Вища математика 2

Мета дисципліни: Метою вивчення дисципліни є забезпечення створення міцного фундаменту математичної освіти фахівця, фундаментального засвоєння теоретичного та практичного курсів з вищої математики, навчання студента основним методам математичного аналізу, розвиток навичок творчого дослідження, математичного та комп’ютерного моделювання, застосування методів вищої математики в галузі комп’ютерних наук, комп’ютерно-інтегрованих технологій тощо.
Практичне значення та використання отриманих знань: набуття компетенцій, знань, умінь та навичок математичного формулювання та досліджування неперервних та дискретних математичних моделей, обґрунтовування вибору методів і підходів для математичного розв’язування теоретичних і прикладних задач у галузі комп’ютерних наук, аналізу та інтерпретування; здатність використовувати сучасні методи математичного моделювання об’єктів, процесів і явищ, розробляти моделі й алгоритми чисельного розв’язування задач математичного моделювання, враховувати похибки наближеного чисельного розв’язування професійних задач.

Тематика та види навчальних занять

Для денної форми здобуття освіти

Лекційні заняття
Лекція 1. «Звичайні диференціальні рівняння, основна термінологія, порядок, розв’язки, класифікація. Основні типи диференціальних рівнянь першого порядку, засоби їх розв’язання, задача Коші. Інтегрування в квадратурах в стандартних випадках (рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі). Диференціальні рівняння вищих порядків. Задача Коші. Рівняння вищих порядків, які допускають зниження».
Лекція 2. «Лінійна залежність та визначник Вронського. Лінійні диференціальні рівняння (ДР) другого та вищих порядків. Лінійні однорідні ДР, структура загального розв’язку, розв’язування рівнянь із сталими коефіцієнтами. Лінійні неоднорідні ДР, розв’язування методом варіації сталих. Розв’язування неоднорідних ДР другого порядку із сталими коефіцієнтами зі спец. правою частиною».
Лекція 3. «Системи диференціальних рівнянь (ДР). Задача Коші для нормальної системи. Матрична форма. Розв’язування нормальної системи лінійних ДР зі сталими коефіцієнтами. Поняття стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуновим. Стійкість розв’язку системи ДР, класифікація особливих точок. Застосування ДР в прикладних задачах. Метод ДР Глушкова-Іванова-Іванової в квантовій механіці та інформатиці. Наближене розв’язування ДР, методи ітерацій, Ейлера, Рунге-Кутта».
Лекція 4. «Кратні інтеграли. Поняття подвійного інтеграла і його властивості. Обчислення подвійного інтеграла в декартових та полярних координатах. Інтеграл Гаусса (Пуассона). Геометричні та фізичні застосування».
Лекція 5. «Потрійний інтеграл Поняття та обчислення потрійного інтеграла. Застосування. Обчислення потрійного інтегралу в декартових, циліндричних та сферичних координатах. Деякі додатки потрійного інтегралу (об’єм, маса тіла, статичні моменти, центр ваги тіла, моменти інерції) в класичній та квантовій механіці».
Лекція 6. «Криволінійні інтеграли першого та другого роду (за довжиною дуги та за координатами). Властивості, обчислення, застосування. Формула Гріна, незалежність криволінійного інтегралу від контуру інтегрування. Застосування криволінійних інтегралів».
Лекція 7. «Поверхневі інтеграли, властивості, обчислення. Елементи теорії поля. Скалярне поле, похідна за напрямом, градієнт. Векторне поле. Диференціальні (дивергенція, ротор) та інтегральні (потік, циркуляція) характеристики векторного поля, їх тлумачення, зв'язок між ними. Класифікація полів, соленоїдні та потенційні поля. Оператори Лапласа і Гамільтонам, їх застосування в векторному аналізі».
Лекція 8. «Числові ряди. Збіжність, сума, необхідна умова збіжності, лінійні операції з рядами. Стандартні достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами. Ознаки Даламбера, Коші. Знакопереміжні та знакозмінні ряди, види збіжності, ознака Лейбніца, збіжності».
Лекція 9. «Функціональні ряди, збіжність, властивості рівномірно збіжних рядів. Степеневі ряди, збіжність, теорема Абеля. Ряди Тейлора та Маклорена. Стандартні розкладання деяких функцій в степеневі ряди. Застосування степеневих рядів у точних та наближених обчисленнях. Тригонометричні ряди Фур’є для періодичних функцій. Теорема Діріхле. Ряди Фур’є для парних і непарних функцій. Інтеграл Фур’є, перетворення Фур’є, його властивості».
Лекція 10. «Рівняння математичної фізики у частинних похідних. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Характеристики, зведення до канонічного вигляду. Хвильове рівняння, розв’язування методом Даламбера. Розв’язування хвильового рівняння методом Фур’є».
Лекція 11. «Рівняння в частинних похідних. Рівняння теплопровідності (дифузії), розв’язування методом Фур’є. Рівняння Лапласа. Функції Бесселя, їх застосування при розв’язанні рівнянь в частинних похідних. Розв’язування рівняння теплопровідності методом сіток. Рівняння Шредінгера та Дірака, їх використання в квантовій механіці та інформатиці».
Лекція 12. «Функція комплексної змінної, визначення, границя, неперервність. Похідна функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Інтегрування функцій комплексної змінної, центральна теорема Коші, формула Коші».
Лекція 13. «Теорія функцій комплексної змінної. Конформні відображення. Відображення за допомогою лінійної та дробово-лінійної функцій. Відображення за допомогою степеневої та інших функцій. Ряди Тейлора. Ряди Лорана. Класифікація ізольованих особливих точок. Лишки, обчислення, застосування».
Лекція 14. «Операційне обчислення. Оригінал та зображення за Лапласом, властивості зображення. Зображення стандартних оригіналів. Зображення похідної. Згортка функцій та її зображення, зображення інтегралу. Диференціювання та інтегрування зображень. Обернене зображення Лапласа. Застосування операційного числення, розв’язування диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь та систем таких рівнянь».
Лекція 15. «Методи вищої та обчислювальної математики в задачах чисельного диференціювання, інтегрування, інтерполяції, розв’язування диференціальних, інтегральних рівнянь та їх систем. Методи вищої та обчислювальної математики в задачах інтелектуального аналізу даних та програмування динамічних систем. Підсумкове заняття».

