Прикладні аспекти варіаційного числення

Мета вивчення дисципліни: придбання теоретичних знань основ варіаційного числення, освоєння методів розв'язання варіаційних задач і практичних навичок щодо використання цих методів у своїй науково-інженерної діяльності.
Практичне значення та використання отриманих знань: отримати навичками застосовування методу виключення і множників Лагранжа до гладких задач на екстремум; навчитися розв’язувати найпростіші варіаційні задачі; ставити та розв'язувати варіаційні задачі на умовний екстремум; застосовувати для розв'язання варіаційних задач систему програмування MATLAB; використовувати набуті знання для розв'язання прикладних задач в різних областях техніки; розв'язувати варіаційні задачі, що виникають в ході науково-дослідної діяльності та які потребують поглиблених професійних знань.
Тематика та види навчальних занять.
Для денної форми здобуття освіти.
Лекційні заняття.

Лекція №1.
Структура курсу, його значення і місце в підготовці інженера. Деякі класичні задачі варіаційного числення.

Лекція №2.
Лінійні простори. Поняття норми, метрики. Евклідовий простір.

Лекція №3.
Екстремум функції багатьох змінних. Безумовний екстремум. Необхідні та достатні умови існування екстремуму.

Лекція №4.
Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа.

Лекція №5.
Функціонали в лінійних нормованих просторах. Близькість кривих. Неперервність функціоналу.

Лекція №6.
Варіація функціонала та його екстремум. Необхідна умова екстремуму функціоналу в лінійному нормованому просторі.

Лекція №7.
Найпростіша задача варіаційного числення (задача з закріпленими границями). Рівняння Ейлера та його частинні випадки.

Лекція №8.
Знаходження екстремалі в варіаційній задачі. Задача про найменшу поверхню обертання. Задача Бернуллі про брахістохрону.

Лекція №9.
Узагальнення найпростішої задачі варіаційного числення. Функціонали, залежні від похідних вищих порядків.

Лекція №10.
Поле екстремалей. Умови можливості включення екстремалі в поле екстремалей. Умова Якобі та Лежандра.

Лекція №11.
Достатні умови сильного і слабкого екстремуму функціоналу. Умови Вейєрштраса та Лежандра.

Лекція №12.
Постановка задачи з рухомими границами. Функціонали, залежні від однієї функції.
Необхідні умови екстремуму.

Лекція №13.
Постановка варіаційних задач на умовний екстремум. Необхідна умова умовного екстремуму.

Лекція №14.
Iзопериметричнi задачі.

Лекція №15.
Задачі оптимального керування.

Практичні заняття.

Практичне заняття №1.
Безумовний екстремум функції багатьох змінних. Теорема Вейєрштраса. Необхідні та достатні умови існування екстремуму. Метод градієнтного спуску.
Мета заняття: оволодіти методами знаходження безумовного екстремуму функції декількох змінних. Вміти застосовувати ці методи для дослідження функції багатьох змінних на безумовний екстремум.

Практичне заняття №2.
Умовний екстремум функції багатьох змінних. Метод множників Лагранжа.
Мета заняття: оволодіти методом Лагранжа знаходження умовного екстремуму функції декількох змінних. Вміти застосовувати цей метод для дослідження функції багатьох змінних на умовний екстремум.

Практичне заняття №3.
Поняття функціонала. Варіація функціонала. Екстремум функціонала. Необхідна умова екстремуму функціоналу в лінійному нормованому просторі.
Мета заняття: засвоїти поняття фунціоналу, варіації функціонала (два означення),слабкого та сильного екстремуму. Вміти на практиці знаходити приріст та варіацію функціоналу. Оволодіти навичками досліджувати на екстремум функціонал.

Практичне заняття №4.
Необхідна умова екстремуму в найпростішої задачі варіаційного числення. Рівняння Ейлера
Частинні випадки інтегрованості рівняння Ейлера.
Мета заняття: навчитись складати рівняння Ейлера. Оволодіти навичками застосування методів розв'язання задач варіаційного числення з закріпленими границями. Вміти застосовувати отримані знання для розв'язання прикладних задач.

