Вища математика

Мета вивчення дисципліни: Предметом вивчення математики є кількісні відношення та просторові форми дійсного світу. Математичні об’єкти утворюються шляхом ідеалізації властивостей реальних об’єктів та запису цих властивостей формальною мовою.
Метою викладання та вивчення здобувачами даної частини курсу є формування особистості здобувачів, розвиток їх інтелекту та здібностей до логічного і алгоритмічного мислення. Навчити майбутніх фахівців володіти основами математичного апарату, необхідного під час розв'язання та аналізу економічних задач із застосуванням комп'ютерних технологій, підготовка здобувачів до вивчення інших дисциплін, підготовка здобувачів до науково-дослідної роботи; розвиток у здобувачів навичок використання математичних методів дослідженнях під час підготовки курсових та дипломних робіт; розробка та аналіз математичні моделі тих чи інших економічних процесів та виробити навички математичного дослідження прикладних задач економістів; навчити самостійно користуватися літературою з вищої математики і застосувати її в прикладних задачах економіки та менеджменту.
Для досягнення мети вивчення даної частини курсу здобувачі повинні навчитися використовувати набуті математичні знання під час розв'язання економічних задач; розв’язувати типові математичні задачі з доведенням їх до практичного прийнятного результату з використанням різних обчислювальних засобів; аналізувати одержані результати на їх основі розробляти практичні рекомендації.

Практичне значення та використання отриманих знань: Дисципліна “Вища математика” є вихідною дисципліною обов’язковою частини загальної підготовки першого (бакалаврського) рівня. Викладання вищої математики ґрунтується на знаннях, отриманих при вивченні курсі елементарної математики (алгебри, геометрії та початків математичного аналізу), що вивчається в школах, ліцеях, коледжах та інших середніх навчальних закладах.
Мета практичних занять – закріплення та подальше поглиблення теоретичних знань здобувачів і набуття практичних умінь, що визначені освітньо-професійною програмою напряму підготовки. В результаті вивчення дисципліни студент повинен знати фундаментальні розділи вищої математики в обсязі, необхідному для оволодіння математичним апаратом спеціальних дисциплін та вміти розрізняти типи математичних тверджень, будувати аналітичні та алгоритмічні моделі задач, узагальнювати та інтерпретувати результати досліджень, оцінювати їхню похибку, користуватися типовими алгоритмами розв’язання задач.
Курс вищої математики являється базовим в освіті фахівця. Передує вивченню наступних навчальних дисциплін, які використовують апарат вищої математики. Його задача: забезпечити можливість успішного оволодіння фундаментальними та спеціальними дисциплінами, для яких математика являється універсальною мовою. Знання та вміння, отримані при вивченні вищої математики, використовуються при опануванні дисциплін математичного циклу і основних дисциплін циклів природничо-наукової, загальнонаукової та професійної підготовки фахівця: інформаційні системи та технології, статистика, економічна теорія, фінанси, гроші ті кредит, міжнародні економічні відносини, менеджмент, економіка і фінанси підприємства, банківський менеджмент, облік і аудит, маркетинг, зовнішньоекономічна діяльність підприємства, операційний менеджмент, інноваційно-інвестиційна діяльність, комплексний аналіз, теорія організацій, міжнародна статистика.
Дисципліна має націлити майбутніх фахівців на осмислене і творче застосування отриманих знань в їх практичній діяльності.

Тематика та види навчальних занять.

Для денної форми здобуття освіти.

Лекційні заняття.