Практичні заняття
Практичне заняття №1. «Розв’язування диференціальних рівнянь першого порядку, задача Коші. Інтегрування в квадратурах в стандартних випадках (рівняння з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні, Бернуллі). Розв’язування диференціальних рівнянь вищих порядків. Рівняння вищих порядків, які допускають зниження».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії звичайних диференціальних рівнянь першого порядку; набуття навичок розв’язування диференціальних рівнянь першого та вищих порядків порядку.
Практичне заняття №2. «Розв’язування лінійних диференціальних рівнянь другого та вищих порядків; розв’язування лінійних однорідних диференціальних рівнянь другого порядку із сталими коефіцієнтами, лінійних неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку із сталими коефіцієнтами зі спец. правою частиною».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії звичайних лінійних диференціальних рівнянь другого та вищих порядків; набуття навичок розв’язування лінійних однорідних та неоднорідних диференціальних рівнянь другого порядку із сталими коефіцієнтами.
Практичне заняття №3. «Розв’язування систем диференціальних рівнянь, нормальної системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Дослідження стійкості за Ляпуновим розв’язку системи диференціальних рівнянь. Опанування методів наближеного розв’язування систем диференціальних рівнянь (ітерацій, Ейлера, Рунге-Кутта), а також методу диференціальних рівнянь Глушкова-Іванова-Іванової в квантових обчисленнях».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії систем диференціальних рівнянь, набуття навичок розв’язування нормальної системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, дослідження стійкості за Ляпуновим розв’язку системи диференціальних рівнянь, застосування методів наближеного розв’язування систем диференціальних рівнянь.
Практичне заняття №4. «Обчислення подвійного інтеграла в декартових та полярних координатах. Інтеграл Гаусса (Пуассона). Геометричні та фізичні застосування».
Мета заняття: вивчення базових понять інтегрального числення функції багатьох змінних, набуття навичок розв’язання задач на обчислення подвійного інтеграла в декартових та полярних координатах, використання подвійного інтегралу у геометричних та фізичних додатках.
Практичне заняття №5. «Обчислення потрійного інтегралу в декартових, циліндричних та сферичних координатах. Деякі геометричні та фізичні додатки потрійного інтегралу (об’єм, маса тіла, статичні моменти, центр ваги тіла, моменти інерції), застосування в класичній та квантовій механіці».
Мета заняття: вивчення базових понять інтегрального числення функції багатьох змінних, набуття навичок розв’язання задач на обчислення потрійного інтеграла в декартових, циліндричних та сферичних координатах, використання потрійного інтегралу у геометричних та фізичних додатках.
Практичне заняття №6. «Обчислення криволінійних інтегралів першого та другого роду (за довжиною дуги та за координатами). Застосування криволінійних інтегралів».
Мета заняття: вивчення базових понять інтегрального числення функції багатьох змінних, набуття навичок розв’язання задач на обчислення криволінійних інтегралів першого та другого роду (за довжиною дуги та за координатами) та їх практичного застосування у додатках.
Практичне заняття №7. «Обчислення поверхневих інтегралів. Елементи теорії поля. Скалярне поле, похідна за напрямом, градієнт. Векторне поле. Диференціальні (дивергенція, ротор) та інтегральні (потік, циркуляція) характеристики векторного поля, їх тлумачення, зв'язок між ними. Оператори Лапласа і Гамільтона, їх застосування у векторному аналізі».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії поверхневих інтегралів та базових понять теорії поля; набуття навичок розв’язання задач на обчислення поверхневих інтегралів; обчислення диференціальних та інтегральних характеристик скалярного та векторного полів; застосування операторів Лапласа і Гамільтона у векторному аналізі.
Практичне заняття №8. «Елементи теорії числових рядів. Лінійні операції з рядами. Дослідження збіжності рядів з додатними членами, знакопереміжних та знакозмінних рядів».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії числових рядів; набуття навичок виконання лінійних операцій з рядами, розв’язування задач на дослідження збіжності числових рядів тощо.
Практичне заняття №9. «Елементи теорії функціональних рядів. Степеневі ряди, збіжність. Ряди Тейлора та Маклорена. Стандартні розкладання деяких функцій в степеневі ряди. Застосування степеневих рядів у точних та наближених обчисленнях. Тригонометричні ряди Фур’є для періодичних функцій. Інтеграл Фур’є, перетворення Фур’є».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії функціональних (степеневих, тригонометричних) рядів, набуття навичок дослідження збіжності, розв’язання задач на розкладання деяких функцій в степеневі ряди, застосування степеневих рядів у точних та наближених обчисленнях, дослідження та застосуванням рядів Фур’є тощо.
Практичне заняття №10. «Розв’язування рівнянь у частинних похідних. Класифікація рівнянь у частинних похідних другого порядку. Розв’язування краєвих задач математичної фізики, розв’язування хвильового рівняння методами Даламбера, Фур’є, чисельними методами».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії рівнянь математичної фізики у частинних похідних, набуття навичок розв’язання краєвих задач математичної фізики, розв’язування хвильового рівняння методами Даламбера, Фур’є, чисельними методами.
Практичне заняття №11. «Розв’язування рівнянь у частинних похідних, рівняння теплопровідності (дифузії) методом Фур’є. Функції Бесселя, їх застосування при розв’язанні рівнянь в частинних похідних. Рівняння Лапласа, Шредінгера, Дірака, методи їх розв’язування та використання в квантовій механіці та інформатиці».
Мета заняття: продовження вивчення базових понять теорії рівнянь математичної фізики у частинних похідних, набуття навичок розв’язування рівняння теплопровідності (дифузії) методом Фур’є; застосування функції Бесселя при розв’язанні рівнянь в частинних похідних; розв’язування рівнянь Лапласа, Шредінгера, Дірака та їх використання в квантовій механіці та інформатиці.
Практичне заняття №12. «Функція комплексної змінної, визначення, границя, неперервність. Похідна функції комплексної змінної. Умови Коші-Рімана. Інтегрування функцій комплексної змінної, центральна теорема Коші, формула Коші».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії функцій комплексного змінного, набуття навичок розв’язання задач на визначення похідної функції комплексного змінного, перевірку умов Коші-Рімана, опанування техніки інтегрування функцій комплексної змінної тощо.
Практичне заняття №13. «Конформні відображення. Відображення за допомогою лінійної та дробово-лінійної функцій. Відображення за допомогою степеневої та інших функцій. Ряди Тейлора. Ряди Лорана. Лишки, обчислення, застосування».
Мета заняття: продовження вивчення базових понять теорії функцій комплексного змінного, набуття навичок розв’язання задач на конформні відображення, відображення за допомогою лінійної та дробово-лінійної функцій, дослідження рядів Тейлора, Лорана, обчислення та застосування лишків тощо.
Практичне заняття №14. «Операційне обчислення. Оригінал та зображення за Лапласом, властивості зображення. Зображення стандартних оригіналів. Зображення похідної. Згортка функцій та її зображення, зображення інтегралу. Диференціювання та інтегрування зображень. Обернене зображення Лапласа. Застосування операційного числення, розв’язування диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь та систем таких рівнянь».
Мета заняття: вивчення базових понять операційного числення, набуття навичок розв’язання задач знаходження зображень оригіналів, похідної, згортки функцій та її зображення, диференціювання та інтегрування зображень; застосування операційного числення, розв’язування диференціальних, інтегральних, інтегро-диференціальних рівнянь та систем таких рівнянь.
Практичне заняття №15. «Методи вищої та обчислювальної математики в задачах чисельного диференціювання, інтегрування, інтерполяції, розв’язування диференціальних, інтегральних рівнянь та їх систем. Методи вищої та обчислювальної математики в задачах інтелектуального аналізу даних та програмування динамічних систем. Підсумкове заняття».
Мета заняття: набуття навичок використання методів вищої та обчислювальної математики в задачах чисельного диференціювання, інтегрування, інтерполяції, розв’язування диференціальних, інтегральних рівнянь та їх систем в задачах інтелектуального аналізу даних та програмування динамічних систем.

