Застосування методів теорії груп в фізіці елементарних частинок і високих енергій

Мета дисципліни: 
-    сформувати у студентів чітке уявлення про те, що теорія груп є “мовою” сучасної теорії елементарних частинок, та навчити їх користуватися цією “мовою”;   
-    навчити студентів розумінню зв’язків між досить абстрактним апаратом теорії груп та конкретними властивостями елементарних частинок, що спостерігаються експериментально;
-    виробити чіткі представлення про той набір експериментальних ситуацій, що можуть бути описані в рамках постановки задач квантової теорії розсіяння;
-    сформувати у студентів уявлення про різні напрямки використання теорії груп у фізиці елементарних частинок і в тому числі у сучасних теоріях динаміки фундаментальних взаємодій;
-    підготувати основу для подальшого використання понять і методів теорії у квантовій теорії поля і теорії елементарних частинок і їхніх взаємодій;
-    навчити студентів новому для них поняттю інтегрування по групі;
-    підготовити студентів до вивчення оригінальних робіт, які використовують методи теорії груп.

Завдання дисципліни:
-    навчити студентів математичному апарату пов’язаному з лінійними просторами, операторами на цих просторах, тензорами;
-    навчити студентів математичному апарату теорії груп та їх представлень, як у застосуванні до груп, що містять скінчену кількість елементів, так і до нерозривних груп;
-    на основі математичного апарату докладно розібрати теорію конкретних груп, та їх представлень, які найчастіше застосовуються у фізиці ядра та елементарних частинок, а саме групи перестановок, групи обертань, групи Лоренца, групи  , та групи  ;
-    розібрати застосування представлень цих груп до класифікації елементарних частинок, та їх угрупування у сімейства, введення характеристик елементарних частинок, та зіставлення теоретичних уявлень з експериментальними властивостями частинок;
-    навчити студентів розуміти зв’язок між представленнями групи  , та кварковою структурою адронів.
 

Основні результати навчання

РН01. Використовувати концептуальні та спеціалізовані знання і розуміння актуальних проблем і досягнень обраних напрямів сучасної теоретичної і експериментальної фізики та/або астрономії для розв'язання складних задач і практичних проблем.
РН02. Проводити експериментальні та/або теоретичні дослідження з фізики та астрономії, аналізувати отримані результати в контексті існуючих теорій, робити аргументовані висновки (включаючи оцінювання ступеня невизначеності) та пропозиції щодо подальших досліджень.
РН05. Здійснювати феноменологічний та теоретичний опис досліджуваних фізичних та/або астрономічних явищ, об'єктів і процесів
РН06.Обирати ефективні математичні методи та інформаційні технології  та застосовувати їх для здійснення досліджень та/або інновацій в області фізики та/або астрономії.
РН09. Аналізувати та узагальнювати наукові  результати з обраного напряму фізики та/або астрономії, відслідковувати найновіші досягнення в цьому напрямі,  взаємокорисно спілкуючись із колегами.
РР10. Відшуковувати інформацію і дані, необхідні для розв'язання складних задач фізики та/або астрономії, використовуючи різні джерела, зокрема, наукові видання, наукові бази даних тощо, оцінювати та критично аналізувати отримані інформацію та дані.
РН11. Застосовувати теорії, принципи і методи фізики та/або астрономії для розв'язання складних міждисциплінарних наукових і прикладних задач
РН12. Розробляти та застосовувати ефективні :алгоритми та спеціалізоване програмне забезпечення для дослідження моделей фізичних та/або астрономічних об'єктів і процесів, обробки результатів експерименті і спостережень.
РН14. Розробляти та викладати фізичні та/або астрономічні навчальні дисципліни в закладах вищої, фахової, передвищої, професійної (професійно-технічної), загальної середньої та позашкільної освіти, застосовувати сучасні освітні технології та методики, здійснювати необхідну консультативну та методичну підтримку здобувачів освіти.

Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять

Л – лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; Кз – самостійні контрольні завдання; МКР – модульна контрольна робота; К – консультації.

 
Тематика та види навчальних занять

1 тиждень
Л1. Множини, їх відображення і перетворення. Добуток перетворень і його асоціативність. Групи і групові аксіоми. Групи симетрії в фізиці і в фізиці високих енергій зокрема.
ПЗ1. Теорема про розбиття перестановок деякої множини на парні і непарні.
Кз1. Самостійний розрахунок кількості перестановок при заміні місцями елементів множини. Самостійне доведення властивостей детермінантів.
СРС. К.

2 тиждень
Л2. Наслідки групових аксіом і їх доведення. Приклади груп з попередніх курсів. Група перестановок і група обертів і її параметризація за допомогою кутів Ейлера. 
ПЗ2. Багатовимірні об’єми, якобіани перетворень і багатовимірні інтеграли.
Кз2. Самостійний розрахунок добутку перестановок. Самостійне доведення асоціативності добутку перестановок. Самостійние доведення асоціативності добутку матриць
СРС. К.

3 тиждень
Л3. Симетрія рівняння Шредінгера для частинки в центральному полі.
ПЗ3. Група обертів.
Кз3. Самостійний розрахунок матриць, що відповідають тривимірним кутам Ейлера і їх добутку 
СРС.К.

4 тиждень
Л4. Загальна структура  - матриць і задача про спін системи двох частинок із спіном ½.
ПЗ4. Група обертів.
Кз4. Самостійний розрахунок багатовимірних сферичних координат. Самостійне доведення компактності групи  .
СРС.К.

