Вища математика 1

Мета дисципліни: Метою вивчення дисципліни є забезпечення створення міцного фундаменту математичної освіти фахівця, фундаментального засвоєння теоретичного та практичного курсів з вищої математики, навчання студента основним методам математичного аналізу, розвиток навичок творчого дослідження, математичного та комп’ютерного моделювання, застосування методів вищої математики в галузі комп’ютерних наук, комп’ютерно-інтегрованих технологій тощо.
Практичне значення та використання отриманих знань: набуття компетенцій, знань, умінь та навичок математичного формулювання та досліджування неперервних та дискретних математичних моделей, обґрунтовування вибору методів і підходів для математичного розв’язування теоретичних і прикладних задач у галузі комп’ютерних наук, аналізу та інтерпретування; здатність використовувати сучасні методи математичного моделювання об’єктів, процесів і явищ, розробляти моделі й алгоритми чисельного розв’язування задач математичного моделювання, враховувати похибки наближеного чисельного розв’язування професійних задач.

Тематика та види навчальних занять

Для денної форми здобуття освіти

Лекційні заняття
Лекція 1. «Елементи лінійної алгебри. Визначники різних порядків, означення, властивості, обчислення. Матриці, види матриць, лінійні операції, множення, обертання, ранг матриці. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язування методами Крамера, Гаусса, матричним, теорема Кронекера-Капеллі».
Лекція 2. «Елементи векторної алгебри. Вектори, способи задання, дії, лінійні операції. Скалярний, векторний, мішаний добутки, властивості. Практичне тлумачення, вираження через координати множників. Деякі додатки та застосування».
Лекція 3. «Елементи аналітичної геометрії на площині. Пряма на площині, різні рівняння, метричні задачі. Площина та пряма у просторі, різні рівняння, взаємне розташування, метричні задачі. Лінії другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола). Властивості, рівняння, застосування».
Лекція 4. «Поверхні другого порядку, рівняння, застосування. Параметричне задання ліній. Конкретні приклади (пряма, еліпс, астроїда, циклоїда). Системи координат. Лінійні оператори (перетворення) і матриці, добуток перетворень, обернене перетворення. Власні числа та власні вектори лінійних операторів. Перетворення матриці лінійного оператора при переході до нового базису».
Лекція 5. «Лінійні, евклідовий, гільбертовий простори. Класичні та квантові операції. Множини, дії з ними, відображення множин, послідовність, функція, функціонал, оператор. Класифікація функцій, елементарні функції. Комплексні числі, форми запису, дії з числами».
Лекція 6. «Границя послідовності та функції. Нескінченно малі та великі. Теореми про нескінченно малі та про границі. Техніка знаходження границь. Стандартні границі (перша, друга). Неперервність функцій, означення, класифікація точок розриву, теореми про неперервні функції».
Лекція 7. «Похідна функції, означення, геометричний зміст, практичні тлумачення, прості застосування. Правила диференціювання, диференційованість і неперервність. Диференціювання основних елементарних функцій, неявних і параметрично заданих функцій. Логарифмічне диференціювання. Похідні вищих порядків».
Лекція 8. «Диференціал функції, означення, геометричний зміст, інваріантність форми першого диференціалу, застосування. Теореми про диференційовані функції (Ролля, Коші, Лагранжа, Лопіталя). Формули Тейлора і Маклорена. Похідні та елементи поведінки функцій (монотонність, екстремум, опуклість, кривина). Асимптоти. Загальна схема дослідження функції за допомогою похідної. Практичні задачі на екстремум».
Лекція 9. «Первісна і невизначений інтеграл, означення, властивості. Таблиця основних інтегралів. Метод безпосереднього інтегрування. Невизначене інтегрування підстановкою (заміною змінних) та частинами».
Лекція 10. «Стандартна техніка невизначеного інтегрування. Інтегрування раціональних, дрібно-раціональних, тригонометричних, алгебраїчних ірраціональних функцій. Інтегрування із застосуванням таблиць, інтеграли, які не виражаються через елементарні функції».
Лекція 11. «Визначений інтеграл, означення, властивості, геометричний та фізичний зміст. Формула Ньютона-Лейбніца. Практичне тлумачення, прості практичні задачі. Похідна інтегралу із змінною верхньою межею».
Лекція 12. «Стандартна техніка визначеного інтегрування. Заміна змінних та інтегрування частинами. Оцінки інтегралів. Інтегрування із застосовуванням таблиць та пакетів програм».
Лекція 13. «Геометричні застосування визначеного інтеграла (площі фігур, довжини ліній, об’єми деяких тіл та площі поверхонь). Деякі фізичні застосовування визначеного інтегралу (робота, сила тиску тощо). Різні схеми застосування визначеного інтегралу».
Лекція 14. «Невластиві інтеграли з нескінченими межами інтегрування та від необмежених функцій. Дослідження на збіжність, ознаки збіжності. Інтеграли, залежні від параметра».
Лекція 15. «Означення та задання функцій багатьох змінних. Границі, похідні, диференціали, застосування. Неперервність, Тейлорова формула. Екстремум, метод найменших квадратів. Підсумкове заняття».

