрономії: з аналітичної геометрії, лінійної алгебри, математичного аналізу, диференціальних та інтегральних рівнянь, теорії ймовірностей та математичної статистики, теорії груп, методів математичної фізики, теорії функцій комплексної змінної, математичного моделювання.
ПР07. Розуміти, аналізувати і пояснювати нові наукові результати, одержані у ході проведення фізичних та астрономічних досліджень відповідно до спеціалізації.
ПР08. Мати базові навички самостійного навчання: вміти відшуковувати потрібну інформацію в друкованих та електронних джерелах, аналізувати, систематизувати, розуміти, тлумачити та використовувати її для вирішення наукових і прикладних завдань.
ПР09. Мати базові навички проведення теоретичних та/або експериментальних наукових досліджень з окремих спеціальних розділів фізики або астрономії, що виконуються індивідуально (автономно) та/або у складі наукової групи.
ПР10. Вміти планувати дослідження, обирати оптимальні методи та засоби досягнення мети дослідження, знаходити шляхи розв’язання наукових завдань та вдосконалення застосованих методів.
ПР11. Вміти упорядковувати, тлумачити та узагальнювати одержані наукові та практичні результати, робити висновки.
ПР12. Вміти представляти одержані наукові результати, брати участь у дискусіях стосовно змісту і результатів власного наукового дослідження.
ПР16. Мати навички роботи із сучасною обчислювальною технікою, вміти використовувати стандартні пакети прикладних програм і програмувати на рівні, достатньому для реалізації чисельних методів розв’язування фізичних задач, комп’ютерного моделювання фізичних та астрономічних явищ і процесів, виконання обчислювальних експериментів.
 
 
Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять
 
Л — лекційні заняття; ЛЗ — лабораторні заняття; СРЗ – самостійна робота здобувача вищої освіти; К – консультації.
 
Тематика та види навчальних занять
 

СЕМЕСТРОВИЙ МОДУЛЬ 1

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 1. Інтерполяція і апроксимація функцій. Квадратурні формули.

Л 1. Вступ. Предмет та задачі обчислювальної математики.
ЛЗ 1. Похибки обчислень. Похибка методу та похибка заокруглення. .
СРЗ, К.

Л 2. Математична та числова моделі. Похибки обчислень.
ЛЗ 2. Комп'ютерна арифметика (огляд правил).
СРЗ, К.

Л 3. Інтерполяція функцій у класі поліномів.
ЛЗ 3. Постановка задачі інтерполяції. Клас поліномів.
СРЗ, К.

Л 4. Інтерполяція сплайнами. Сплайни 3-го порядку.
ЛЗ 4. Базис Тейлора.
СРЗ, К.

Л 5. Побудова сплайн-інтерполянту для нерівномірної мережі.
ЛЗ 5. Побудова базисів інтерполяції.
СРЗ, К.

Л 6. Побудова сплайн-інтерполянту для рівномірної мережі.
ЛЗ 6. Метод найменших квадратів.
СРЗ, К.

Л 7. Апроксимація функцій.
ЛЗ 7. Поняття квадратури. Похибка. Поняття алгебраїчної точності.
СРЗ, К.

Л 8. Квадратурні формули.
ЛЗ 8. Квадратурні формули.
СРЗ, К.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 2. Розв'язання рівнянь та систем рівнянь.

Л 9. Методи чисельного розв'язку рівнянь з однією невідомою.
ЛЗ 9. Формули прямокутників, трапецій, парабол зі сталим кроком. Оцінка похибок.
СРЗ, К.

Л 10. Лінійні системи алгебраїчних рівнянь.
ЛЗ 10. Методи розв'язку рівнянь з однією невідомою. 
СРЗ, К.

Л 11. Нелінійні системи рівнянь.
ЛЗ 11. Швидкість збіжності методів. Похибка методів.
СРЗ, К.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 3. Розв'язування диференціальних рівнянь.

Л 12. Метод Ейлера та його модифікації.
ЛЗ 12. Метод половинного поділу.
СРЗ, К.

Л 13. Методи Рунге-Кутти.
ЛЗ 13. Метод дотичних (Ньютона) та його модифікації.
СРЗ, К.

Л 14. Метод Адамса.
ЛЗ 14. Модифікації методу Ньютона.
СРЗ, К.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 4. Розв'язування систем диференціальних рівнянь (задача Коші).

Л 15. Системи диференціальних рівнянь.
ЛЗ 15. Метод хорд. Комбіновані методи.
СРЗ, К.
МК1.

СЕМЕСТРОВИЙ МОДУЛЬ 2

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 4. Розв'язування систем диференціальних рівнянь (задача Коші).

Л 16. Жорсткі системи диференціальних рівнянь.
ЛЗ 16. Метод простої ітерації, теорема Банаха.
СРЗ, К.

