Математичний аналіз 3

Мета вивчення дисципліни: ґрунтовна математична підготовка здобувачів та наукове обґрунтування ряду питань: поняття функції, границі, неперервності, похідної, інтегралу, формування у майбутніх фахівців повноцінних теоретичних знань та практичних навичок по застосуванню методів математичного аналізу.
Практичне значення та використання отриманих знань: практичне застосування теоретичних положень і математичних методів аналізу для розв’язування задач.
Створення математичної бази для подальшого вивчення нормативних та спеціалізованих дисциплін;
Тематика та види навчальних занять
Для денної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. Вступ до теорії числових рядів. Визначення числового ряда. Збіжні і розбіжні числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду.
Лекція 2. Збіжність рядів з додатними членами. Перша та друга ознаки порівняння. Критерій збіжності рядів з додатними членами. Ознака Коші в граничній формі. Ознака Даламбера в граничній формі. Інтегральна ознака Коші-Маклорена.
Лекція 3.Абсолютно і умовно збіжні ряди. Визначення абсолютної і умовної збіжності ряду. Звязок між абсолютною і умовною збіжностями ряду. Умови Коші і Даламбера для дослідження рядів на абсолютну збіжність.
Лекція 4 Знакопереміжні ряди. Визначення знакопереміжного ряду. Теорема Лейбніца. Використання рядів Лейбніца для наближених обчислень. Похибка наближених обчислень.
Лекція 5. Функціональні властивості суми функціонального ряду. Область збіжності функціональної послідовності і ряду. Критерій Коші рівномірної збіжності функціональної послідовності і ряду. Достатні умови рівномірної збіжності функціонального ряду. Достатня умова неперервності суми функціонального ряду. Почленне диференціювання та інтегрування функціонального ряду.
Лекція 6. Степеневі ряди. Розкладання функцій в степеневі ряди.
Лекція 7. Ряд Фур’є по ортогональній системі. Ортогональна система функцій. Ряд Фур’є по ортогональній системі.
Лекція 8. Ряд Фур’є по ортогональній системі (продовження). Властивості повних ортогональних систем. Поняття замкненої системи. Інтеграл Діріхлє. Функції обмеженої варіації
Лекція 9.Границя функції багатьох змінних. Визначення функції багатьох змінних. Границя суми, різниці, скалярного добутку функцій багатьох змінних.
Лекція 10. Неперервність функції багатьох змінних. Визначення неперервності функції багатьох змінних в точці.Неперервність суми, різниці, добутку і частки дійсних функцій багатьох змінних. Визначення складної функції багатьох змінних. Неперервність складної функції багатьох змінних.
Лекція 11. Похідна функції багатьох змінних. Визначення часткової похідної функції багатьох змінних. Зв'язок між повною похідною і частковими похідними функції багатьох змінних. Достатня умова диференціювання функції багатьох змінних
Лекція 12 Похідна функції багатьох змінних за напрямом. Визначення похідної функції багатьох змінних за напрямом. Вивід формули для обчислення похідної функції багатьох змінних за напрямом. Градієнт функції багатьох змінних.
Лекція 13.Часткові похідні функції багатьох змінних вищого порядку. Мішані похідні функції багатьох змінних другого порядку. Достатня умова рівності мішаних похідних функції багатьох змінних другого порядку. Визначення похідних функції багатьох змінних вищого порядку, їх властивості.
Лекція 14.Локальний екстремум функції багатьох змінних. Визначення точок локального екстремуму функції багатьох змінних. Стаціонарні точки функції багатьох змінних. Необхідна умова локального екстремуму функції багатьох змінних.
Лекція 15. Достатні умови локального екстремуму функції багатьох змінних.Критерій Сильвестра знаковизначеності матриці. Матриця похідних другого порядку функції багатьох змінних в стаціонарній точці. Достатня умова локального екстремуму функції багатьох змінних.