Практичні заняття
Практичне заняття №1. «Обчислення визначників різних порядків. Матриці, види матриць, лінійні операції, множення, обертання, ранг матриці. Розв’язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь. методами Крамера, Гаусса, матричним методом».
Мета заняття: вивчення базових понять лінійної алгебри; набуття навичок обчислення визначників різних порядків, виконання операцій з матрицями, аналізу та розв’язання систем лінійних рівнянь.
Практичне заняття №2. «Вектори, способи задання, дії, лінійні операції. Знаходження скалярного, векторного, мішаного добутків. Практичне тлумачення, вираження через координати множників. Деякі додатки та застосування».
Мета заняття: вивчення базових понять векторної алгебри; набуття навичок виконання лінійних операцій з векторами, заданими координатами, знаходження добутку векторів, використання їх властивостей.
Практичне заняття №3. «Розв’язування стандартних задач аналітичної геометрії на площині. Пряма на площині, різні рівняння, метричні задачі. Площина та пряма у просторі, різні рівняння, взаємне розташування, метричні задачі. Складання простих рівнянь кривих другого порядку (коло, еліпс, гіпербола, парабола)».
Мета заняття: вивчення базових понять аналітичної геометрії, набуття навичок розв’язування стандартних задач на пряму на площині, площину, коло сферу з використанням стандартних рівнянь та векторної алгебри, складання простих рівнянь кривих другого порядку.
Практичне заняття №4. «Розв’язування задач на побудову поверхонь другого порядку, зображення ліній, заданих параметричними рівняннями, складання канонічних рівнянь ліній другого порядку. Знаходження матриць добутку перетворень та оберненого перетворення, знаходження власних чисел та власних векторів лінійних перетворень. Матриці лінійних перетворень при переході до нового базису».
Мета заняття: вивчення базових понять та набуття навичок розв’язування стандартних задач на побудову поверхонь другого порядку, складання канонічних рівнянь ліній другого порядку; знаходження матриць добутку перетворень та оберненого перетворення, знаходження власних чисел та власних векторів лінійних перетворень.
Практичне заняття №5. «Лінійні, евклідовий, гільбертовий простори. Множини, дії з ними, відображення множин, послідовність, функція, функціонал, оператор, елементарні функції. Арифметичні дії з комплексними числами».
Мета заняття: набуття навичок розв’язування стандартних задач розпізнавання лінійних просторів серед інших у простих випадках, вивчення базових понять та виконання стандартних операцій з множинами, переходу від однієї форми комплексного числа до інших, виконання арифметичних операцій з комплексними числами, поданими у різних формах.
Практичне заняття №6. «Знаходження границь послідовностей та функції; дослідження функцій на неперервність, з’ясування характеру розривів функцій; порівняння нескінченно малих, знаходження границь з заміною функцій їх еквівалентними нескінченими малими».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії границь послідовності та функції, набуття навичок розв’язування стандартних задач знаходження границь послідовностей та функції, з’ясування нескінченно малих, дослідження функцій на неперервність тощо.
Практичне заняття №7. «Розв’язування стандартних задач диференціального числення функції однієї змінної, знаходження похідної за її означенням для явно заданих функцій, за таблицею похідних та їх властивостями у випадку явно, неявно та параметрично заданих функцій, логарифмічне диференціювання, знаходження похідних вищих порядків явно, неявно, параметрично заданих функцій».
Мета заняття: вивчення базових понять диференціального числення функції однієї змінної, набуття навичок розв’язання задач на диференціювання основних елементарних функцій, явно, неявно, параметрично заданих функцій, знаходження похідних вищих порядків.
Практична заняття №8. «Розв’язування задач на знаходження диференціалу та його застосування до наближених обчислень. Застосування загальної схеми дослідження функції (монотонність, екстремум, опуклість, кривина; асимптоти) за допомогою похідної. Розв’язування практичних задач на екстремум».
Мета заняття: продовження вивчення базових понять диференціального числення функції однієї змінної, набуття навичок розв’язування задач на знаходження диференціалу та його застосування до наближених обчислень, дослідження функцій на монотонність, екстремум, опуклість; проведення повного дослідження функцій із зображенням їх графіків, розв’язування практичних задач на найбільше та найменше значення тощо.
Практичне заняття №9. «Розв’язування стандартних задач інтегрального числення функції однієї змінної. Знаходження первісних, невизначеного інтегралу з використанням таблиці основних інтегралів, методу безпосереднього інтегрування, техніки невизначеного інтегрування підстановкою (заміною змінних) та частинами».
Мета заняття: вивчення базових понять інтегрального числення функції однієї змінної, набуття навичок розв’язання задач на знаходження первісних, невизначеного інтегралу з використанням таблиці основних інтегралів, опанування техніки невизначеного інтегрування підстановкою (заміною змінних) та частинами.
