Моделювання випадкових процесів

Мета дисципліни: Метою даної дисципліни являється забезпечення процесів вивчення студентами сучасних методів моделювання випадкових процесів   під впливом фактору часу та пов’язаних з ними локальними та інтегральними факторами які систематично впливають на формування їх закономірностей розподілу ймовірностей їх станів та переходів із одного стану в інший . Оволодіння методами побудови різноманітних законів розподілу ймовірностей випадкових величин в любий проміжок часу відповідно до заданих умов та вимог до властивостей  їх статистичних  характеристик. Освоїти методи та алгоритми моделювання багатомірних випадкових  процесів та формування процесів обчислення різноманітних характеристик взаємодії між його випадковими компонентами.  Оволодіти методами та алгоритмами   застосування інтегралів  Стілтьеса-Лебега для аналізу та оцінки ймовірності попадання модельних випадкових величин в задані області і яких поведінка випадкових величин пов’язана з існування в виділених областях розривів різноманітних типів. Придбати навички   аналізу особливостей прогнозування  динаміки переходу траєкторій модельних випадкових процесів із однієї форми поведінки до іншої за допомогою фракталів, вейвлетів та інших класів функцій.  Детально освоїти  теореми та методи закону великих чисел та вміти застосовувати його при аналізі властивостей множин випадкових станів поведінки сигналів та величин їх різноманітних характеристик.   Вивчення сучасних методів  дослідження властивостей випадкових процесів за допомогою характеристичних функцій та розв’язання зворотних задач за  за допомогою інтегралу Фурьє.
 
Завдання дисципліни.
 
Визначити техніку моделювання випадкових процесів при якій застосування сучасної ймовірнісної теорії випадкових процесів для аналізу та обробки складно організованих даних  можливе та являється ефективним. Довести  існування конструктивних моделей формування випадкового процесу при яких можливе ефективне управління. Освоїти методи оцінювання ймовірностей випадкових подій при переході системи із одного стану в інший та їх послідовностей при різноманітних додаткових умовах та ефективного  застосування  сучасних  граничних теорем математичного аналізу  для аналізу їх  поведінки при різноманітних додаткових умовах таких як структура відповідних областей їх поведінки. 
Сформувати професійні навички аналізу властивостей модельних випадкових  процесів з метою побудови їх функцій розподілу ймовірностей та функції щільності розподілу ймовірностей в різноманітні моменти часу та  вибору адекватних алгоритмів побудови математичних їх моделей.
Придбати уміння вибирати методи структурного аналізу багатомірних моделей випадкових процесів  з метою побудови  теорії  стохастичної  залежності між виділеними множинами змінних    в вигляді кореляційних або коваріаційних функцій або залежностей більш загальної математичної форми які описуються функціями певних класів.
Сформувати уміння ефективно оцінювати системи багатомірних функцій розподілу ймовірностей з метою аналізу залежності між фрагментами випадкових величин при різній кількості випробувань в різноманітних умовах. 
Освоїти методи та алгоритми зменшення розмірності багатомірних модельних випадкових процесів  на основі законів великих чисел .        
Придбати навички аналізу багатомірних розрізів  випадкових процесів  при умовах коли спостерігається ефект рекурсивної залежності між ними та аналізу  глибокої колінеарності або складних динамічних  мір функціональної залежності. 
 
Основні результати навчання
 
 Знати основні методи системного аналізу, закономірності побудови, функціонування та розвитку систем для розв’язання задач аналізу та синтезу.
 Володіти основними положеннями та методами математичного, комплексного та функціонального аналізу, лінійної алгебри та теорії чисел, аналітичної геометрії, теорії диференціальних рівнянь, зокрема рівнянь у частинних похідних, теорії ймовірностей, математичної статистики та випадкових процесів, чисельними методами.
 Уміти розробляти та використовувати на практиці алгоритми, пов’язані з апроксимацією функціональних залежностей, чисельним диференціюванням та інтегруванням, розв’язанням систем алгебраїчних, диференціальних та інтегральних рівнянь, розв’язанням крайових задач, пошуком оптимальних рішень. 

Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять
 
Лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; РГР – розразунково-графічна робота; Кз – самостійні контрольні завдання; МКР – модульна контрольна робота; К – консультації..
 
