Теорія алгебраїчних систем

Мета дисципліни:

забезпечити розвиток загальних та спеціальних компетентностей майбутніх бакалаврів, розвити здатність використовувати отримані теоретичні знання з алгебри як системи  алгебраїчних конструкцій з різноманітною системою множин та операцій над їх елементами, теорії випадковості як основі теорії ймовірностей та математичної статистики над траєкторіями рекурсивних операцій над алгебраїчними перетвореннями випадкових процесів, сучасної теорії динамічних баз даних, методів оптимізації прийняття рішень в складних систематично змінюючихся умовах роботи динамічних систем при яких необхідно знаходити найкращі варіанти їх розвитку, створювати ефективні методи захисту інформації, вміти моделювати  процеси створення генераторів псевдовипадкових чисел, розробляти алгебраїчні моделі формування траєкторій циклічних нерухомих точок динамічних систем та досліджувати динаміку розвитку алгебраїчних структур як розвиваючихся систем. 

Завдання дисципліни:
 
Створити систему для вибору як  множин так і операцій над їх елементами  які можна використовувати в процесах побудови ефективних систем створення математичних моделей систем аналізу та обробки складних даних; 
Досліджувати методи та алгоритми створення язиків першого та другого рівня для побудови систем алгебраїчних операцій  різних класів перетворень в процесах моделювання систем;
Характеризувати обчислювальну ефективність рекурсивних процедур моделювання процесів побудови алгебраїчних функцій в системах стиснення інформації до великих степенів; 
Використовувати  теорію структур в класичних алгебраїчних системах та при представлені даних в необхідній формі;
Аналізувати різні моделі ізоморфних  та гомоморфних перетворень в системному аналізі   та моделях  розподілених  структур ;
Застосовувати теорію груп в методах побудови сучасних технологій перетворення даних в форму яка відповідає умовам їх  використання в системнім аналізі;
Вибирати фундаментальні алгоритми представлення чисел та поліномів в адитивній та мультиплікативній формах; 
Створювати ефективні алгоритми факторизації натуральних  чисел та поліномів та побудові над їх множинами рекурсивних процедур з метою моделювання динамічних процесів
Навчити застосовувати алгоритм Евкліда в класичній та розширеній формах при обчислені характеристик процесів моделювання.  
 
 
 Основні результати навчання
 
 Володіти основними положеннями та методами математичного, комплексного та функціонального аналізу, лінійної алгебри та теорії чисел, аналітичної геометрії, теорії диференціальних рівнянь, зокрема рівнянь у частинних похідних, теорії ймовірностей, математичної статистики та випадкових процесів, чисельними методами.
 Знати основні методи системного аналізу, закономірності побудови, функціонування та розвитку систем для розв’язання задач аналізу та синтезу.
 Демонструвати знання й розуміння основних концепцій, принципів, теорій прикладної математики і використовувати їх на практиці.
- Формалізувати задачі, сформульовані мовою певної предметної галузі; формулювати їх математичну постановку та обирати раціональний метод вирішення; розв’язувати отримані задачі аналітичними та чисельними методами, оцінювати точність та достовірність отриманих результатів.
 
 
 
Форми організації освітнього процесу та види навчальних занять
 
Л – лекційні заняття; ПЗ – практичні заняття; СРС – самостійна робота здобувача вищої освіти; РГР – розрахунково-графічна робота; Кз – самостійні контрольні завдання;  МКР – модульна контрольна робота; К – консультації.
 
 
Тематика та види навчальних занять
 
1 тиждень
 
Л1. Значення та використання  сучасних   алгебраїчних систем в моделюванні складних процесів як детермінованих так і випадкових нелінійних динамічних систем. Використання теорії множин в алгебраїчних операціях над даними теорії груп при створені різноманітних форм відображень.
Л2. Властивості методів та алгоритмів абстрактної  алгебри при розв’язувані сучасних проблем аналізу та обробки  інформації в складних  як детермінованих так випадкових динамічних системах.
СРС. К.
 
2 тиждень
 
Л3.Алгебраїчні системи  та алгоритмічні методи упорядкування множин з використанням різноманітних порядкових структур. Застосування алгебраїчні теорії при побудові моделей математичної логіки для розв’язування задач виділених класів з застосуванням обмежених предикатів, алгебраїчних предикатів та сепарабельного нестандартного аналізу для     основних  класів задач які  розв’язуються  їх  методами .
Пз1. Розподілені системи даних та класи задач які розв’язуються методами та алгоритмами теорії груп, кілець, ідеалів, полів сучасної нелінійної та абстрактної алгебри .
СРС. К.
 
