Комп'ютерна алгебра

Мета дисципліни: забезпечити базову підготовку щодо використання методів теорії прийняття рішень для вирішення прикладних задач. Формування у студентів практичних навичок, які б дали змогу ефективно застосовувати знання та методи з теорії прийняття рішень.
Завдання дисципліни: оволодіння здобувачами з поняттями: змістовного визначення множин та його недоліками, конструктивними методами визначення множин на основі аксіоматики Цермело-Френкеля, порядковими типами множин, основними класами відображень, основами не лінійної алгебри, алгебраїчними системами, дистрибутивними структурами, аксіоматичними формами визначення напівтруп, груп, кілець, тіл, полів, ідеалів, різноманітних відображень на та в однієї алгебри в іншу, методами визначення алгоритмічної складності гомеоморфізмів, ізоморфізмів та автоморфізмів, методами застосування пакетів прикладних програм Wolfram Mathematic, Maple, Axiom, Reduce,Izabelle, Pari GP; навчити користуватися пакетами прикладних програм при розв’язуванні реальних моделювання складних процесів та систем; сприяти розвитку тих якостей особистості, що мають для майбутнього магістра особисте професійне значення в контексті інтеграції у європейський освітній простір.
Тематика та види навчальних занять

Для денної форми здобуття освіти

Лекційні заняття

Лекція №1. Основні поняття та визначення. Математичні основи сучасної комп’ютерної алгебри та її значення в сучасних методах моделювння складних систем та процесів. Аксіоматична теорія множин як фундаментальна основа комп’терної алгбри. Алгоритмічні методи представленя множин. Відображеня множин в інективній, сюрективній та біективній формах. Обчислювальна складність методів формального предсталеня множин та функцій відображеня множин. Визначення топологічного простору. Відкриті та замкнуті множини. Задання топології сукупності замкнутих множин.
Лекція № 2. Алгоритмічні методи впорядкування множин. Особливості та властивості методів та алгоримів сучасної компютерної алгебри. Порядкові типи множин. Частковий порядок. Алгоритмічні проблеми упорядоченя. Теорема Ферма та проблема упорядкування первісних коренів. Порядкові структури. Цілком упорядочені множини. Алгорими побудови порядку. Точкові простори. Кільця та повязані з ними алгебраїчні системи. Аксіоматичні методи визначеня структур множин. Дзета функція Рімана, функція Ейлера та їх властивості.
Лекція № 3. Криптосистеми та дистрибутивні структури порядку. Структури з доповненями. Дистрибутивні структури. Напівструктури. Приклади напівструктур, структур з доповненями. Булеві алгебри. Точні нижня та верхня грані. Повні стртури. Цілком упорядочені множини. Приклади важливих класів дистрибутивних структур з доповненнями. Застосування теорії структур в задачах аналізу та обробки складно організованих великих масивів даних.
Лекція № 4.Основи теорії груп. Аксіоматичні методи визначеня груп. Основні класи груп, що використовуються в розвязувані прикладних задач. Групи операторних перетворень. Групи перестановок. Матричні групи обмеженого порядку. Групи в теорії чисел. Гомоморфізми та ізоморфізми груп. Алгоритми визначеня ізоморфізму груп та їх застосуваня задачах математичного моделюваня. Групи лишнів наполями простих чисел. Епіморфізми, мономорфізми та їх застосування в теорії аналізу математичних перетворень.
Лекція № 5. Гомоморфні відображеня груп. Гомоморфі відображеня груп із різних класів. Обчисювальна складіність алгоритмів визначеня міри гомоморфності виділених груп. Мультіпликативна теорія чисел. Теорія груп в сучасній теорії чисел. Алгоритми обчисленя значень примітивного кореня за заданою величиною простого числа. Динамічна теорія чисел. Класи натуральних чисел. Класи алгебраїчних чисел на основі еліптичних кривих. Застосування теорії чисел в криптографії та моделювані випадкових процесів, складних систем.
