Вища математика 2

Мета вивчення дисципліни. Формування комплексу знань щодо основних математичних методів, необхідних для аналізу та моделювання пристроїв, процесів і явищ, пошуку оптимальних рішень і найкращих способів реалізації цих рішень, знання та розуміння законів і методів діяльності у загальнонауковій сфері. Для досягнення мети вивчення дисципліни здобувачі повинні навчитися фундаментальним принципам і методам математичного аналізу фізичних та технічних процесів та явищ, побудові і дослідженню математичних моделей, інтерпретації отриманих результатів, отримати навички у застосуванні математичних методів в різних галузях природознавства і техніки.
Практичне значення та використання отриманих знань. Дисципліна базується на знаннях, отриманих при вивченні шкільного курсу алгебри, геометрії і початків математичного аналізу і є однією з фундаментальних дисциплін у системі підготовки бакалаврів спеціальності 192 – Будівництво та цивільна інженерія.
Мета практичних занять – закріплення та подальше поглиблення теоретичних знань студента і набуття практичних умінь, що визначені освітньо-професійною програмою напряму підготовки. В результаті вивчення дисципліни студент повинен знати фундаментальні розділи вищої математики в обсязі, необхідному для оволодіння математичним апаратом спеціальних дисциплін та вміти розрізняти типи математичних тверджень, будувати аналітичні та алгоритмічні моделі задач, узагальнювати та інтерпретувати результати досліджень, оцінювати їхню похибку, користуватися типовими алгоритмами розв’язання задач. Дисципліна має націлити майбутніх фахівців на осмислене і творче застосування отриманих знань в їх практичній діяльності.
Тематика та види навчальних занять

Для денної форми здобуття освіти.

Лекційні заняття

Лекція 1. «Неперервність функції. Неперервності функції на інтервалі та на відрізку. Точки розриву функції та їх класифікація».
Лекція 2. «Основні теореми о неперервних функціях. Неперервність елементарних функцій. Властивості функцій неперервних на відрізку».
Лекція 3. «Похідна функції. Диференціювання функцій, які задані неявно та функцій, які задані параметрично. Логарифмічне диференціювання. Похідні вищих порядків».
Лекція 4. «Диференціал функції. Поняття диференціалу функції. Геометричний зміст диференціала. Основні теореми про диференціали. Застосування диференціалів до наближених обчислень. Диференціали вищих порядків».
Лекція 5. «Правило Лопіталя».
Лекція 6. «Дослідження функції за допомогою похідних. Зростання та спадання функції. Максимум і мінімум функції. Найбільше та найменше значення функції на відрізку. Опуклість графіку функції. Точки перегину. Загальна схема дослідження функції та побудова графіку».
Лекція 7. «Первісна. Невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів».
Лекція 8. «Інтегрування простіших інтегралів. Інтегрування частинами. Заміна змінних в невизначеному інтегралі. Знаходження інтегралів, що містять квадратний тричлен».
Лекція 9. «Інтегрування раціональних дробів».
Лекція 10. «Інтегрування тригонометричних функцій Універсальна тригонометрична підстановка. Інтегрування ірраціональностей».
Лекція 11. «Визначений інтеграл. Основні методи обчислення визначених інтегралів».
Лекція 12. «Застосування визначеного інтегралу».
Лекція 13. «Функція багатьох змінних. Диференційованість функцій багатьох змінних. Неперервність функції багатьох змінних. Частинні прирости і частинні похідні першого порядку. Умова диференційованості функції 2-х змінних і її геометричний зміст. Достатня ознака диференційованості функції в точці».
Лекція 14. «Диференціал функції багатьох змінних. Перший диференціал функції багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних. Застосування диференціала до наближених обчислень. Рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні».
Лекція 15. «Екстремум функції багатьох змінних. Умовний екстремум. Метод підстановки знаходження умовного екстремуму. Метод Лагранжа знаходження умовного екстремуму. Знаходження найбільшого і найменшого значень функції в області».