Лекція 1.
Поняття матриці. Визначники та їх обчислення. Розв’язання квадратних лінійних систем за формулами Крамера.
Лекція 2.
Дії над матрицями. Обернена матриця. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) матричним способом (за допомогою оберненої матриці).
Лекція 3.
Дослідження СЛАР. Ранг матриці та різні методи його обчислення. Зв'язок розв’язку СЛАР з рангом її матриці. Теорема Кронекера-Капеллі. Дослідження лінійних систем. Метод Гауса, Жордано-Гауса.
Лекція 4.
Комплексні числа та дії над ними. Алгебраїчна форма комплексного числа. Зображення комплексних чисел, які задані в алгебраїчній формі, на комплексні площині. Дії над комплексними числами, які задані в алгебраїчній формі. Тригонометрична та показникова форми запису комплексних чисел. Дії над комплексними числами, які задані в тригонометричній та в показниковій формі. Формула Муавра.
Лекція 5. Елементи векторної алгебри. Основні поняття. Лінійні дії над векторами. Проекція вектора на вектор. Базис. Скалярний добуток векторів, його властивості та застосування.
Лекція 6.
Пряма на площині. Рівняння прямої на площині. Взаємне розміщення прямих на площині. Основні задачі. Криві другого порядку: коло, еліпс, гіпербола, парабола (канонічні рівняння, побудова). Розв’язання задач.
Лекція 7.
Функції однієї змінної, основні поняття. Основні елементарні функції, їх властивості та графіки. Поняття числової послідовності.
Лекція 8.
Границя числової послідовності. Основні теореми о границях числової послідовності. Границя функції. Односторонні границі. Перша та друга важливі (чудові) границі. Еквівалентні нескінченно малі функції. Застосування співвідношень еквівалентності при обчислені границь функцій.
Лекція 9.
Неперервність функцій. Неперервність функції у точці, на відрізку. Основні властивості функцій, неперервних на відрізку. Точки розриву функції та їх класифікація.
Лекція 10.
Диференціювання функції однієї змінної. Означення похідної. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функції. Основні правила та формули диференціювання. Похідна складної та оберненої функцій; похідна функції, заданої неявно; похідна функції, заданої параметрично; логарифмічне диференціювання. Диференціал функції. Правила знаходження диференціалів. Правило Лопіталя.
Лекція 11.
Дослідження поведінки функції однієї змінної. Застосування диференціального числення для побудови графіку функції. Зростання та спадання функції. Екстремуми функції. Достатні умови існування екстремуму функції. Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Опуклість графіку функції, точки перегину. Необхідна та достатня умови існування точки перегину. Асимптоти графіка функції. Загальний план повного дослідження функції.
Лекція 12.
Границя, неперервність, частинні похідні функції декількох змінних (ФДЗ). Диференціал ФДЗ, похідні вищих порядків. Застосування похідних ФДЗ. Градієнт, похідна за напрямком. Екстремум ФДЗ. Необхідні та достатні умови існування локального екстремуму ФДЗ. Необхідні та достатні умови існування умовного екстремуму ФДЗ.
Лекція 13.
Первісна. Невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів. Інтегрування простіших інтегралів. Інтегрування частинами. Заміна змінних в невизначеному інтегралі. Знаходження інтегралів, що містять квадратний тричлен. Інтегрування раціональних дробів.
Лекція 14.
Визначений інтеграл. Основні методи обчислення визначених інтегралів. Застосування визначеного інтегралу
Лекція 15.
Диференціальні рівняння першого порядку. Поняття загального, частинного і особливого розв'язків. Рівняння з відокремленими та відокремлюваними змінними. Однорідні диференціальні рівняння. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Розв‘язання ЛОДР із сталими коефіцієнтами. Системи диференціальних рівнянь. Застосування диференціальних рівнянь та систем