 
Тематика та види навчальних занять 
 
1 тиждень
 
Л1.  Математичні основи сучасної теорії математичних моделей та її застосування при створені моделей формування випадкових процесів. Аксіоматика випадкових процесів та її не повнота в термінах теореми Гьоделя  в умовах   її застосування при створені теоретичних основ операцій над випадковими процесами в визначені моменти часу.
СРС.К.
 
2 тиждень
 
Л2. Основні класи математичних проблем які пов’язані з аналізом та обробкою послідовностей модельних випадкових  подій які виникають в певні моменти часу та  визначаються попередніми умовами. Класи еквівалентності  випадкових процесів з різноманітними мірами. Методи моделювання випадкових процесів на основі комбінаторної теорії формування випадкових числових послідовностей методами на основі арифметики діофантових наближень з експоненціальною функцією .
ПЗ.К.
 
3 тиждень 
 
Л3.Теорема Колмогорова стосовно множини функцій розподілу ймовірностей випадкових процесів в системах моделювання випадкових процесів на прикладі аналізу та обробки випадкових сигналів в реальних математичних та технічних системах.  Граничні теореми стосовно поведінки випадкових процесів при переході із однієї системи станів в іншу як послідовності подій.  
СРС. ПЗ. К.
 
4 тиждень 
 
Л4. Застосування граничних теорем теорії ймовірностей  та математичної статистики при аналізі динаміки розвитку модельних випадкових процесів при переході випадкових процесів із однієї множини станів в іншу систему. Одномірні та багатомірні функції розподілу ймовірностей випадкових процесів в задані моменти часу та їх параметри.
ПЗ. К.
 
5 тиждень 
 
Л5.Аналіз динаміки формування розрізів та траєкторій випадкових процесів згідно їз задании умовами та можливості застосування    інтегральних теорем теорії ймовірностей при умові використання нормального закону.  Багатомірна граничні теореми та проблеми їх застосування в методах аналізу переходу випадкового процесу їх одного стану в інший.  Теорема Пуассона.
СРС. К. 
 
6 тиждень 
 
Л6. Випадкові процеси на основі комбінаторної теорії та чисел Рамсея  та особливості їх формування їх характеристик. Функція розподілу ймовірностей одномірного випадкового процесу та її властивості при заданій функції математичного сподівання та  авто коваріаціїної функції. Функція щільності розрізів випадкових процесів та умови її існування.  Основні закони розподілу ймовірностей модельних випадкових процесів  та їх залежність від вибору математичної форми моделі та її характеристик. Застосування функцій Гріна та операторів Штурма-Ліувіля в процесах моделювання.
ПЗ. К 
 
7 тиждень 
 
Л7.Моменти високих порядків модельних випадкових процесів  та залежності між ними з врахуванням властивостей математичних моделей.  Автокореляційна функція одномірних випадкових процесів числовими полями та її обчислення. Коваріаційна та кореляційна функції багатомірних випадкових процесів над випадковими векторними системами та їх властивості як міри їх стаціонарності або не стаціонарності.            МКР. К
 
8 тиждень 
 
Л8 Марковські ланцюги як фундаментальна основа моделі випадкових процесів. Закон великих чисел та умови його виникнення в випадкових процесах. Багатомірні автокореляційні функції випадкового процесу як основа аналізу його динамічних властивостей та необхідні умови її застосування. Алгоритми обчислення коваріаційної та кореляційної матриць багатомірних випадкових процесів  та їх застосування. Необхідні та достатні умови існування закону великих чисел в вигляді нерівностей Чебишева.                                                                     ПЗ.СРС. 
 
9 тиждень  
 
Л9. Нерівнісь Чебишева та теорема Чебишева та їх застосування для множин  розрізів випадкового процесу броунівського типу. Методи аналізу динаміки зміни значень характеристик випадкових процесів на основі закону великих чисел. Випадкові дискретні послідовності та методи їх статистичного аналізу
 СРС. К. 
 
10 тиждень  
 
Л 10.Застосування закону великих чисел при аналізі Пуассоновських випадкових процесів неоднорідного типу. Методи аналізу багатомірних Гауссовських випадкових процесів на основі закону великих чисел. Застосування теорії груп при аналізі циклічних фрагментів випадкових процесів та їх обчислювальна складність виділення циклічних фрагментів із заданою мірою циклічості.
ПЗ.К.
 