Практичні заняття

Практичне заняття №1. «Неперервність функції. Основні теореми о неперервних функціях. Похідна функції. Диференційованість функції. Диференціювання функцій, які задані неявно та функцій, які задані параметрично. Логарифмічне диференціювання. Похідна вищих порядків».
Мета заняття. Вміти володіти навичками класифікації точок розриву. Оволодіти навичками обчислення границі функції за допомогою властивостей нескінченно малих та нескінченно великих функцій. Вміти досліджувати елементарні функції на неперервність. Вміти використовувати основні теореми для дослідження елементарних функцій на неперервність. Оволодіти методами обчислення похідної функції. Оволодіти методами обчислення похідної складної функції. Навчитися розв’язувати геометричні та фізичні задачі за допомогою похідної. Оволодіти методами обчислення похідної функції вищих порядків. Вміти обчислювати похідну, за допомогою логарифмічного диференціювання, неявних функцій та функцій, які задані параметрично.
Практичне заняття №2. «Диференціал функції. Дослідження функції за допомогою похідних. Правило Лопіталя».
Мета заняття. Вміти володіти методами обчислення диференціалу функції. Вміти володіти методами обчислення диференціалу функції вищих порядків. Вміти володіти навичками обчислення границі функції за допомогою правила Лопіталя. Вміти володіти навичками знаходження стаціонарних точок, інтервалів монотонності функції та визначення характеру екстремуму. Володіти навичками знаходження інтервалів опуклості, асимптот графіка функції, побудови графіків функцій.
Практичне заняття №3. «Інтегрування простіших інтегралів. Інтегрування частинами. Заміна змінних в невизначеному інтегралі. Знаходження інтегралів, що містять квадратний тричлен. Інтегрування раціональних дробів».
Мета заняття. Оволодіти основними методами інтегрування, за допомогою таблиці інтегралів. Вміти використовувати властивості інтегралів при розв’язанні завдань. Опанувати метод інтегрування частинами та метод заміни змінної. Вміти розв’язувати невизначений інтеграл, який містить квадратний тричлен. Вміти використовувати рекурентну форму при розв’язанні інтегралів.
Практичне заняття №4. «Інтегрування тригонометричних функцій. Інтегрування функцій, що містять деякі ірраціональності. Інтегрування диференціального бінома».
Мета заняття. Оволодіти методами інтегрування тригонометричних функцій та ірраціональностей, з використанням універсальної тригонометричної підстановки. Володіти методами інтегрування ірраціональностей за допомогою тригонометричних підстановок при розв’язанні прикладів. За допомогою певних підстановок вміти інтегрувати диференціальний біном.
Практичне заняття №5. «Основні методи обчислення визначених інтегралів. Застосування визначеного інтегралу».
Мета заняття. Вміти володіти методами обчислення визначеного інтегралу. Володіти методами інтегрування частинами та заміною змінної. Вміти володіти навичками обчислення площі фігури, довжини дуги.
Практичне заняття №6. «Функція багатьох змінних. Частинні похідні. Диференціал функції багатьох змінних».
Мета заняття. Оволодіти технікою обчислення частинних похідних першого порядку, диференціалу функції багатьох змінних, градієнту функції. Вміти застосовувати диференціал функції багатьох змінних до наближених обчислень. Вміти знаходити та будувати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні.
Практичне заняття №7. «Екстремум функції багатьох змінних».
Мета заняття. Оволодіти навичками знаходження критичних точок і визначення характеру екстремуму. Оволодіти методами Лагранжа і підстановки знаходження умовного екстремуму. Оволодіти навичками визначення найбільшого і найменшого значень функції в області.

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу. Для заочної форми здобуття освіти.

Лекційні заняття

Лекція 1. «Неперервність функції. Точки розриву функції та їх класифікація. Похідна функції. Диференціал функції. Застосування диференціалів до наближених обчислень. Правило Лопіталя. Дослідження функції за допомогою похідних. Загальна схема дослідження функції та побудова графіку».
Лекція 2. «Невизначений інтеграл. Таблиця інтегралів. Інтегрування частинами. Інтегрування раціональних дробів. Інтегрування тригонометричних функцій. Визначний інтеграл. Застосування визначеного інтегралу. Функція багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Екстремум функції багатьох змінних.

Практичні заняття

Практичне заняття №1. «Неперервність функції. Основні теореми о неперервних функціях. Похідна функції. Логарифмічне диференціювання. Правило Лопіталя».
Мета заняття. Вміти володіти навичками класифікації точок розриву. Оволодіти навичками обчислення границі функції за допомогою властивостей нескінченно малих та нескінченно великих функцій. Вміти досліджувати елементарні функції на неперервність. Оволодіти методами обчислення похідної функції. Навчитися розв’язувати геометричні та фізичні задачі за допомогою похідної. Вміти обчислювати похідну, за допомогою логарифмічного диференціювання, неявних функцій та функцій, які задані параметрично. Вміти володіти навичками обчислення границі функції за допомогою правила Лопіталя. Вміти володіти навичками знаходження стаціонарних точок, інтервалів монотонності функції та визначення характеру екстремуму. Володіти навичками знаходження інтервалів опуклості, асимптот графіка функції, побудови графіків функцій.
Практичне заняття №2. «Інтегрування простіших інтегралів. Інтегрування частинами. Інтегрування раціональних дробів. Інтегрування тригонометричних функцій. Інтегрування функцій, що містять деякі ірраціональності. Застосування визначеного інтегралу. Функція багатьох змінних. Частинні похідні. Екстремум функції багатьох змінних».
Мета заняття. Оволодіти основними методами інтегрування, за допомогою таблиці інтегралів. Вміти використовувати властивості інтегралів при розв’язанні завдань. Опанувати метод інтегрування частинами та метод заміни змінної. Оволодіти методами інтегрування тригонометричних функцій та ірраціональностей, з використанням універсальної тригонометричної підстановки. Вміти володіти методами обчислення визначеного інтегралу. Вміти володіти навичками обчислення площі фігури, довжини дуги. Оволодіти технікою обчислення частинних похідних першого порядку, диференціалу функції багатьох змінних, градієнту функції. Вміти застосовувати диференціал функції багатьох змінних до наближених обчислень. Вміти знаходити та будувати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні. Оволодіти навичками знаходження критичних точок і визначення характеру екстремуму. Оволодіти навичками визначення найбільшого і найменшого значень функції в області.