Лекція № 6. Підгрупи. Суміжні класи. Визначеня підгруп. Алгоритми виділеня підгруп з заданими властивостями. Алгоритм Евкліда, розширений алгоритм Евкліда,китайська теорема про лишки та її застосування. Суміжні класи в групах на основі виділених підгруп. Суміжні класи в групах перетворень різних класів. Праві та ліві класи суміжсті. Властивсті класів суміжності комутативних та не комутативних груп. Групи коренів з одиниці з непарним показником та простим показником.
Лекція № 7. Фактор-групи та їх застосуваня. Не тривіальні підгрупи та алгоритми їх виділеня. Алгоритми перечисленя усіх підгруп груп обмеженої величини. Таблиці Келлі. Складість пробеми визаченя тотожності слів в групах. Фактор-групи операторів перетворень. Вейвлет перевореня. Перетвореня Фурье. Алгебра вейвлет перетворень різних класів.
Лекція № 8.Нормальні дільники в групах [7, c. 6- 14]
8.1. Визначеня нормальних підгруп та їх властивості.
8.2. Необхідні та достатні умови існуваня нормальних дільників в некомутативних групах. Алоритми пошуку нормальних в групах та їх обчислювальна складність.
8.3.Фактор-групи нормальних груп. Алоритми виділеня максимальих нормальних підгруп в групах обмеженої потужності. Логарифмічний закон розподілу простих чисел Адамара та Валле-Пуссена та обчислювальні проблеми повязані зним.
Лекція №9.Аналіз фактор-груп груп перестанвок та перетворень. Перестановки над множинами обмеженої потужності. Властивості груп перестановок та області їх застосуваня. Методи аналізу структури нормальних підгруп груп перестановок. Проблема дискретного логарифма та обчислбвальна складність її розвязання. Застосування в сучасній криптографії. Групи перетворень в комплексному просторі. Нормальні підгрупи груп перетворень обмеженої потужності.
Лекція № 10.Групи в теорії чисел. Циклічні групи та їх властивості. Алгоритми пошуку циклічних підгруп та їх виділення. Формування циклічних груп. Прості групи. Групи створені простими числами. Методи та алгоритми факторизації чисел. Обчилювальна складність алгоритмів розкладання чисел на прості множники. Алгоритми пошуку примітивних коренів згідно заданому базису.
Лекція № 11. Гомоморфні відображеня в різних класах груп. Властивості гомоморфних відображень між різними групами. Основні теореми теорії елліптичних кривих та їх застосування в методах та алгоритмах факторизації натуральних чисел. Одно-однозначні відображеня одніеї групи на та в іншу групу. Алгоритм Ленкстри та його обчислювальна складність. Властивості одно-однозначних відображень та їх застосування в алгоритмаж перевірки натуральних чисел на простоту.
Лекція № 12. Ізоморфні відображеня. Конечні поля тааналіз структури їх груп методами ізоморфних відображень групи на себе. Алгоритмічна складність перевірки іоморфності груп обмеженого порядку. Алгоритм аналізу структури множин первісних коренів та породжуючих елементівїх підгруп простих чисел струтур 4к+1 або 4к+3. Алгоритми побудови ізоморфного відображеня графових структур. Методи виділення в групах підгруп ізоморфних заданій групі.
Лекція №13.Пакет компютерної алгебри Maple. Обчислювальні аспекти алгебраїчної геометрії та комутативної алгебри. Алгоритм Поларда в факторизації поліномів однієї змінної та та багатомірних поліномів. Базіси Гребнера. Властивості базісів Гребнера. Застосуваня базисів Гребнера. Поліноміальні відображеня. Геометричні основи обробки графічної інформації.
Лекція № 14. Базові компоненти сисеми мономіального лексикографічного упорядоченя графічної інформації. Розширений варіант обчислення базисів Гребнера. Розв’язування алгебраїчних рівнянь. Розв’язування систем нелінійних рівнянь над полем раціональних чисел. Криптографічні методи захисту інформації по схемі Єль-Гамаля. Знаходження часткових при ділені поліномів та матриць які дозволяють описувати базиси Гребнера. Обчислення базисів Гребнера над полем раціональних гауссовських чисел.
Лекція №15. Пакет прикладних програм Wolfram Mathematica. Аналіз обчислювальних можливостей пакету прикладних програм Wolfram Mathematic та областей його застосування. Знаходження базових коренів в теорії чисел за допомогою пакета прикладних програм Maple. Розвязування задач дискретного логарифму за допомогою пакета прикладних програм Wolfram Mathematic.