5 тиждень
Л5. Ізотопічний спін і модель Фермі - Янга.
ПЗ5. Група обертів.
Кз5. Самостійне доведення компактності групи  . Самостійний розрахунок багатовимірних кутів Ейлера.
СРС.К.

6 тиждень
Л6. Дивні частинки і  -симетрія.
ПЗ6. Матриці Паулі і їх властивості.
Кз6. Самостійний розрахунок таблиці множення для матриць Паулі. Самостійне доведення тотожностей щодо матриць Паулі.
СРС.К.

7 тиждень
Л7. Поняття про представлення групи.
ПЗ7. Матриці Дірака і їх властивості.
Кз7. Самостійний розрахунок таблиці множення для матриць Дірака. Самостійне доведення тотожностей для матриць Дірака.
СРС.К.

8 тиждень
Л8. Теорема про генератори представлень групи. 
ПЗ8. Матриці Гелл-Манна і їх властивості.
Кз8. Самостійний розрахунок матричних елементів матриць Гелл-Манна. Самостійний розрахунок скалярних добутків матриць Гелл-Манна як базисних векторів лінійного простору генераторів групи   .
МКР1. СРС. К.

9 тиждень
Л9. Теорема Ейлера і комутаційні співвідношення між генераторами найпростішого представлення групи обертів. Генератори незвідних представлень груп   і  . 
ПЗ9. Основна теорема алгебри.
Кз9. Самостійне доведення теореми про кількість нулів аналітичної функції
СРС. К.

10 тиждень
Л10. Генератори найпростішого представлення групи Лоренца і деякі представлення цієї групи найнижчої розмірності.
ПЗ10. Основна теорема алгебри.
Кз10. Самостійне доведення основної теореми алгебри.
СРС. К.

11 тиждень
Л11. Фундаментальне і приєднане представлення групи  .
ПЗ11. Розрахунок матричних елементів підвищуючого і понижуючого операторів.
Кз11. Самостійний розрахунок матричних елементів підвищую чого і знижуючого генераторів представлення групи обертів доввільної ваги
СРС. К.

12 тиждень
Л12. Компактні і некомпактні групи.
ПЗ12. Розрахунок матричних елементів підвищуючого і понижуючого операторів.
Кз12. Самостійний розрахунок матриць генераторів представлень групи обертів довільної ваги.
СРС. К.

13 тиждень
Л13. Право і ліво-інваріантні інтеграли по групі.
ПЗ13. Властивості виробляючої функції для інтегралу по компактній групі.
Кз13. Самостійне доведення залежності виробляючої функції для інтегралів по групі   від детермінанта матриці-аргументу.
СРС. К.

14 тиждень
Л14. Гратковий метод в КХД.
ПЗ14. Розклад виробляючої функції по ступенях детермінанту її аргументу.
Кз14. Розрахунок розкладу виробляючої функції по ступнях детермінанта матриці-аргументу.
СРС. К.

15 тиждень
Л15. Фізичні наслідки інтегрування по групі   в граткових моделях.
ПЗ15. Закон площ для петлі Вільсона.
Кз15. Самостійне отримання закону площ.
МКР2.СРС. К.

Індивідуальна робота**

Не передбачена.

Самостійна робота

Самостійна робота складає 75 годин. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лекційних занять – 15 годин;
2) підготовка до практичних занять –  30 годин;
3) підготовка до МКР – 30 годин;

 
Процедура оцінювання

В організації навчального процесу при вивченні дисципліни застосовується поточний та підсумковий контроль. В поточний контроль полягає у контрольних опитуваннях на практичних заняттях щодо завдань самостійної роботи (оцінюються максимум в 20 балів) і виконанні двох модульних контрольних робіт (кожна оцінюється в 30 балів). Підсумковий контроль згідно з учбовим планом є заліком, який виставляється за результатами двох модулів.
Модульна контрольна робота виконується у письмовій формі та складається з 2 частин:
1) відповіді на питання,  що охоплює одну з тем лекційного курсу (15 балів)
2) розв’язку задачі з курсу практичних занять (15 балів)
Кожний модуль оцінюється у максимально можливі 50 балів:

Семестровий модуль № 1

Кз1. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 1 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 2 тиждень.
Кз3. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 3 тиждень.
Кз4. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 4 тиждень.
Кз5. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 5 тиждень.
Кз6. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 6 тиждень.
Кз7. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 7 тиждень.
Кз8. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 8 тиждень.
МКР1. Модульна контрольна робота – 30 балів (8 тиждень). Перескладання можливе протягом 9–11 тижнів за розкладом консультацій.

Семестровий модуль № 2

Кз9. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 9 тиждень.
Кз10. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 10 тиждень.
Кз11. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 11 тиждень.
Кз12. Оцінка за виконання – 2 бали. Термін надання – 12 тиждень.
Кз13. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 13 тиждень.
Кз14. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 14 тиждень.
Кз15. Оцінка за виконання – 4 бали. Термін надання – 15 тиждень.
МКР2. Модульна контрольна робота – 30 балів (15 тиждень).

Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
Підсумковим контролем з дисципліни є залік.  Він виставляється за результатами оцінок двох модульних контролів.

 
Умови допуску до підсумкового контролю

Оскільки підсумковим контролем з дисципліни є залік. Він виставляється за результатами двох модульних контролів. До другого модульного контролю допускається студент, який отримав не менше 30 балів за перший модульний контроль.

Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності.

Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.

Відсутність здобувача на екзамені або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».

Складання/перескладання екзаменів – за встановленим деканатом розкладом.

Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.

Заборонено використання будь-яких підручників, посібників, конспектів лекцій, шпаргалок під час проходження модульних контролів та складання екзамену з дисципліни.