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу. Індивідуальна робота

Для денної форми здобуття освіти
Розрахунково-графічна робота
Мета розрахунково-графічної роботи:
– поглиблення, узагальнення і закріплення знань здобувачів з навчальної дисципліни та застосування методики аналізу завдань, формування вміння самостійно розв’язувати задачі з використанням відомого теоретичного матеріалу, а також закріплення, поглиблення і узагальнення знань і вмінь, отриманих при вивченні дисципліни, самостійно працювати з навчальною літературою і довідковою літературою, використовуючи сучасні інформаційні засоби.
Тематика розрахунково-графічної роботи:
– оволодіти методами обчислення похідної складної функції; розв’язувати геометричні та фізичні задачі за допомогою похідної; оволодіти методами обчислення похідної функції вищих порядків; вміти обчислювати похідну, за допомогою логарифмічного диференціювання, неявних функцій та функцій, які задані параметрично;.
– оволодіти методами обчислення диференціалу функції вищих порядків; вміти володіти навичками обчислення границі функції за допомогою правила Лопіталя; вміти володіти навичками знаходження стаціонарних точок, інтервалів монотонності функції та визначення характеру екстремуму; володіти навичками знаходження інтервалів опуклості, асимптот графіка функції, побудови графіків функцій; застосування диференціалів до наближених обчислень;
– оволодіти основними методами інтегрування, за допомогою таблиці інтегралів; опанувати метод інтегрування частинами та метод заміни змінної; оволодіти методами інтегрування тригонометричних функцій та ірраціональностей, з використанням універсальної тригонометричної підстановки; володіти методами обчислення визначеного інтегралу та вміти володіти навичками обчислення площі фігури, довжини дуги;
– оволодіти технікою обчислення частинних похідних першого порядку, диференціалу функції багатьох змінних, градієнту функції; вміти застосовувати диференціал функції багатьох змінних до наближених обчислень; вміти знаходити та будувати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні; оволодіти навичками знаходження критичних точок і визначення характеру екстремуму; оволодіти методами Лагранжа і підстановки знаходження умовного екстремуму; оволодіти навичками визначення найбільшого і найменшого значень функції в області.

Завдання РГР включає 3 теми:

1. «Похідна функції. Похідні вищих порядків. Дослідження функції за допомогою похідних. Правило Лопіталя». (4 завдання).
2. «Невизначений інтеграл. Універсальна тригонометрична підстановка. Визначений інтеграл. Основні методи обчислення визначених інтегралів. Застосування визначеного інтегралу». (3 завдання)
3. «Диференціал функції багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Застосування диференціала до наближених обчислень. Рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні. Екстремум функції багатьох змінних. Умовний екстремум». (3 завдання)

Здобувачі отримують завдання у другому семестрі на першому практичному занятті.
Розрахунково-графічна робота виконується письмово і захищається на 14 тижні. Максимальна оцінка за виконання розрахунково-графічної роботи становить 15 балів. Для заочної форми здобуття освіти

Контрольна робота.
Мета контрольної роботи: – поглиблення, узагальнення і закріплення знань здобувачів з навчальної дисципліни та застосування методики аналізу завдань, формування вміння самостійно розв’язувати задачі з використанням відомого теоретичного матеріалу, а також закріплення, поглиблення і узагальнення знань і вмінь, отриманих при вивченні дисципліни, самостійно працювати з навчальною літературою і довідковою літературою, використовуючи сучасні інформаційні засоби.
Для успішного виконання контрольної роботи кожний здобувач забезпечується:
— індивідуальним робочим завданням;
— інформаційними та методичними матеріалами (довідники, навчальні посібники, пакети прикладних програм тощо);
— матеріалами для самоконтролю (тести, контрольні запитання);
— консультаціями викладачів.
Завдання контрольної роботи виконується письмово та складаються із задач за темами:
1. Границі та неперервність.
2. Диференціальне числення функції однієї змінної.
3. Інтегральне числення.
4. Функція декількох змінних.
Здобувачі отримують завдання у першому семестрі на першому практичному занятті. Контрольна робота виконується письмово і захищається на іспиту. Максимальна оцінка за виконання контрольної роботи становить 35 балів.

