Математичне моделювання нелінійних динамічних процесів

Анотація навчальної дисципліни 

Мета дисципліни: придбання знань в області теорії динамічних систем і нелінійної динаміки.
 
Практичне значення та використання отриманих знань: Вивчення основних положень якісної теорії диференціальних рівнянь, підходів нелінійної динаміки і теорії динамічних систем, що застосовуються для аналізу поведінки динамічних систем. Вміння формулювати завдання аналітичного і чисельного дослідження динамічних систем на фазової площині і в тривимірному фазовому просторі і вибирати адекватні теоретичні та чисельні методи їх вирішення. Вміння проводити аналіз на стійкість станів рівноваги моделей живих систем, комп'ютерними методами аналізу стійкості періодичних рішень, спеціалізованими методами оцінки заходів хаотичності руху на аттракторі в фазовому просторі модельної системи.

Основні результати навчання 

ПРН12. Вміти встановлювати зв'язок між фізичними процесами та описувати їх математично, використовуючи методи математичного моделювання.
ПРН14. Вміти визначити основну та додаткову інформацію отриманих математичних рішень та їх використання.

Тематика та види навчальних занять 

1 тиждень

Лекція 1. Загальне поняття про динамічні системи, як параметрична група перетворень. Приклади лінійних та нелінійних динамічних систем. Завдання динамічних систем з безперервним часом моделями у вигляді систем звичайних диференціальних рівнянь, диференціальних рівнянь в частинних похідних.
Лабораторна робота 1. Гармонійний осцилятор з загасанням і збудженням; рішення, фазові траєкторії, фазовий портрет.
Консультація. 

2 тиждень

Лекція 2. Динамічні системи з дискретним часом у вигляді систем ітеріруемих відображень.
Консультація. 

3 тиждень

Лекція 3. Існування і єдність розв'язку. Фазовий простір, фазова траєкторія і полутраєкторія, особливі точки, особливі і неособливі траєкторії.
Лабораторна робота 2. Математичний маятник з загасанням і збудженням; рішення, фазові траєкторії, фазовий портрет.
Консультація. 

4 тиждень

Лекція 4. . Поняття інтегральної кривої. Граничні безлічі: атрактори, репеллери і сідла. Задачі якісного дослідження динамічної системи.
Консультація. 

5 тиждень

Лекція 5. Визначення стану рівноваги. Приклади стійких і нестійких станів рівноваги в живих системах.
Лабораторна робота 3. Чисельне інтегрування систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь.
Консультація. 

6 тиждень

Лекція 6. Процедура аналітичного пошуку та аналізу на стійкість станів рівноваги в двовимірних і тривимірних системах.
Консультація. 

7 тиждень

Лекція 7. Поняття структурної стійкості і біфуркації. Поняття про точку біфуркації і її коразмерності. Нормальні форми.
Лабораторна робота 4. Чисельне інтегрування систем нелінійних звичайних диференціальних рівнянь.
Консультація. 

8 тиждень

Лекція 8. Біфуркації станів рівноваги динамічних систем. Біфуркації граничних циклів і нерухомих точок ітеріруемих відображень. Нелокальні біфуркації.
МКР1. 
Консультація. 

9 тиждень

Лекція 9. М'яке народження автоколивань і суперкритичним біфуркація АндроноваХопфа.
Лабораторна робота 5. Загальне лінійне хвильове рівняння. Методи рішення.
Консультація. 

10 тиждень

Лекція 10. Жорстке народження автоколивань, субкритичного біфуркація АндроноваХопфа і седлоузловая біфуркація граничних циклів.
Консультація. 

11 тиждень

Лекція 11. Седлоузлова біфуркація станів рівноваги на граничному циклі. Гомоклініческая біфуркація.
Лабораторна робота 6. Рівняння Лоренца; чисельний опис подвоєння періоду.
Консультація. 

12 тиждень

Лекція 12. Нестійкість фазових траєкторій. Експоненціальне наростання малих збурень, непередбачуваність, перемішування елементів фазового обсягу.
Консультація. 

