Вища математика 2

Мета дисципліни: забезпечити розвиток загальних та спеціальних компетентностей здобувачів; поглиблення, поширення та узагальнення отриманих теоретичних та практичних знань з вищої математики для успішного оволодіння фундаментальними та спеціальними дисциплінами, для яких математика є універсальною мовою; забезпечити здобувачів математичним апаратом, який є необхідним під час розв'язання, аналізу та моделюванні хіміко-технологічних процесів; сприяти формуванню навичок використання математичних методів дослідження під час підготовки курсових та дипломних робіт.
Практичне значення та використання отриманих знань: вміння використовувати знання, отримані при вивченні вищої математики, при опануванні дисциплін математичного циклу і основних дисциплін циклів природничо-наукової, загальнонаукової та професійної підготовки фахівця; вміння розв’язувати типові математичні та прикладні задачі з доведенням їх до практичного прийнятного результату з використанням різних обчислювальних засобів; розуміння фундаментальних методів математичного аналізу та принципів моделювання хіміко-технологічних процесів; вміння аналізувати одержані результати та на їх основі розробляти практичні рекомендації.
Тематика та види навчальних занять

Для денної форми здобуття освіти

Лекційні заняття

Лекція №1.
Невизначений інтеграл. Безпосереднє інтегрування функції однієї змінної. Метод підведення під знак диференціалу. Метод заміни змінної.

Лекція №2.
Методи інтегрування. Метод інтегрування частинами. Інтегрування виразів, що містять квадратний тричлен.

Лекція №3.
Методи інтегрування. Інтегрування раціональних функцій та ірраціональних функцій. Інтегрування виразів, які містять тригонометричні функції.

Лекція №4.
Методи інтегрування (інтегрування виразів, які містять тригонометричні функції; універсальна підстановка; інтеграли від трансцендентних функції). Розв’язування прикладів.

Лекція №5.
Визначений інтеграл та методи обчислення визначеного інтеграла.

Лекція №6.
Застосування визначеного інтеграла в геометрії та при моделюванні й аналізу хімічних процесів.

Лекція №7.
Комплексні числа та дії над ними. Основні поняття (різні форми запису комплексного числа та дії над ними, формула Муавра).

Лекція №8.
Основні поняття з теорії функцій двох змінних. Частинні похідні функції декількох змінних.

Лекція №9.
Загальні поняття про диференціальні рівняння. Задача та теорема Коші. Найпростіші типи звичайних диференціальних рівнянь (ЗДР) першого порядку: рівняння з відокремленими та з відокремлюваними змінними.

Лекція №10.
Найпростіші типи ЗДР першого порядку: однорідні, лінійні рівняння.

Лекція №11.
Найпростіші типи ЗДР першого порядку: рівняння Бернуллі та рівняння у повних диференціалах.

Лекція №12.
Основні означення ЗДР вищих порядків. ЗДР -го порядку, які інтегруються у квадратурах та допускають зниження порядку.

Лекція №13.
Лінійні ЗДР вищих порядків. Структура загального розв’язку лінійного однорідного (неоднорідного) диференціального рівняння -го порядку. Лінійні однорідні та неоднорідного ЗДР -го порядку зі сталими коефіцієнтами.

Лекція №14.
Системи лінійних диференційних рівнянь зі сталими коефіцієнтами та методи їх розв’язання.

Лекція №15.
Приклади побудови математичних моделей хіміко-технологічних процесів за допомогою ЗДР та їх систем.

Практичні заняття

Практичне заняття №1.
Невизначений інтеграл. Методи інтегрування: безпосереднє, підведення під знак диференціалу, заміни змінної, інтегрування частинами.
Мета заняття: засвоєння таблиці основних інтегралів; оволодіння методами інтегрування: безпосереднє інтегрування, підведення під знак диференціалу та заміна змінної, інтегрування частинами. Вміння застосовувати ці методи. Набуття вміння вибирати найбільш ефективний метод інтегрування для конкретного типу функції.

Практичне заняття №2.
Обчислення інтегралів: що містять квадратний тричлен; від раціональних та ірраціональних функцій, інтегралів які містять тригонометричні функції.
Мета заняття: набуття навичок обчислення складних невизначених інтегралів шляхом освоєння спеціалізованих методів інтегрування для функцій, що містять: квадратний тричлен (виділення повного квадрата), раціональні функції (розкладання на найпростіші дроби), ірраціональні функції (спеціальні та тригонометричні підстановки), тригонометричні функції (універсальні підстановки та формули зниження степеня).

Практичне заняття №3.
Визначений інтеграл: правила його обчислення та застосування. Застосування визначеного інтеграла в геометрії. Розв’язування прикладів застосування визначених інтегралів при розв’язуванні задач з хімії (наприклад: кількість електрики, що протекла через електролізер за час ; вимір ентропії у процесі нагрівання (охолодженні) від до за сталого об'єму або сталого тиску тощо).
Мета заняття: засвоєння теоретичних основ та набуття практичних навичок обчислення визначеного інтеграла (за формулою Ньютона-Лейбніца); опанування застосувань визначеного інтеграла для розв'язання прикладних задач: у геометрії (зокрема, обчислення площ плоских фігур та об’ємів тіл обертання), у природничих науках та моделюванні хіміко-технологічних процесів .