Розрахунково-графічна робота
Мета розрахунково-графічної роботи:
– поглиблення, узагальнення і закріплення знань здобувачів з навчальної дисципліни та застосування методики аналізу завдань, формування вміння самостійно розв’язувати задачі з використанням відомого теоретичного матеріалу, а також закріплення, поглиблення і узагальнення знань і вмінь, отриманих при вивченні дисципліни, самостійно працювати з навчальною літературою і довідковою літературою, використовуючи сучасні інформаційні засоби.
Тематика розрахунково-графічної роботи:
– оволодіти методами обчислення похідної складної функції; розв’язувати геометричні та фізичні задачі за допомогою похідної; оволодіти методами обчислення похідної функції вищих порядків; вміти обчислювати похідну, за допомогою логарифмічного диференціювання, неявних функцій та функцій, які задані параметрично;.
– оволодіти методами обчислення диференціалу функції вищих порядків; вміти володіти навичками обчислення границі функції за допомогою правила Лопіталя; вміти володіти навичками знаходження стаціонарних точок, інтервалів монотонності функції та визначення характеру екстремуму; володіти навичками знаходження інтервалів опуклості, асимптот графіка функції, побудови графіків функцій; застосування диференціалів до наближених обчислень;
– оволодіти основними методами інтегрування, за допомогою таблиці інтегралів; опанувати метод інтегрування частинами та метод заміни змінної; оволодіти методами інтегрування тригонометричних функцій та ірраціональностей, з використанням універсальної тригонометричної підстановки; володіти методами обчислення визначеного інтегралу та вміти володіти навичками обчислення площі фігури, довжини дуги;
– оволодіти технікою обчислення частинних похідних першого порядку, диференціалу функції багатьох змінних, градієнту функції; вміти застосовувати диференціал функції багатьох змінних до наближених обчислень; вміти знаходити та будувати рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні; оволодіти навичками знаходження критичних точок і визначення характеру екстремуму; оволодіти методами Лагранжа і підстановки знаходження умовного екстремуму; оволодіти навичками визначення найбільшого і найменшого значень функції в області.

Завдання РГР включає 3 теми:
1. «Похідна функції. Похідні вищих порядків. Дослідження функції за допомогою похідних. Правило Лопіталя». (4 завдання).
2. «Невизначений інтеграл. Універсальна тригонометрична підстановка. Визначений інтеграл. Основні методи обчислення визначених інтегралів. Застосування визначеного інтегралу». (3 завдання)
3. «Диференціал функції багатьох змінних. Частинні похідні і диференціали вищих порядків. Застосування диференціала до наближених обчислень. Рівняння дотичної площини та нормалі до поверхні. Екстремум функції багатьох змінних. Умовний екстремум». (3 завдання)
Здобувачі отримують завдання у другому семестрі на першому практичному занятті.
Розрахунково-графічна робота виконується письмово і захищається на 14 тижні. Максимальна оцінка за виконання розрахунково-графічної роботи становить 15 балів. Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання

Для денної форми здобуття освіти

Поточний контроль полягає у виконанні
1) 7-ми індивідуальних поточних домашніх завдань. Індивідуальні поточні домашні завдання виконуються письмово і полягають в розв'язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Бездоганне виконання 1, 2 та 3-го індивідуального поточного домашнього завдання оцінюється у 1 бал кожне. 4, 5, 6 та 7-ме – у 3 бали. Всього – 15 балів.
2) письмового чи усного опитування за лекційним матеріалом, активна участь у розв’язанні завдань на практичному занятті та виконання самостійної роботи, яка складається з одного чи двох прикладів. 1 – 4 практичне заняття оцінюється у 1 бал, 5 – 7 практичне заняття у 2 бали. Всього – 10 балів.
3) розрахунково-графічної роботи. Бездоганне виконання РГР оцінюється у 15 балів.
4) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з теоретичної і практичної частин та проводяться у письмовій формі. Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 30 балів. Підсумковий контроль – екзамен. Екзамен усний. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів. Для заочної форми здобуття освіти

Робота здобувача на практичних заняттях оцінюється в 20 балів (кожне заняття по 10 балів). Бездоганне виконання контрольної роботи оцінюється у 15 балів. Захист контрольної роботи оцінюється у 50 балів.
Розрахунково-графічна робота. Бездоганне виконання РГР оцінюється у 15 балів.
Підсумковий контроль – екзамен. Екзамен усний. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.