Практичне заняття №5.
Поняття поля екстремалей. Умови можливості включення екстремалі в поле екстремалей. Умова Якобі. Посилена умова Лежандра. Функція Вейєрштраса. Достатні умови сильного і слабкого екстремуму функціоналу. Достатні умови Лежандра.
Мета заняття: засвоїти поняття поля екстремалей, функції Вейєрштраса. Вміти знаходити для функціоналів власне і центральне поле екстремалей. Для функціоналів вміти за допомогою умов Якобі, Лежандра перевіряти можливість включення екстремалей у поле.
Оволодіти навичками використовувати достатні умови сильного і слабкого екстремуму функціоналу та достатні умови Лежандра для дослідження на екстремум функціоналів.

Практичне заняття №6.
Приклади задач на пошук екстремалі функціоналу з закріпленими границями. Дослідження отриманої екстремаль на достатні умови екстремуму. Знаходження екстремума функціоналу, якщо він існує. Застосовування для розв'язання задачі систему програмування MATLAB.
Мета заняття: оволодіти навичками застосовувати для розв'язання задачі на пошук екстремуму функціоналу з закріпленими границями систему програмування MATLAB.

Практичне заняття №7.
Задачі з рухомими границями. Ізопериметричні задачі. Необхідна умова екстремуму в задачах з кінцевими, диференціальними, інтегральними зв'язками.
Мета заняття: засвоїти постановку задачі з рухомими границями, умови трансверсальності.
Оволодіти методами розв'язання варіаційних задач з рухомими границями. Засвоїти поняття ізопериметричної задачі та алгоритм її розв’язання.

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.
Для заочної форми здобуття освіти.
Лекційні заняття.

Лекція №1.
Безумовний та умовний екстремуми функції багатьох змінних. Необхідні та достатні умови існування екстремуму.

Лекція №2.
Варіація функціонала та його екстремум. Найпростіша задача варіаційного числення (задача з закріпленими границями).

Практичні заняття.

Практичне заняття №1.
Приклади задач на пошук екстремалі функціоналу з закріпленими границями. Дослідження отриманої екстремаль на достатні умови екстремуму. Знаходження екстремума функціоналу, якщо він існує. Застосовування для розв'язання задачі систему програмування MATLAB.
Мета заняття: оволодіти навичками застосовувати для розв'язання задачі на пошук екстремуму функціоналу з закріпленими границями систему програмування MATLAB.

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.

Індивідуальна робота.

Для денної форми здобуття освіти
Розрахунково-графічна робота (РГР)
Мета розрахунково-графічної роботи – закріплення, поглиблення та узагальнення знань і вмінь, отриманих здобувачами при вивченні окремих розділів дисципліни.
Для успішного виконання РГР кожний здобувач забезпечується:
— індивідуальним робочим завданням;
— інформаційними та методичними матеріалами (довідники, навчальні посібники, пакети прикладних програм тощо);
— матеріалами для самоконтролю (тести, контрольні запитання);
— консультаціями викладачів.
Здобувач отримує свій варіант завдання на першому в семестрі практичному занятті (всього варіантів 30).
РГР виконується письмово та складається з 3 задач – на пошук екстремуму функціоналу, для розв'язання яких здобувач використовує систему програмування MATLAB.
На практичних заняттях проходить контроль виконання РГР за графіком.
Захист розрахунково-графічної роботи – протягом останнього навчального тижня семестру.