Практичне заняття №4.
Розв’язування прикладів: записати різні форми комплексного числа, виконати дії над комплексними числами
Функції декількох змінних. Розв’язування прикладів: область визначення функції двох змінних та її побудова на площині; частинні похідні функції .
Мета заняття: засвоєння різних форм запису комплексного числа та набуття навичок виконання основних арифметичних дій над комплексними числами. Ключові навички: перехід між алгебраїчною, тригонометричною та показниковою формами.
Набуття навичок визначення функції декількох змінних її області на площині (врахування знаменників, коренів парного степеня, логарифмів тощо), а також обчислення частинних похідних за кожною змінною, вважаючи інші змінними константами.

Практичне заняття №5.
Розв’язування ЗДР першого порядку: з відокремлюваними змінними; однорідні та лінійні ЗДР (методи Лагранжа та Бернуллі).
Мета заняття: вміння класифікувати та ефективно розв'язувати основні типи ЗДР першого порядку (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні), застосовуючи відповідні алгоритми (інтегрування, заміни змінних, методи Лагранжа або Бернуллі).

Практичне заняття №6.
Розв’язування ЗДР -го порядку, які інтегруються у квадратурах та допускають зниження порядку.
Мета заняття: вміння класифікувати ЗДР вищих порядків за їхнім виглядом і вибирати правильну підстановку для зведення їх до розв'язування ЗДР першого порядку або до послідовного інтегрування; опанування спеціальних методів (підстановок), які дозволяють знизити порядок деяких типів звичайних диференціальних рівнянь вищих порядків до рівнянь, що інтегруються у квадратурах або є ЗДР першого порядку.

Практичне заняття №7.
Розв’язування систем лінійних диференціальних рівнянь першого порядку зі сталими коефіцієнтами; застосування систем ЗДР при вирішення професійних задач.
Мета заняття: оволодіння методами (за допомогою власних значень і векторів) розв'язування систем лінійних диференціальних рівнянь (ЛДР) першого порядку зі сталими коефіцієнтами та набуття навичок їхнього застосування для моделювання, аналізу та розв’язання реальних, зокрема професійних, задач.

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.
Індивідуальна робота

Індивідуальні поточні завдання

Мета: закріплення, поглиблення та систематизація теоретичних знань, отриманих на лекціях і практичних заняттях, а також набуття стійких практичних навичок розв’язування типових задач з основних розділів курсу вищої математики.
Поточні завдання (ПЗ) складаються з трьох індивідуальних домашніх завдань за темами: ПЗ1 «Обчислення невизначених інтегралів»; ПЗ2 «Обчислення визначених інтегралів та їх застосування»; ПЗ3 «Звичайні диференціальні рівняння першого та вищих порядків». ПЗ виконуються письмово та полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять.
Кожне ПЗ має на меті перевірити та розвинути конкретні компетентності:
 ПЗ1 «Обчислення невизначених інтегралів»: набуття навичок застосування всіх основних методів інтегрування (безпосереднє, підстановки, частинами тощо) для знаходження первісних функцій;
 ПЗ2 «Обчислення визначених інтегралів та їх застосування»: оволодіння правилами обчислення визначених інтегралів (формула Ньютона-Лейбніца) та вміння застосовувати їх для розв'язання геометричних задач (наприклад, знаходження площ, об’ємів);
 ПЗ3 «Звичайні диференціальні рівняння першого та вищих порядків»: набуття вмінь класифікувати та розв'язувати основні типи ЗДР (з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, вищих порядків), включаючи розв'язування систем.
Успішне виконання усіх трьох ПЗ демонструє, що здобувач самостійно опанував ключові інструменти математичного аналізу, необхідні для подальшого вивчення спеціальних дисциплін та розв'язання професійних завдань.

Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання

Поточний контроль полягає у виконанні:
1. ПЗ складаються з трьох індивідуальних домашніх завдань за темами: ПЗ1 «Обчислення невизначених інтегралів»; ПЗ2 «Обчислення визначених інтегралів та їх застосування»; ПЗ3 «Звичайні диференціальні рівняння першого та вищих порядків». ПЗ виконуються письмово та полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Кожне ПЗ разом зі співбесідою оцінюється у 10 балів та демонструє конкретні компетентності здобувача. Всього – 30 балів.
Максимальний бал здобувач одержує за бездоганне виконання та бездоганний результат на співбесіді.
Оцінка виконання враховує зокрема:
– дотримання графіка роботи;
– глибину обґрунтування та якість розрахунків;
– якість оформлення роботи.
Оцінка співбесіди включає:
– ступінь володіння матеріалом;
– аргументованість відповідей на запитання;
– вміння захищати обрану точку зору.
Успішне виконання усіх трьох ПЗ демонструє, що здобувач самостійно опанував ключові інструменти математичного аналізу, необхідні для подальшого вивчення спеціальних дисциплін та розв'язання професійних завдань.
2. Сім практичних занять оцінюються кожне по 2 бала. Всього – 14 балів;
3. Двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з двох частин: тестової частини та практичних завдань, які потребують повного розв’язання. Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи оцінюється у 28 балів. Всього – 56 балів.

Підсумковий контроль – залік. Оцінювання результатів навчання з дисципліни здійснюється за накопичувальною системою, яка дає можливість здобувачеві протягом семестру отримати максимально 100 балів. Мінімальна оцінка, яка дозволяє отримати «зараховано» – 60 балів.