Математичні моделі та методи оптимізації

Мета вивчення дисципліни:
набуття студентами знань і практичних навичок зі створення, аналізу та застосування математичних моделей для опису, дослідження та оптимізації технічних, економічних і енергетичних систем. Формування здатності використовувати сучасні методи оптимізації для прийняття обґрунтованих рішень у процесах проектування, управління та планування, а також розвитку навичок застосування обчислювальних інструментів для реалізації моделей і аналізу результатів.
Практичне значення та використання отриманих знань:

Вивчення дисципліни забезпечує студентів фундаментальними знаннями щодо методів побудови та дослідження математичних моделей систем різної природи — електротехнічних, енергетичних, економічних, технологічних тощо.
Особлива увага приділяється оптимізаційним методам — лінійному, нелінійному, цілочисельному та динамічному програмуванню, методам пошуку екстремумів, а також евристичним підходам (генетичні алгоритми, метод рою частинок, тощо).
Отримані знання та навички дозволяють майбутнім фахівцям:
– формулювати задачі оптимізації для реальних технічних і виробничих систем;
– аналізувати результати моделювання для прийняття ефективних техніко-економічних рішень;
– застосовувати сучасні програмні засоби для розв’язання оптимізаційних задач;
– здійснювати моделювання процесів у енергетичних системах з метою підвищення ефективності, надійності та стійкості їх функціонування.
Тематика та види навчальних занять

Для денної форми здобуття освіти
Лекційні заняття

Лекція 1. «Вступ до дисципліни. Поняття математичного моделювання та оптимізації. Мета, завдання і місце дисципліни у підготовці магістра. Основні етапи побудови математичної моделі. Класифікація оптимізаційних задач. Критерії ефективності».
Лекція 2. «Основи теорії оптимізації. Формулювання задач оптимізації. Типи задач (лінійні, нелінійні, цілочисельні, стохастичні). Обмеження, допустима область, критерії оптимальності. Геометрична інтерпретація задач оптимізації».
Лекція 3. «Лінійне програмування. Канонічна форма задачі. Основні поняття: змінні, обмеження, цільова функція. Матрична форма запису задачі. Приклади формулювання задач оптимізації в енергетичних системах».
Лекція 4. «Сімплекс-метод розв’язання задач лінійного програмування. Ідея методу, базисні та небазисні змінні, ітераційний процес, таблиця сімплекс-методу. Алгоритм розв’язання та інтерпретація результатів».
Лекція 5. «Двоїсті задачі лінійного програмування. Економічна інтерпретація двоїстості. Теорема двоїстості, умови оптимальності, використання двоїстих оцінок у техніко-економічних задачах».
Лекція 6. «Транспортна задача. Формулювання транспортної задачі, метод північно-західного кута, метод найменшої вартості, оптимізація перевезень електроенергії».
Лекція 7. «Задачі призначення, мережеві моделі та потоки в мережах. Мінімальний шлях, максимальний потік, задача про найкоротший маршрут. Мережеве планування в енергетиці та виробництві».
Лекція 8. «Нелінійне програмування. Умови оптимальності для задач без обмежень. Методи градієнтного спуску, Ньютона, покоординатного пошуку. Локальний та глобальний екстремум».
Лекція 9. «Метод множників Лагранжа для задач з обмеженнями. Формування функції Лагранжа, необхідні та достатні умови екстремуму. Приклади застосування у задачах розподілу ресурсів та навантажень».
Лекція 10. «Квадратичне програмування. Опуклі задачі оптимізації. Матричне представлення, методи розв’язання. Властивості опуклих множин і функцій. Використання в задачах енергетичної оптимізації».
Лекція 11. «Динамічне програмування. Принцип оптимальності Беллмана. Постановка багатокрокових задач. Рекурентні співвідношення Беллмана. Приклади застосування: планування виробництва, розподіл потужностей».
Лекція 12. «Стохастичні моделі та методи оптимізації в умовах невизначеності.
Ймовірнісні моделі, ризик, математичне очікування виграшу. Оптимізація при змінних умовах енергопостачання».
Лекція 13. «Евристичні методи оптимізації. Генетичні алгоритми, метод рою частинок, імітація відпалу. Сфера застосування в інженерних задачах».
Лекція 14. «Багатокритеріальна оптимізація та компромісні рішення. Векторна оптимізація, метод зважених коефіцієнтів, Парето-оптимальність. Приклади у техніко-економічних задачах».
Лекція 15. «Комп’ютерна реалізація оптимізаційних методів. Застосування програмних засобів для розв’язання оптимізаційних задач. Практичні приклади моделювання енергосистем».
Лабораторні роботи

