Теорія ймовірності та математична статистика

Анотація навчальної дисципліни

Мета вивчення дисципліни: Розвиток логічного та алгоритмічного мислення, засвоєння основних понять та методів теорії ймовірностей і математичної статистики, здатність розширювати свої знання та застосовувати математичний апарат для проведення статистичних досліджень та прийняття рішень.

Практичне значення та використання отриманих знань:здобувачі повинні знати основні положення та методи прикладної математики, теоретичні основи теорії ймовірностей і математичної статистики та методи зведення практичної задачі до математичної моделі в обсязі, необхідному для користування математичним апаратом та методами у професійній галузі. Здобувач повинен вміти: використовувати сучасний математичний апарат в професійній діяльності для розв’язання задач теоретичного та прикладного характеру в процесі проектування та реалізації об’єктів інформатизації. 
Здобувач здатен продемонструвати: готовність застосовувати математичні методи,обчислювальні вміння та навички для розв’язання прикладних задач; готовність до опрацювання і аналізу статистичних даних; готовність використовувати отримані знання і вміння під час вивчення інших навчальних предметів; здобувач повинен володіти навичками використання інформаційних і комунікаційних технологій та самостійно вирішувати прикладні завдання у професійній діяльності, із застосуванням інформаційно-комунікаційних технологій.

Основні результати навчання

ПРН01. Аналізувати, цілеспрямовано шукати і вибирати необхідні для вирішення професійних завдань інформаційно-довідкові ресурси і знання з урахуванням сучасних
досягнень науки і техніки.
ПРН05. Знати і застосовувати відповідні математичні поняття, методи доменного,системного і об’єктно-орієнтованого аналізу та математичного моделювання для розробки програмного забезпечення. 
ПРН07. Знати і застосовувати на практиці фундаментальні концепції, парадигми і основні принципи функціонування мовних, інструментальних і обчислювальних засобів інженерії програмного забезпечення.
ПРН14. Застосовувати на практиці інструментальні програмні засоби доменного аналізу, проектування, тестування, візуалізації, вимірювань та документування програмного забезпечення.
ПРН19. Знати та вміти застосовувати методи верифікації та валідації програмного забезпечення. 
ПРН20. Знати підходи щодо оцінки та забезпечення якості програмного забезпечення.
ПРН24. Вміти проводити розрахунок економічної ефективності програмних систем.

Тематика та види навчальних занять

1 тиждень.
Лекція 1 «Основні поняття теорії ймовірності. Елементи комбінаторики. Обчислення ймовірностей за допомогою формул комбінаторики. Найпростіші властивості ймовірності події. Основні теореми теорії ймовірності та їх наслідки».

2 тиждень.
Лекція 2 «Теорема про ймовірність суми сумісних подій. Формула повної ймовірності. Ймовірність гіпотез. Формули Байєса. Схема послідовних незалежних випробувань. Формула Бернуллі. Теорема Пуассона. Локальна та інтегральна теореми Муавра-Лапласа».
Практичне заняття 1. «Основні теорії ймовірності. Формула повної  ймовірності та  формула  Байеса.Формула Бернуллі;  Локальна та інтегральна теореми Лапласа».

3 тиждень.
Лекція 3 «Види випадкових величин. Завдання дискретної випадкової величини. Закон розподілу ймовірності дискретної  випадкової величини. Біноміальний розподіл та розподіл Пуассона. Простіший потік подій».

4 тиждень.
Лекція 4 «Математичне сподівання дискретної випадкової величини.Дисперсія дискретної випадкової величини. Середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини. Поняття про моменти розподілу».
Практичне заняття 2 «Закони розподілу дискретних випадкових величин. Математичне сподівання.Дисперсія, середнє квадратичне відхилення дискретної випадкової величини. Теоретичні моменти».

5 тиждень.
Лекція 5 «Закон великих чисел. Нерівність Чебишева та нерівність Кантеллі. Наслідок закону великих чисел: Теорема Бернуллі та Пуассона. Центральна теорема Ляпунова та її застосування. Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності у незалежних випробуваннях. Метод Монте-Карло».

6 тиждень.
Лекція 6 «Функція розподілу  та щільність розподілу ймовірності неперервної випадкової величини. Взаємозв’язок між функцією розподілу та щільністю розподілу. Властивості щільності розподілу ймовірностей випадкової величини».
Практичне заняття 3 «Застосування закону великих чисел та нерівності Чебишева та  центральної граничної теореми.Розв'язування задач по знаходженню закону розподілу функції від випадкової величини із відомою щільністю».

7 тиждень.
Лекція 7 «Рівномірний та експоненціальний розподіли. Функція надійності. Показовий закон надійності.Нормальний розподіл та його властивості. Крива Гаусса. Правило   «трьох сігм». Поняття про моменти розподілу. Асиметрія і ексцес».
Підготовка до модульної контрольної роботи.