Для заочної форми здобуття освіти

Розрахунково-графічна робота (РГР)
Мета розрахунково-графічної роботи – закріплення, поглиблення та узагальнення знань і вмінь, отриманих здобувачами при вивченні окремих розділів дисципліни.
Для успішного виконання РГР кожний здобувач забезпечується:
— індивідуальним робочим завданням;
— інформаційними та методичними матеріалами (довідники, навчальні посібники, пакети прикладних програм тощо);
— матеріалами для самоконтролю (тести, контрольні запитання);
— консультаціями викладачів.
Здобувач отримує завдання на установчій сесії – практичне заняття.
РГР складається з 5 задач: дві задачі – на пошук безумовний та умовного екстремуму функції багатьох змінних; три задачі – на пошук екстремуму функціоналу, для розв'язання яких здобувач використовує систему програмування MATLAB.
Номер варіанту здобувача відповідає номеру у списку групи (всього варіантів 30).
Термін надання виконаної РГР на перевірку – не пізніше, ніж за два тижня до початку сесії.
Розрахунково-графічної роботи виконується письмово і захищається на екзамені.

Контрольна робота для здобувачів заочної форми.
Завдання для виконання контрольної роботи здобувач отримує на установчій лекції.
Мета контрольної роботи – поглиблення, узагальнення і закріплення знань здобувачів з навчальної дисципліни та застосування методики аналізу завдань, формування вміння самостійно розв’язувати задачі з використанням відомого теоретичного матеріалу, а також закріплення, поглиблення і узагальнення знань і вмінь, отриманих при вивченні дисципліни, самостійно працювати з навчальною літературою і довідковою літературою, використовуючи сучасні інформаційні засоби.
Робота містить 6 завдань за темами: «Функціонали в лінійних нормованих просторах та їх неперервність», «Варіація функціонала. Необхідна умова екстремуму функціоналу в лінійному нормованому просторі», «Найпростіша задача варіаційного числення (задача з закріпленими границями)», «Поле екстремалей. Умова Якобі та Лежандра», «Достатні умови сильного і слабкого екстремуму функціоналу. Умови Вейєрштраса та Лежандра», «Варіаційні задачі з рухомими границами».
Номер варіанту здобувача відповідає номеру у списку групи.
При оформленні роботи по кожному завданню необхідно спочатку привести теоретичне обґрунтування, а вже потім – розв'язок задачі з необхідними поясненнями.
Контрольна робота виконується письмово і захищається на екзамені.
Термін надання виконаної контрольної роботи на перевірку – не пізніше, ніж за тиждень до початку сесії.
Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання.

Для денної форми здобуття освіти

Поточний контроль полягає у виконанні:
1. розрахунково-графічної роботи (РГР). Завдання РГР виконуються письмово та полягають в розв'язуванні типових задач відповідно до мети даної роботи. Критерій оцінки якості РГР включає оцінку виконання (15 балів) та оцінку захисту (10 балів). Всього – 25 балів.
Максимальний бал здобувач одержує за бездоганне виконання та бездоганний захист.
Оцінка виконання враховує зокрема:
– дотримання графіка роботи;
– глибину обґрунтування та якість розрахунків;
– якість оформлення роботи.
Оцінка захисту включає:
– ступінь володіння матеріалом;
– аргументованість відповідей на запитання;
– вміння захищати обрану точку зору;

2. сім практичних занять оцінюються кожне по 5 балів. Всього – 35 балів;

3. двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з двох частин: теоретичних питань та практичних завдань, які потребують повного розв’язання. Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи оцінюється в 20 балів.
Всього – 40 балів.

Підсумковий контроль – екзамен. Екзамен усний. Максимальна оцінка, яку може отримати здобувач – 100 балів.

Для заочної форми здобуття освіти

1. Захист розрахунково-графічної роботи. Бездоганне виконання РГР оцінюється у 25 балів. При її захисті здобувач може отримати до 10 балів. Всього – 35 балів.

2. Робота здобувача на практичному занятті оцінюється у 15 балів.

3. Захист контрольної роботи. Бездоганне виконання контрольної роботи оцінюється у 30 балів. При її захисті здобувач може отримати до 20 балів. Всього – 50 балів.

Підсумковий контроль – екзамен. Екзамен усний. Максимальна оцінка, яку може отримати здобувач – 100 балів.