Лабораторна робота №1. «Вивчення алгоритму і програми рішення загальної задачі лінійного програмування».
Мета роботи: освоєння симплекс-методу рішення задач лінійного програмування (ЛП) за допомогою симплекс-таблиць, а також отримання практичних навичок роботи за допомогою спеціалізованого програмного забезпечення. (2 заняття)

Лабораторна робота №2. «Вивчення алгоритму і програми рішення транспортної задачі лінійного програмування».
Мета роботи: отримання практичних навичок рішення транспортної задачі ЛП в мережевій постановці вручну за допомогою масиву транспортних даних, отримання практичних навичок роботи за допомогою спеціалізованого програмного забезпечення. (2 заняття)

Лабораторна робота №3. «Вивчення алгоритму і програми рішення задачі нелінійного програмування з обмеженнями методом невизначених множників Лагранжа».
Мета роботи: отримання практичних навичок рішення задачі нелінійного програмування з обмеженнями - завдання розподілу ресурсів, тобто розподіл генерованої реактивної потужності між синхронними двигунами (СД) методом невизначених множників Лагранжа вручну, отримання практичних навичок рішення задачі розподілу ресурсів за допомогою спеціалізованого програмного забезпечення. (2 заняття)

Лабораторна робота №4. «Вивчення алгоритму і програми рішення задачі нелінійного програмування з обмеженнями методом динамічного програмування».
Мета роботи: отримання практичних навичок рішення задачі розподілу ресурсів, тобто розподілу генерованої реактивної потужності між СД методом динамічного програмування. Отримання практичних навичок рішення задачі розподілу ресурсів за допомогою спеціалізованого програмного забезпечення. (3 заняття)

Для заочної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. «Постановка задачі з оптимізації. Методи лінійної оптимізації. Сімплекс-метод розв’язання задач лінійного програмування. Алгоритм розв’язання та інтерпретація результатів».
Лекція 2. «Задачі призначення, мережеві моделі та потоки в мережах. Транспортна задача. Формулювання транспортної задачі, метод північно-західного кута, метод найменшої вартості, оптимізація перевезень електроенергії.».

Лабораторні роботи

Лабораторна робота №1. «Вивчення алгоритму і програми рішення транспортної задачі лінійного програмування».
Мета роботи: отримання практичних навичок рішення транспортної задачі ЛП в мережевій постановці вручну за допомогою масиву транспортних даних, отримання практичних навичок роботи за допомогою спеціалізованого програмного забезпечення. (2 заняття)
Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.
Індивідуальна робота

Розрахунково-графічна робота

Мета РГР – закріплення знань з оптимізації схеми районної мережі методом гілок та меж.
Пояснювальна записка містить 25-30 сторінок Кількість розділів – 4. Графічна частина – один аркуш креслень формату А4 або А3.
Змістовна послідовність виконання роботи.
1. Техніко-економічні розрахунки витрат на спорудження та експлуатацію мережі, складання цільової функції.
2. Оптимізація схеми шляхом метод меж та гілок.
3. Електротехнічний розрахунок.
4. Комп’ютерне моделювання.
Захист розрахунково-графічної роботи – протягом останнього навчального тижня семестру.
Контрольна робота для здобувачів заочної форми

Завдання для виконання контрольної роботи здобувач отримує на установчій лекції.
Робота містить 4 теоретичних питання.
Обсяг відповіді на кожне теоретичне питання: не менше, ніж 2 сторінки машинописного тексту. Текст відповіді повинен бути виконаний самостійно і відповідати вимогам Положення про академічну доброчесність та етику академічних відносин.
Термін надання виконаної контрольної роботи на перевірку – не пізніше, ніж за тиждень до початку сесії.

Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання

Для денної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні:
1) лабораторних робіт. Сумарний бал за успішно виконані лабораторні роботи становить 20 балів.
2) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з теоретичної і практичної частин та проводяться у формі комп'ютерного тестування. Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 30 балів.
3) розрахунково-графічної роботи. Бездоганне виконання оцінюється у 12 балів. Захист роботи – 8 балів.
Підсумковий контроль – екзамен. Екзамен усний. Максимальна оцінка – 100 балів.
Для заочної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні:
1. Контрольної роботи. Бездоганне виконання оцінюється у 20 балів, захист роботи – 30 балів
2. Розрахунково-графічної роботи. Бездоганне виконання оцінюється у 20 балів. Захист роботи – 30 балів.
Підсумковий контроль – екзамен. Екзамен усний. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.