13 тиждень

Лекція 13. Сценарії переходу до хаосу: Ландау, Релея-Такенса, Фейгенбаума. Ілюстрація сценарію Фейгенбаума за допомогою спектрів та біфуркаційних діаграм . Подвоєння періоду в відображенні. Сценарій Помо-Маневіля. Перехід до хаосу через руйнування двовимірного тора.
Лабораторна робота 7 Логистичне рівняння; чисельний опис подвоєння періоду, перехід до хаосу.
Консультація. 

14 тиждень

Лекція 14. Питання про вимірювання берегової лінії. Наївне визначення фрактальної розмірності. Приклади фрактальних множин: Канторова безліч, сніжинка Коха, серветка і килим Серпінського, губка Менгера, криві Пеано, всесвіт Фур'є.
Консультація. 

15 тиждень
Лекція.15. Фрактали як атрактори двовимірних ітеріруемих відображень. Метод випадкових ітерацій. Аффінне перетворення, що стискає. Лист папортника. Нелінійні комплексні відображення. Множини Жюліа і Мандельброта.
Лабораторна робота 8. Алгоритми фрактальної графіки.
Модульна контрольна робота. 
Консультація.

Самостійна робота складає 91 годину. Самостійна робота здобувача відбувається впродовж семестру та складається з підготовки до аудиторних занять, контрольних заходів, індивідуальних завдань.

Оцінювання результатів навчання

Оцінювання результатів навчання з дисципліни здійснюється за накопичувальною системою, яка дає можливість здобувачеві протягом семестру отримати максимально 100 балів.

Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та лабораторних занять, виконують дві модульні контрольні роботи. Для забезпечення оперативного контролю за успішністю та якістю рівня навчальних досягнень здобувачів вищої освіти дисципліна поділяється на два семестрові модулі. Модульні контрольні роботи No1, No2 виконуються у письмовій формі. Максимальна оцінка за бездоганне виконання становить 30 балів.
Модульна робота складається з теоретичної частини (у формі тестових запитань) та практичної частини (3 завдання). Максимальна оцінка за правильне виконання теоретичної частини становить 15 балів, та за правильне виконання практичної частини становить 15 балів. 
Кількість тестових запитань – 15. Кожна правильна відповідь оцінюється в 1 бал. 
Правильне виконання практичної частини оцінюється в 15 балів, кожне Завдання вважається розв’язаним, якщо отримана правильна відповідь, послідовно наведено рішення, виконано всі необхідні рисунки та схеми, проставлені розмірності, пояснено формули. Накопичувальна частина дисципліни складається з виконання практичних робіт та поточних контрольних опитувань. Практична робота проводиться після опанування лекційним матеріалом змістового модулю. Кількість лабораторних робот – 8.
Оцінка за виконання завдань для самостійної роботи є обов’язковим балом, який враховується при підсумковому оцінюванні навчальних досягнень з навчальної дисципліни. Поточні контрольні опитування оцінюються за семестр 20 балів (0,6 кредитів). Кількість опитувань – 4, кожне опитування – 5 балів (0,1 кредитів). 

Умови допуску до підсумкового контролю 

Підсумковий контроль з дисципліни – залік. Залік з дисципліни отримують здобувачі, які виконали всі види навчальних елементів навчальної дисципліни та накопичили протягом семестру не менш, ніж 60 балів.
Складання/перескладання заліків відбувається за встановленим деканатом розкладом.

Політика освітнього процесу 
Активна участь в практичних заняттях, дотримання графіків здачі контрольних та індивідуальних завдань, самостійна робота здобувача при підготовці до всіх видів аудиторних занять, присутність на консультаціях. Здобувачі зобов’язані дотримуватись принципів академічної доброчесності при виконанні модульних контрольних робіт, поточних контрольних та індивідуальних завдань, складання заліку/екзамену.
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
Відсутність здобувача на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
Під час всіх видів аудиторних занять здійснювати телефонні дзвінки забороняється.
Заборонено використання будь-яких підручників, посібників, конспектів лекцій, шпаргалок під час проходження модульних та підсумкового контролів.