Практичні заняття
Практичне заняття №1. Числові ряди. Необхідна умова збіжності числового ряду. Послідовність зрізаних сум ряда. Використання першої і другої ознаки порівняння для рядів з додатними членами. Використання ознак Коші та Даламбера для рядів з додатними членами.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та здобуття навичок у використанні першої і другої ознаки порівняння, ознак Коші та Даламбера для рядів з додатними членами.
Практичне заняття №2. Використання інтегральної ознаки Коші-Маклорена для рядів з додатними членами. Знакопереміжні ряди. Дослідження на збіжність знакопереміжних рядів. Ряди Лейбніца.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та здобуття навичок в використанні ознаки Коші-Маклорена для рядів з додатними членами та дослідження на збіжність знакопереміжних рядів.
Практичне заняття №3. Функціональні послідовності і ряди. Знаходження області збіжності функціональних послідовностей і рядів. Степеневі ряди.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та здобуття навичок в знаходженні області збіжності функціональних послідовностей і рядів, степеневих рядів.
Практичне заняття №4. Ряди Фур'є. Дослідження рядів Фур'є на збіжність . Теорема Діріхле, її застосування. Неповні ряди Фур'є.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та здобуття практичних навичок в дослідженні рядів Фур'є на збіжність .
Практичне заняття №5. Функції багатьох змінних. Область визначення функції багатьох змінних, графічне зображення області визначення функції багатьох змінних.
Обчислення границі функції багатьох змінних. Дослідження функції багатьох змінних на неперервність, знаходження точок розриву.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та здобуття практичних навичок в знаходженні та графічному зображенні області визначення функції багатьох змінних, в знаходженні точок розриву функції багатьох змінних..
Практичне заняття №6. Похідна функції багатьох змінних. Обчислення частинних похідних, повної похідної і повного диференціалу функції багатьох змінних. Частинні похідні вищих порядків, диференціали вищих порядків. Мішані похідні другого порядку.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та здобуття навичок в знаходженні частинних похідних, повної похідної і повного диференціалу, в диференціюванні складних функцій багатьох змінних, похідної функцій багатьох змінних в заданому напрямку, а також похідних і диференціалів вищих порядків.
Практичне заняття №7. Екстремум функції багатьох змінних. Необхідна умова екстремума. Достатня умова екстремума. Умовний екстремум. Найбільше і найменьше значення.Знаходження найбільшого і найменшого значень функції багатьох змінних.
Мета заняття: Навчитися проводити практичні дослідження та здобуття навичок в знаходженні екстремума функцій багатьох змінних, в знаходженні найбільшого і найменшого значень функції багатьох змінних. Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу. Індивідуальна робота
Для денної форми здобуття освіти
Розрахунково-графічна робота

Мета розрахунково-графічної роботи – систематизувати, розширити та закріпити теоретичні знання здобувачів з дисципліни «Математичний аналіз» розділів «Числові та функціональні ряди. Функції багатьох змінних».
Здобувач отримує завдання на першому тижні семестру на практичному занятті.
Робота містить 12 завдань, кожне завдання має 30 варіантів.
Змістовна послідовність виконання роботи.
1. Отримання завдання. Виконання розрахунків з першої частини завдання..
2. Виконання розрахунків з другої частини завдання.
3. Захист роботи.
Захист розрахунково-графічної роботи – протягом останнього навчального тижня семестру. Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання
Для денної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні
1) 7-ми індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання виконуються письмово і полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Бездоганне виконання індивідуальних поточних завдань №1-2, оцінюється у 5 балів; №3-7 оцінюється у 6 балів.
2) розрахунково-графічної роботи. Бездоганне виконання оцінюється у 20 балів.
3) двох модульних контрольних робіт. Модульна робота складається з теоретичної частини (у формі тестових запитань) та практичної частини (2 завдання).
Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 20 балів.
Підсумковий контроль – залік. Максимальна оцінка, яка дозволяє отримати «зараховано» - 60 балів. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.