11 тиждень 
 
Л 11.Гауссовські випадкові процеси та їх властивості. Багатомірні Гауссовські процеси та методи прогнозування динаміки їх розвитка на системах векторів із заданими властивостями.  Броуновські випадкові процеси та умови їх виникнення. Посилений закон великих чисел та його застосування при аналізі структури розвитку випадкового процесу над множинами дійсних чисел в діофантових системах. Математичні методи апроксимації багатомірних випадкових процесів  на основі закону великих чисел. 
СРС. К. 
 
12 тиждень 
 
Л 12.Теорема Гливенко та її застосування при відновлені функції розподілу ймовірностей випадкового процесу стаціонарного типу  на основі закону великих чисел. Гільбертові випадкові процеси  та їх  застосування в теорії апроксимації випадкових процесів мартингального класу з аналізом особливостей їх функцій розподілу ймовірностей. 
ПЗ. К. 
 
13 тиждень 
 
Л 13.Характеристичні функції та їх властивості. Застосування характеристичних функцій в теорії  при оцінювані характеристик стаціонарних випадкових процесів.  Алгоритми побудови ефективної апроксимації функцій розподілу ймовірностей випадкових процесів в методах прогнозування динаміки їх  розвитку на перспективу. Технології застосування пакетів Statistica, Maple при моделюванні та аналізі динаміки розвитку випадкових процесів над множинами простих чисел
СРС.Кз. 
 
14 тиждень 
 
Л 14  Відновлення функцій розподілу ймовірностей випадкових процесів на основі їх характеристичних функцій на виділених інтервалах. Відновлення функцій щільності випадкового процесу та умови їх існування на основі характеристичних функцій. Поліноміальні моделі випадкових процесів на основі базисів Грьобнера з застосуванням прикладних програм. 
ПЗ. К. 
 
15 тиждень 
 
Л 15 Граничні теореми в теорії аналізу  випадкових процесів рад випадковими плслідовностями    та їх застосування. Пряма  теорема в теорії характеристичних функцій випадкового процесу та її обчислювальна складність. Застосування методів статистичного аналізу випадкових процесів нестаціонарного типу при виділені областей з великими мірами нестаціонарності  Методи застосування пакету прикладних програм Wolfram Mathematica. 
 
Самостійна робота 
 
Самостійна робота складає 89 годин. 
Підготовка до лекційних занять 29 годин. 
Підготовка до практичних занять та до виконання індивідуальних контрольних робіт разом 30 годин. 
Підготовка до екзамену -30 години.
 
Процедура оцінювання
 
Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та практичних занять виконують дві модульні контрольні роботи   Для забезпечення оперативного контролю за успішністю та якістю рівня навчальних досягнень здобувачів вищої освіти дисципліна поділяється на два семестрові модулі  Кожний модуль оцінюється у 50 балів Модульні контрольні роботи номер 1 та номер 2 виконуються в письмовій формі. Модульна контрольна робота складається з теоретичної частини ( 2 запитання ) та практичної частини ( 1 задача ). Відповідь на кожне питання оцінюється максимум 10 балами. Правильне розв’язання задачі оцінюється в 5 балів. Кожний модуль оцінюється максимально в 50 балів.
 
 
Семестровий модуль № 1
 
Кз1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 5 тиждень.
МК1. Модульна контрольна робота – 25 балів (8 тиждень). Перескладання можливе протягом 9–11 тижнів за розкладом консультацій.

Семестровий модуль № 2
 
Кз3. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 10 тиждень.
Кз4. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 13 тиждень.
МК2. Модульна контрольна робота – 25 балів (15 тиждень).
 
Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
 
Підсумковим контролем з дисципліни є екзамен, білет до якого складається з теоретичної частини (2 запитання) та практичної частини (1 задача). Максимальна оцінка за правильні відповіді на всі питання заліку становить 100 балів. 
 
Умови допуску до підсумкового контролю
 
До екзамену допускаються здобувачі вищої освіти, які виконали всі види навчальних елементів навчальної дисципліни на не менш, ніж на 60 %.
Екзамен відбувається за всіма тематичними (змістовними) модулями дисципліни.

Складання/перескладання екзамену організується за встановленим навчальним відділом  розкладом.
 
 
Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності. 

Виконаний не свій варіант завдання здобувачем не оцінюється.
 
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
 
Відсутність здобувача на заліку або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
 
Складання/перескладання заліку – за встановленим деканатом розкладом.
 
Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.

 
Заборонено використання будь-яких підручників, посібників, конспектів лекцій, шпаргалок під час проходження модульних контролів та складання заліку з дисципліни Моделювання випадкових процесів.