8 тиждень.
Лекція 8 «Система двох випадкових величин. Інтегральна функція розподілу.Двовимірна щільність розподілу. Інтегральна функція розподілу. Відшукання диференціальних функцій  складових двовимірної випадкової  величини».
Практичне заняття 4 «Закони розподілу  випадкових величин»
Модульна контрольна робота 1.

9 тиждень.
Лекція 9 «Умовні закони розподілу. Числові характеристики  системи двох випадкових величин. Умовне математичне сподівання. Числові характеристики: Кореляційний момент. Коефіцієнт кореляції».

10 тиждень.
Лекція 10 « Завдання математичної статистики. Генеральна я вибіркова сукупності. Повторна і безповторна вибірки. Репрезентативна вибірка. Емпірична функція розподілу. Полігон і гістограма».
Практичне заняття 5 «Статистичний розподіл вибірки  та емпірична функція розподілу; полігон та гістограма».

11 тиждень.
Лекція 11 «Статистичні оцінки  параметрів розподілу. Основні поняття. Генеральна і Вибіркова середня. Оцінка генеральною середньою по вибірковій середній. Стійкість вибіркових середніх».

12 тиждень.
Лекція 12 «Дисперсія. Групова і загальна середні. Формула для обчислення дисперсії.Складання дисперсії. Оцінка генеральної дисперсії по виправленій вибірковій».
Практичне заняття 6 «Метод  моментів точкової оцінки невідомих параметрів заданого розподілу».

13 тиждень.
Лекція 13 «Точність оцінки. Довірча вірогідність та інтервал. Оцінка дійсного значення вимірюваної величини. Оцінки точності вимірів».

14 тиждень.
Лекція 14 «Емпіричні моменти. Обчислення вибіркових середньою і дисперсії. Обчислення вибіркових середньою і дисперсії. Зведення первинних варіант до рівновіддаленим».
Практичне заняття 7 «Метод найбільшої правдоподібності.Застосовувння інтервальні оцінки математичного сподівання та інтервальної оцінки невідомої ймовірності біноміального розподілу».
Підготовка до модульної контрольної роботи.

15 тиждень.
Лекція 15 «Емпіричні та нормальні розподіли. Оцінки відхилення. Оцінка відхилення емпіричного розподілу від нормального. Асиметрія і ексцес».
Модульна контрольна робота 2.

Оцінювання результатів навчання

Оцінювання результатів навчання з дисципліни здійснюється за накопичувальною системою, яка дає можливість здобувачеві протягом семестру отримати максимально 100 балів.

Оцінювання результатів навчання з дисципліни здійснюється за накопичувальною системою, яка дає можливість здобувачеві протягом семестру отримати максимально 100 балів.

Модуль 1
Модульна контрольна робота № 1 виконується у письмовій формі. Максимальна оцінка за її бездоганне виконання становить 30 балів.
    Модульна робота складається з теоретичної частини (у формі тестових запитань) та практичної частини (розв’язання задач). 
Кількість тестових запитань – 4. Правильна відповідь на питання  оцінюється в 3 бали, 
    Правильне розв’язання кожної з 6 задач оцінюється в 3 бали.
Задача вважається розв’язаною, якщо отримана правильна відповідь, послідовно наведено рішення, виконано всі необхідні рисунки, пояснені формули.
Активна робота на практичному занятті-максимально по 3 бали за заняття. 

Модуль 2
Модульна контрольна робота № 2 виконується у письмовій формі. Максимальна оцінка за її бездоганне виконання становить 30 балів.
    Модульна робота складається з теоретичної частини (у формі тестових запитань) та практичної частини (розв’язання задач). 
Кількість тестових запитань – 4. Правильна відповідь на питання  оцінюється в 3 бали.
    Правильне розв’язання кожної з 6 задач оцінюється в 3 бали.
Задача вважається розв’язаною, якщо отримана правильна відповідь, послідовно наведено рішення, виконано всі необхідні рисунки, пояснені формули. 
Активна робота на практичному занятті-максимально по 3 бали за заняття. 

Посилання на рекомендовані джерела

1. Конспект лекцій «Теорія ймовірностей»/ Автори: Грібова В.В., Жарова О.В., Коновалов А.П., Морозов Ю.О., Перстньова В.В.-Свідоцтво про реєстрацію авторського права на твір №113452 від 28.06.2022 р
2. Конспект лекцій «Математична статистика»/ Автори: Грібова В.В., Жарова О.В., Коновалов А.П., Морозов Ю.О., Перстньова В.В.-Свідоцтво про реєстрацію авторського права на твір №113488 від 28.06.2022 р
3. І. М. Васильків Основи теорії ймовірностей і математичної статистики : навч. посібник. –Львів : ЛНУ імені Івана Франка, 2020. – 184 с.