Практичне заняття №10. «Стандартна техніка невизначеного інтегрування. Інтегрування раціональних, дрібно-раціональних, тригонометричних, алгебраїчних ірраціональних функцій. Інтегрування із застосуванням таблиць, інтеграли, які не виражаються через елементарні функції».
Мета заняття: вивчення базових понять інтегрального числення функції однієї змінної, набуття навичок розв’язання задач на інтегрування раціональних, дрібно-раціональних, тригонометричних, алгебраїчних ірраціональних, інших функцій.
Практичне заняття №11. «Розв’язування стандартних задач інтегрального числення функції однієї змінної. Знаходження визначеного інтегралу з використанням таблиці основних інтегралів. Формула Ньютона-Лейбніца. Практичне тлумачення, прості практичні задачі. Похідна інтегралу із змінною верхньою межею».
Мета заняття: вивчення базових понять інтегрального числення функції однієї змінної, набуття навичок розв’язання задач на знаходження визначеного інтегралу, похідної інтегралу із змінною верхньою межею, практичного тлумачення тощо.
Практичне заняття №12. «Стандартна техніка визначеного інтегрування. Заміна змінних та інтегрування частинами. Оцінки інтегралів. Інтегрування із застосовуванням таблиць та пакетів програм».
Мета заняття: продовження вивчення базових понять інтегрального числення функції однієї змінної, набуття навичок розв’язання задач визначеного інтегрування, опанування техніки інтегрування, заміни змінних та інтегрування частинами, оцінки інтегралів тощо.
Практичне заняття №13. «Геометричні застосування визначеного інтеграла (площі фігур, довжини ліній, об’єми деяких тіл та площі поверхонь). Деякі фізичні та застосовування визначеного інтегралу (робота, сила тиску тощо). Різні схеми застосування визначеного інтегралу».
Мета заняття: набуття практичних навичок розв’язання задач на деякі геометричні та фізичні застосування визначеного інтеграла (площі фігур, довжини ліній, об’єми деяких тіл та площі поверхонь; робота, сила тиску тощо).
Практичне заняття №14. «Знаходження невласних інтегралів з нескінченими межами інтегрування та від необмежених функцій. Розв’язання задач дослідження на збіжність, ознаки збіжності. Інтеграли, залежні від параметра. Різні схеми застосування інтегралу».
Мета заняття: набуття навичок розв’язання задач знаходження невласних інтегралів з нескінченими межами інтегрування та від необмежених функцій; розв’язання задач дослідження на збіжність, ознаки збіжності; різні схеми застосування інтегралу.
Практичне заняття №15. «Елементи диференціального числення функції багатьох змінних. Розв’язання задач на знаходження границь, похідних, диференціалів, дослідження функцій багатьох змінних на екстремум. Метод найменших квадратів. Підсумкове заняття».
Мета заняття: вивчення базових понять диференціального числення функції багатьох змінних, набуття навичок розв’язання задач на знаходження границь, похідних, диференціалів функції багатьох змінних, дослідження функцій на екстремум, використання методу найменших квадратів, розв’язання практичних задач знаходження найбільшого на найменшого значень функцій тощо. Підведення підсумків. Для заочної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. «Елементи лінійної та векторної алгебри. Визначники різних порядків. Матриці, види матриць, лінійні операції. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язування методами Крамера, Гаусса, матричним. Операції над векторами».
Лекція 2. «Елементи диференціального та інтегрального числення функції однієї змінної. Похідна (диференціал) у випадку явно, неявно та параметрично заданих функцій. Первісна, невизначений інтеграл, визначений інтеграл, їх властивості; елементи техніки невизначеного та визначеного інтегрування».
Практичні заняття
Практичне заняття №1. «Визначники різних порядків. Матриці, види матриць, лінійні операції. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язування методами Крамера, Гаусса, матричним».
Мета заняття: вивчення базових понять лінійної, векторної алгебри; набуття навичок обчислення визначників різних порядків, виконання операцій з матрицями, аналізу та розв’язання систем лінійних рівнянь методами Крамера, Гаусса, матричним».
Практичне заняття №2. «Розв’язування стандартних задач диференціального та інтегрального числення функції однієї змінної; знаходження похідної (диференціалу) у випадку явно, неявно та параметрично заданих функцій; обчислення первісних, невизначеного та визначеного інтегралів, опанування техніки невизначеного та визначеного інтегрування функції однієї змінної».
Мета заняття: набуття навичок розв’язування стандартних задач диференціального та інтегрального числення функції однієї змінної, знаходження похідної (диференціалу) у випадку явно, неявно та параметрично заданих функцій; набуття навичок розв’язування задач на обчислення первісних, невизначеного та визначеного інтегралів, опанування техніки невизначеного та визначеного інтегрування функції однієї змінної. Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу. Індивідуальна робота