Практичні заняття.
Практичне заняття №1.
Визначники. Формули (правило) Крамера. Дії над матрицями. Обернена матриця.
Мета заняття:
Оволодіти навичками обчислювання визначників ІІ-го і ІІІ-го порядків, вміти знаходити алгебраїчні доповнення та мінорі. Навчитися використовувати властивості визначників при їх обчисленні. Оволодіти навичками обчислювання визначників вищих порядків.
Оволодіти правилом Крамера розв’язування СЛАР.
Вміти застосовувати визначники для розв’язування і дослідження СЛАР.
Навчитися виконувати різні дії над матрицями.
Вміти знаходити обернену матрицю різними способами.
Навчитися записувати системи n лінійних алгебраїчних рівнянь з n невідомими у матричній формі.
Оволодіти методом розв’язання системи, що записана у матричній формі, та методами розв’язування матричних рівнянь
Практичне заняття №2.
Дослідження СЛАР.
Мета заняття:
Вміти обчислювати ранг матриці, застосовувати теорему Кронекера-Капеллі при досліджені та розв’язуванні СЛАР.
Оволодіти методами Гауса, Жордано-Гауса розв’язання СЛАР.
Навчитись знаходити загальний розв’язок та фундаментальну систему розв’язків однорідної СЛАР.
Практичне заняття №3.
Границя числової послідовності. Границя функції.
Мета заняття:
Засвоїти поняття границі числової послідовності. Навчитись обчислювати границі числових послідовностей (знати правило знаходження границі відношення двох многочленів).
Засвоїти поняття границі функції у точці, односторонньої границі функції. Розуміти різницю між границею функції при та границею функції при або при . Навчитись обчислювати границі функції у точці, при , розкривати різні види невизначеностей.
Засвоїти поняття 1-ої та 2-ої чудової границі та навчитися використовувати їх при розкритті невизначеностей. Навчитися порівнювати нескінченно малі та використовувати еквівалентні нескінченно малі для розкриття невизначеностей.
Практичне заняття №4.
Застосування похідної до дослідження поведінки функції однієї змінної. Застосування диференціального числення для побудови графіку функції.
Мета заняття:
Засвоїти методи дослідження функції однієї змінної на монотонність та екстремуми за допомогою похідної (вміти використовувати достатні умови існування екстремуму функції). Навчитись знаходити найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.
Оволодіти методами дослідження функції однієї змінної на опуклість (угнутість) графіка функції, точки перегину.
Засвоїти поняття асимптот графіка функції, приводити приклади відомих елементарних функцій, які мають похилі, горизонтальні або вертикальні асимптоти. Вміти знаходити рівняння асимптот для заданих функцій.
Запам’ятати загальний план повного дослідження функції. Оволодіти навичками дослідження функції однієї змінної (вміти знаходити області визначення та значень, знаходити точки перетину графіка функції з осями координат, досліджувати функцію на монотонність та екстремуми, опуклість графіка чи угнутість і точки перегину, знаходити асимптоти). Навчитися будувати графік функцій за результатами її повного дослідження.
Практичне заняття №5.
Екстремум функції багатьох змінних.
Мета заняття;
Оволодіти навичками знаходження критичних точок і визначення характеру екстремуму.
Оволодіти методами Лагранжа і підстановки знаходження умовного екстремуму.
Оволодіти навичками визначення найбільшого і найменшого значень функції в області

Практичне заняття №6.
Основні методи обчислення визначених інтегралів. Застосування визначеного інтегралу.
Мета заняття.
Вміти володіти методами обчислення визначеного інтегралу.
Володіти методами інтегрування частинами та заміною змінної.
Вміти володіти навичками обчислення площі фігури, довжини дуги.
Практичне заняття №7.
Диференціальні рівняння першого порядку. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння вищих порядків. Розв‘язання ЛОДР із сталими коефіцієнтами
Мета заняття.
Оволодіти методами розв‘язання рівнянь з відокремленими і відокремлюваними змінними, однорідних рівнянь.
Вміти володіти методами Лагранжа та Бернуллі розв'язання лінійних рівнянь. Володіти методами розв‘язання рівняння Бернуллі.
Вміти розв’язувати диференціальні рівняння вищих порядків, які припускають зниження порядку та ЛОДР із сталими коефіцієнтами

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.

Для заочної форми здобуття освіти.
Лекційні заняття.

Лекція 1.
Поняття матриці. Визначники та їх обчислення. Розв’язання квадратних лінійних систем за формулами Крамера. Дії над матрицями. Обернена матриця. Матричний запис системи лінійних алгебраїчних рівнянь з невідомими. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) матричним способом (за допомогою оберненої матриці).
Дослідження СЛАР. Ранг матриці та різні методи його обчислення. Зв'язок розв’язку СЛАР з рангом її матриці. Теорема Кронекера-Капеллі. Дослідження лінійних систем. Метод Гауса, Жордано-Гауса.