Л 17. Зведення рівнянь вищих порядків до системи першого порядку.
ЛЗ 17. Системи алгебраїчних рівнянь.
СРЗ, К.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 5. Задача Штурма-Ліувіля для диференціальних рівнянь.

Л 18. Задача Штурма-Ліувіля.
ЛЗ 18. Метод виключення (Гауса).
СРЗ, К.

Л 19. Дискретні методи.
ЛЗ 19. Перестановки у методі Гауса, вибір ведучого елемента.
СРЗ, К.

Л 20. Напівдискретні методи.
ЛЗ 20. Ітераційні методи.
СРЗ, К.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 6. Методи розв'язку інтегральних рівнянь.

Л 21. Метод послідовних наближень.
ЛЗ 21. Нелінійні системи рівнянь, метод Ньютона.
СРЗ, К.

Л 22. Метод скінчених сум.
ЛЗ 22. Явний метод Ейлера.
СРЗ, К.

Л 23. Метод найменших квадратів.
ЛЗ 23. Неявний метод Ейлера.
СРЗ, К.

Л 24 Метод колокацій.
ЛЗ 24. Методи Рунге-Кутти нижчих порядків.
СРЗ, К.

Л 25. Метод моментів.
ЛЗ 19. Системи диференціальних рівнянь.
СРЗ, К.

ЗМІСТОВИЙ МОДУЛЬ 7. Диференціальні рівняння у частинних похідних.

Л 26. Типи диференціальних рівнянь.
ЛЗ 26. Диференціальні рівняння вищих порядків, зведення до системи першого порядку.
СРЗ, К.

Л 27. Метод відокремлення змінних: неперервний випадок.
ЛЗ 27. Жорсткі системи диференціальних рівнянь.
СРЗ, К.

Л 28. Метод відокремлення змінних: дискретний випадок.
ЛЗ 28. Методи розв'язку інтегральних рівнянь. Метод послідовних наближень..
СРЗ, К.

Л 29. Різницеві схеми для рівняння дифузії.
ЛЗ 29. Різницеві схеми для рівняння дифузії.
СРЗ, К.

Л 30. Статистичне моделювання.
ЛЗ 30. Точність та умови збіжності різницевих схем.
СРЗ, К.
МК2.

 
Індивідуальна робота 

Виконується курсова робота (КР).

Теми КР:
Старт ракети (чисельний розв'язок системи рівнянь Мещерського).
Моделювання прискореного руху потяга.
Чисельний розв'язок задачі Коші для математичного маятника.

Мета КР: набуття практичних навичок застосування чисельних методів розв'язання фізичних задач на конкретних прикладах.
 
1–7 тижні
Отримання завдання. Підготовка теоретичної частини КР. Огляд методів розв’язання завдання відповідно до обраного варіанту теми КР.
 
8–14 тижні
Реалізація одного або кількох методів розв’язання задачі, передбаченої відповідним варіантом завдання.
 
15 тиждень
Захист роботи.

 
Самостійна робота
 
Самостійна робота складає 150 годин. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лабораторних занять — 60 годин;
2) підготовка до лекційних занять та до виконання контрольних завдань — 30 годин;
3) виконання КР — 30 годин;
4) підготовка до іспиту — 30 годин.
 

Процедура оцінювання
 
Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Для забезпечення оперативного контролю за успішністю та якістю рівня навчальних досягнень здобувачів вищої освіти дисципліна поділяється на два семестрові модулі. Здобувачі протягом кожного семестру виконують лабораторні роботи, КР та дві модульні контрольні роботи (МКР).
 
Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни у кожному семестрі – 100 балів.
 
Кожний модуль оцінюється у максимально можливі 50 балів:
 
Семестровий модуль № 1
 
Виконання лабораторних завдань №1-15 оцінюється у 2 бали. Модульна контрольна робота (МК1) оцінюється максимально у 20 балів. Сумарно за перший семестровий модуль — 50 балів.
 
Виконання першої частини КР оцінюється максимально у 30 балів.

Семестровий модуль № 2
 
Виконання практичних завдань №16-30 оцінюється у 2 бали. Модульна контрольна робота (МК2) оцінюється максимально у 20 балів. Сумарно за другий семестровий модуль — 50 балів.
 
Виконання другої частини КР оцінюється максимально у 70 балів.
 
Підсумковим контролем з дисципліни є залік, оцінка за який виставляється за сумою першого та другого модульних контролів.
 
 
 
 
Умови допуску до підсумкового контролю
 
До заліку допускаються здобувачі вищої освіти, які отримали не менше 30 балів за перший модуль та виконали накопичувальну частину другого модуля.
 
Складання/перескладання іспиту організується за встановленим деканатом ІЕКСУ розкладом.

Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх незрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності. 

Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
 
Відсутність здобувача на іспиті, захисті КР або на контрольній роботі відповідає оцінці «0» (нуль).