Для денної форми здобуття освіти

Розрахунково-графічна робота
Мета розрахунково-графічної роботи – поглиблення, узагальнення і закріплення знань студентів з навчальної дисципліни «Вища математика», застосування їх при вирішенні конкретного завдання і вироблення вміння самостійно працювати з навчальною літературою, з використанням методів лінійної, векторної алгебри, аналітичної геометрії, диференціального та інтегрального числення функції однієї змінної для розв’язку задач.
Здобувач отримує завдання на третьому в семестрі практичному занятті.
Пояснювальна записка містить 5-7 сторінок. Кількість розділів – 3.
Графічна частина – розв’язання задачі аналітичної геометрії на площині (у просторі) із графічним зображенням розв’язку; застосування загальної схеми дослідження функції (монотонність, екстремум, опуклість, кривина; асимптоти) за допомогою похідної із зображенням їх графіків.
Змістовна послідовність виконання роботи.
1. Розв’язання задачі аналітичної геометрії на площині (у просторі) із графічним зображенням розв’язку.
2. Застосування загальної схеми дослідження функції (монотонність, екстремум, опуклість, кривина; асимптоти) за допомогою похідної та зображенням графіку функції.
Захист РГР – протягом останнього навчального тижня семестру.
Максимальна кількість балів за бездоганне виконання – 6 балів. Для заочної форми здобуття освіти
Розрахунково-графічна робота
Мета розрахунково-графічної роботи – поглиблення, узагальнення і закріплення знань студентів з навчальної дисципліни «Вища математика», застосування їх при вирішенні конкретного завдання і вироблення вміння самостійно працювати з навчальною літературою, з використанням методів лінійної, векторної алгебри, аналітичної геометрії, диференціального та інтегрального числення функції однієї змінної для розв’язку задач.
Здобувач отримує завдання на установочній сесії.
Пояснювальна записка містить 5-7 сторінок. Кількість розділів – 3.
Графічна частина – розв’язання задачі аналітичної геометрії на площині (у просторі) із графічним зображенням розв’язку; застосування загальної схеми дослідження функції (монотонність, екстремум, опуклість, кривина; асимптоти) за допомогою похідної із зображенням їх графіків.
Змістовна послідовність виконання роботи.
1. Розв’язання задачі аналітичної геометрії на площині (у просторі) із графічним зображенням розв’язку.
2. Застосування загальної схеми дослідження функції (монотонність, екстремум, опуклість, кривина; асимптоти) за допомогою похідної та зображенням графіку функції;
Здача РГР – за місяць до початку сесії.
Максимальна кількість балів за бездоганне виконання – 6 балів. Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання

Для денної форми здобуття освіти

Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Дисципліна поділяється на два семестрові модулі. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та практичних занять, виконують розрахунково-графічну роботу та 2 модульні контрольні роботи.
Модульні контрольні роботи виконуються у письмовій формі. Максимальна оцінка за контрольну роботу – 20 балів. По 2 бали за кожну вірну відповідь на питання № 1-10.
Кожний модуль оцінюється у максимально можливі 50 балів:
ПР1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 2 тиждень.
ПР2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
ПР3. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 4 тиждень.
ПР4. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 5 тиждень.
ПР5. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 6 тиждень.
ПР6. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 7 тиждень.
ПР7. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 9 тиждень.
ПР8. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 10 тиждень.
ПР9. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 11 тиждень.
ПР10. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 12 тиждень.
ПР11. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 13 тиждень.
ПР12. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 14 тиждень.
При оцінюванні практичних робіт можуть зніматися бали за:
1) Відсутність або некоректність розв’язку певної завдання – 2 бали.
2) Недостатня (неповна) обґрунтованість розв’язку задачі – 1 бал.
3) Відсутність висновків по роботі або їх невідповідність завданню та результатам, представленим у протоколі роботи – 1 бал.

Захист РГР. Оцінка за правильне виконання РГР – максимально 6 балів. Термін надання – 14 тиждень.
При оцінюванні РГР можуть зніматися бали за:
1) Відсутність структурних елементів протоколу (титульний лист, мета роботи) – 1 бал.
2) Відсутність або некоректність розв’язку певного завдання – 2 бали.
3) Недостатня (неповна) обґрунтованість розв’язку задачі – 1 бал.
4) Відсутність висновків по роботі або їх невідповідність завданню та результатам, представленим у протоколі роботи – 1 бал.
Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
Підсумковим контролем з дисципліни є усний екзамен, білет до якого складається з теоретичної частини (5 запитань по 10 балів) та практичної частини (5 задач по 10 балів). Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання екзаменаційного білету становить 100 балів. Для заочної форми здобуття освіти
Контрольна робота
Завдання для виконання контрольної роботи здобувач отримує на установчій лекції.
Робота містить 10 теоретичних питань та 10 практичних завдань, кожне з яких оцінюється у 3 бали максимально.
Текст відповіді повинен бути виконаний самостійно, а не скопійованим з навчального посібника. Термін надання виконаної контрольної роботи на перевірку – не пізніше, ніж за місяць до початку сесії.
Практичне робота №1. «Визначники різних порядків. Матриці, види матриць, лінійні операції. Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Розв’язування методами Крамера, Гаусса, матричним» оцінюється у 15 балів максимально.
Практичне робота №2. «Розв’язування стандартних задач диференціального та інтегрального числення функції однієї змінної; знаходження похідної (диференціалу) у випадку явно, неявно та параметрично заданих функцій; обчислення первісних, невизначеного та визначеного інтегралів, опанування техніки невизначеного та визначеного інтегрування функції однієї змінної» оцінюється у 15 балів максимально.
При оцінюванні практичних робіт можуть зніматися бали за:
1) Відсутність або некоректність розв’язку певної завдання – 2 бали.
2) Недостатня (неповна) обґрунтованість розв’язку задачі – 1 бал.
3) Відсутність висновків по роботі або їх невідповідність завданню та результатам, представленим у протоколі роботи – 1 бал.
Захист РГР. Оцінка за правильне виконання РГР – максимально 10 балів.
При оцінюванні РГР можуть зніматися бали за:
1) Відсутність структурних елементів протоколу (титульний лист, мета роботи) – 1 бал.
2) Відсутність або некоректність розв’язку певного завдання – 2 бали.
3) Недостатня (неповна) обґрунтованість розв’язку задачі – 1 бал.
4) Відсутність висновків по роботі або їх невідповідність завданню та результатам, представленим у протоколі роботи – 1 бал.
Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
Підсумковим контролем з дисципліни є усний екзамен, білет до якого складається з теоретичної частини (5 запитань по 10 балів) та практичної частини (5 задач по 10 балів). Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання екзаменаційного білету становить 100 балів.