Лекція 2.
Диференціювання функції однієї змінної. Означення похідної. Геометричний зміст похідної. Рівняння дотичної. Зв’язок між неперервністю та диференційованістю функції. Основні правила та формули диференціювання. Похідна складної та оберненої функцій; похідна функції, заданої неявно; похідна функції, заданої параметрично; логарифмічне диференціювання. Диференціал функції. Правила знаходження диференціалів. Правило Лопіталя. Дослідження поведінки функції однієї змінної. Застосування диференціального числення для побудови графіку функції. Зростання та спадання функції. Екстремуми функції. Достатні умови існування екстремуму функції. Найбільше і найменше значення функції на відрізку. Опуклість графіку функції, точки перегину. Необхідна та достатня умови існування точки перегину. Асимптоти графіка функції. Загальний план повного дослідження функції.

Практичні заняття.

Практичне заняття №1.
Основні методи обчислення визначених інтегралів. Застосування визначеного інтегралу.
Мета заняття.
Вміти володіти методами обчислення визначеного інтегралу.
Володіти методами інтегрування частинами та заміною змінної.
Вміти володіти навичками обчислення площі фігури, довжини дуги.

Практичне заняття №2.
Диференціальні рівняння першого порядку. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку. Диференціальні рівняння вищих порядків. Розв‘язання ЛОДР із сталими коефіцієнтами
Мета заняття.
Оволодіти методами розв‘язання рівнянь з відокремленими і відокремлюваними змінними, однорідних рівнянь.
Вміти володіти методами Лагранжа та Бернуллі розв'язання лінійних рівнянь. Володіти методами розв‘язання рівняння Бернуллі.
Вміти розв’язувати диференціальні рівняння вищих порядків, які припускають зниження порядку та ЛОДР із сталими коефіцієнтами

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.

Індивідуальна робота.

Для денної форми здобуття освіти
–––
Для заочної форми здобуття освіти

1 семестр – Контрольна робота.

Мета контрольної роботи: – поглиблення, узагальнення і закріплення знань здобувачів з навчальної дисципліни та застосування методики аналізу завдань, формування вміння самостійно розв’язувати задачі з використанням відомого теоретичного матеріалу, а також закріплення, поглиблення і узагальнення знань і вмінь, отриманих при вивченні дисципліни, самостійно працювати з навчальною літературою і довідковою літературою, використовуючи сучасні інформаційні засоби.

Для успішного виконання контрольної роботи кожний здобувач забезпечується:
— індивідуальним робочим завданням;
— інформаційними та методичними матеріалами (довідники, навчальні посібники, пакети прикладних програм тощо);
— матеріалами для самоконтролю (тести, контрольні запитання);
— консультаціями викладачів.

Завдання контрольної роботи виконується письмово та складаються із задач за темами:
1. Елементи лінійної алгебри.
2. Елементи векторної алгебри й аналітичної геометрії.
3. Комплексні числа та дії над ними.
4. Границі та неперервність.
5. Диференціальне числення функції однієї змінної.
6. Функція декількох змінних.
7. Інтегральне числення.
8. Диференціальні рівняння.
Здобувачі отримують завдання у першому семестрі на першому практичному занятті. Контрольна робота виконується письмово і захищається на іспиту. Максимальна оцінка за виконання контрольної роботи становить 50 балів.

Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання.
Для денної форми здобуття освіти

Поточний контроль полягає у виконанні;

1) 7-ми індивідуальних поточних домашніх завдань (ІДЗ). Індивідуальні поточні домашні завдання (ІДЗ) виконуються письмово і полягають в розв'язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Бездоганне виконання та захист 7-ми індивідуальних поточних домашніх завдань оцінюється у 4 бали кожне. Всього – 28 балів.

2) Письмового чи усного опитування за лекційним матеріалом, активна участь у розв’язанні завдань на практичному занятті та виконання самостійної роботи, яка складається з одного чи двох прикладів. 1 та 2 практичне заняття оцінюється у 1 бал, 3 – 7 практичне заняття у 2 бали. Всього – 12 балів.

3) Двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з теоретичної і практичної частин та проводяться у письмовій формі. Бездоганне виконання та захист кожної модульної контрольної роботи становить 30 балів.

Підсумковий контроль – іспит.
Іспит – усний.
Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.

Для заочної форми здобуття освіти

Захист контрольної роботи. Бездоганне виконання контрольної роботи оцінюється у 50 балів. При її захисті студент може отримати до 50 балів.
Підсумковий контроль – екзамен. Екзамен усний. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.