Лабораторні заняття
Лабораторне заняття 1. Визначеня множин різних класів та алгоритмічні методи їх представлення.
Мета заняття: Застосування теоріїї алгоритмів для формального алгоритмічного представення множин та їх відображень.Застосування сучасної компьтерної алгебри при моделювані складних динамічних процесів та при створені єфективних систем захисту інформації та рохробці генераторів псевдовипадкових чисел
Лабораторне заняття 2. Детальне вивчення методів упорядкування множин різних класів. Методи побудови дистрибутивних структур та їх застосування
Мета заняття: Застосування сучасної теорії множин та теоріїї функцій для побудови відображень множин різних класів в задачах моделювання складних процесів , аналізу та обробки великих масивів даних. Китайська теорема про лишки та її застосування на практиці
Лабораторне заняття 3. Основні класи сучасних алгебр. Базова теорія груп. Фундаментальні класи груп.
Мета заняття: Детальне вивчення основних класів груп та їх стрктур. Дослідження груп операторів, перетворень різних класів, груп перестановок при моделюванні динамічних процесів, пошуку оптимумів в багато критеріальних задачах. Застосування сучасної теорії груп в теорії чисел.
Лабораторне заняття 4. Методи побудови гомеоморфізмів, ізоморфізмів, автоморфізмів в теорії груп та їх застосувань.
Мета заняття: Вивчення методів побудови відображень груп в вигляді гомеоморфізмів, ізоморфізмів та автоморфізмів для дослідження структур груп при їх застосувані.. Застосування теорії елліптичних кривих в сучасних методах аналізу та обробки великих масивів числових даних.
Лабораторне заняття 5. Придбання навичкі застосування сучасних пакетів прикладних програм компютерно алгебри Wolfram Мathematca, Maple.
Мета заняття: Придбання навичків використання пакетів прикладних прграм при розвязувані реальних прикладних проблем. Особливості застосування пакету компютерної алгебри Wolfram Mathematic тайого обчислювальні можливості.
Лабораторне заняття 6. Групові рішення в процесах застосування пакетів прикладних програм.
Мета заняття: Застосування різноманітних схем отримання групових рішень
Лабораторне заняття 7. Методи захисту інформації на основі теорії еліптичних кривих та алгоритм Ленкстри. Оцінювання ефективності алгоритму Ленкстри.
Мета заняття: Вміти застосовувати методи захисту інформації на основі теорії еліптичних кривих та алгоритм Ленкстри та оцінювати ефективність алгоритму Ленкстри.

Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.
Індивідуальна робота

Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання

Для денної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні
1) 7-ми індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання виконуються письмово і полягають в розв’язуванні типових задач відповідно до мети та завдань практичних занять. Бездоганне виконання індивідуального поточного завдання №1 оцінюється у 4 бали; індивідуального поточного завдання №2 – 5 балів; індивідуальних поточних завдань № 3, 4, 5, 6 - 6 балів, № 7 – 7 балів;
2) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з теоретичної і практичної частин та проводяться у формі тестування.
Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 30 балів.
Підсумковий контроль – залік. Залік виставляється за результатами роботи студента в семестрі.