Для заочної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. «Звичайні диференціальні рівняння, основна термінологія, порядок, розв’язки, класифікація. Лінійні однорідні та неоднорідні диференціальні рівняння другого та вищих порядків. Системи диференціальних рівнянь. Розв’язування нормальної системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами. Поняття стійкості та асимптотичної стійкості за Ляпуновим».
Лекція 2. «Рівняння математичної фізики у частинних похідних. Хвильове рівняння, рівняння теплопровідності (дифузії) та метод Фур’є їх розв’язування рівнянь. Елементи теорії функцій комплексного змінного та операційного числення».
Практичні заняття
Практичне заняття №1. «Звичайні диференціальні рівняння. Лінійні однорідні та неоднорідні диференціальні рівняння другого та вищих порядків. Системи диференціальних рівнянь. Розв’язування нормальної системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами».
Мета заняття: вивчення базових понять теорії звичайних диференціальних рівнянь першого порядку; набуття навичок розв’язування диференціальних рівнянь першого та вищих порядків порядку, систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами, дослідження стійкості за Ляпуновим розв’язку системи диференціальних рівнянь тощо.
Практичне заняття №2. «Інтегральне числення функції багатьох змінних та елементи теорії поля. Кратні (подвійні, потрійні), криволінійні, поверхневі інтеграли, їх визначення, обчислення та застосування».
Мета заняття: вивчення базових понять інтегрального числення функції багатьох змінних, набуття навичок розв’язання задач на обчислення кратних (подвійні, потрійні), криволінійних, поверхневих інтегралів, їх використання у геометричних та фізичних додатках.
Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.

Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання

Для денної форми здобуття освіти

Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Дисципліна поділяється на два семестрові модулі. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та практичних занять, виконують розрахунково-графічну роботу та 2 модульні контрольні роботи.
Модульні контрольні роботи виконуються у письмовій формі. Максимальна оцінка за контрольну роботу – 20 балів. По 2 бали за кожну вірну відповідь на питання № 1-10.
Кожний модуль оцінюється у максимально можливі 50 балів:
ПР1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 2 тиждень.
ПР2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
ПР3. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 4 тиждень.
ПР4. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 5 тиждень.
ПР5. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 6 тиждень.
ПР6. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 7 тиждень.
ПР7. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 9 тиждень.
ПР8. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 10 тиждень.
ПР9. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 11 тиждень.
ПР10. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 12 тиждень.
ПР11. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 13 тиждень.
ПР12. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 14 тиждень.
При оцінюванні практичних робіт можуть зніматися бали за:
1) Відсутність або некоректність розв’язку певної завдання – 2 бали.
2) Недостатня (неповна) обґрунтованість розв’язку задачі – 1 бал.
3) Відсутність висновків по роботі або їх невідповідність завданню та результатам, представленим у протоколі роботи – 1 бал.
Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
Підсумковим контролем з дисципліни є усний екзамен, білет до якого складається з теоретичної частини (5 запитань по 10 балів) та практичної частини (5 задач по 10 балів). Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання екзаменаційного білету становить 100 балів.

Для заочної форми здобуття освіти
Контрольна робота
Завдання для виконання контрольної роботи здобувач отримує на установчій лекції.
Робота містить 10 теоретичних питань та 10 практичних завдань, кожне з яких оцінюється у 3 бали максимально.
Текст відповіді повинен бути виконаний самостійно, а не скопійованим з навчального посібника. Термін надання виконаної контрольної роботи на перевірку – не пізніше, ніж за місяць до початку сесії.
Практична робота №1. «Звичайні диференціальні рівняння. Лінійні однорідні та неоднорідні диференціальні рівняння другого та вищих порядків. Системи диференціальних рівнянь. Розв’язування нормальної системи лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами» оцінюється у 20 балів максимально.
Практична робота №2. «Інтегральне числення функції багатьох змінних та елементи теорії поля. Кратні (подвійні, потрійні), криволінійні, поверхневі інтеграли, їх визначення, обчислення та застосування» оцінюється у 20 балів максимально.
При оцінюванні практичних робіт можуть зніматися бали за:
1) Відсутність або некоректність розв’язку певної завдання – 2 бали.
2) Недостатня (неповна) обґрунтованість розв’язку задачі – 1 бал.
3) Відсутність висновків по роботі або їх невідповідність завданню та результатам, представленим у протоколі роботи – 1 бал.
Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
Підсумковим контролем з дисципліни є усний екзамен, білет до якого складається з теоретичної частини (5 запитань по 10 балів) та практичної частини (5 задач по 10 балів). Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання екзаменаційного білету становить 100 балів.