3 тиждень
 
Л4. Системи  алгебри т використання в них структур з доповненнями, дистрибутивними решітками  та  їх фундаментальні алгоритми..
Л5. Основи сучасної теорії створення алгоритмів обчислень на строкових системах даних за допомогою алгебраїчних систем.  Розподілення простих чисел. Дзета функція Рімана та пов’язана з нею проблема. Мала теорема Ферма. 
Кз1. Обчислення первісних коренів простих чисел. Формула Ейлера та її обчислення.
СРС. К.
 
4 тиждень
 
Л6. Методи представлення даних в вигляді послідовностей символів над заданим алфавітом та числових даних над алгебраїчними полями  на основі теорії груп та доведення їх ефективності. Обчислювальна складність задачі факторизації натуральних чисел та поліномів однієї або великої кількості змінних.
Пз2. Класифікація строкових послідовностей та математичні проблеми їх аналізу та обробки включаючи  прості числа по заданому модулю. Властивості групи лишків  (Z/pZ)* по модулю простого числа. Теорема про циклічний характер даної групи та обчислення її первісних коренів.
СРС. К.
 
5 тиждень
 
Л7.Аналіз методів побудови строкових даних та їх  гомоморфних відображень в теорії груп.  Доведення адитивної та мультипликативної  форм представлення натуральних чисел та поліномів від однієї та багатьох змінних.
Л8.Строкові послідовності та теорія паттернів при аналізі та обробці строкових та текстових даних методами алгебраїчних систем. Базові алгоритми обчислення паттернів  Кнута-Моррисона-Пратта, Бойера-Мура та Карпа-Рабина та їх застосування.
 Методи застосування теорії чисел і сучасній криптографії 
СРС. К.
 
6 тиждень
 
Л9. Алгоритм та розширений  алгоритм Евкліда та його застосування..Методи виділення підгруп із заданими властивостями.
Пз3. Застосування теорії алгоритмів в аналізі нумерованих множин та функцій та побудові продуктивних та креативних сімейств математичних об’єктів.  Алгоритми та машини Тьюрінга в теорії алгебраїчних систем.Алгоритм Евкліда для  обчислення ідеалів  поліномів довільної степені. Алгоритми обчислення коренів поліноміальних функцій.
СРС. К.
 
7 тиждень
 
Л10. Модулярна арифметика та застосування її теоремі Ферма. Рекурсивна процедура для обчислення первісних коренів простих чисел. Методи та алгоритми зведення процесів розв’язання однієї проблеми ло іншої.
Л11.Язик машин Тьюрінга та проблема зупинки процесів розв’язання математичних проблем. Алгоритм для обчислення зворотного числа для довільно заданого простого числа. 
СРС. К.
 
8 тиждень
 
Л12. Фактор-групи та алгоритми їх виділення.    Алгоритми пошуку  коренів довільної степені із одиниці.
ПЗ4.Модулярні алгоритми та метоли інтерполяції. Логарифмічний закон розподілу простих чисел. Алгебра вейвлетів та її застосування.
МКР1. СРС. К.
 
9 тиждень
 
Л13.Властивості груп перестановок та їх застосування.  Проблема дискретного логарифма та  її обчислювальна складність. Китайська теорема про лишки та її застосування в теорії дискретного логарифма при умові гладких простих чисел із заданою мірою гладкості.
Л14.Нормальні підгрупи груп перестановок. Імітація роботи машини Тьюрінга на комп’ютері та порівнювальний аналіз їх ефективності.
СРС. К.
 
10 тиждень
 
Л15. Застосування теорії еліптичних кривих в алгоритмах факторизації  натуральних чисел. Алгоритм Ленкстри та його застосування.
ПЗ5. Алгоритм обчислення первісних коренів прости чисел. Розподілення первісних коренів простих чисел.
Кз3. Швидкий алгоритм Евкліда для поліномів та його застосування. Аналіз математичних проблем з точки розглядання та доведення існування  їх класів які не мають алгоритму розв’язування  Аналіз проблем в теорії алгебраїчних систем які можуть бути розв’язанні за поліноміальний час.
СРС. К.
 
11 тиждень
 
Л16 Циклічні групи та їх застосування. Діофантові рівняння та предикати Діофанта. Конечні поля та їх застосування в задачах аналізу траєкторій рекурсивних алгоритмів обчислення первісних коренів простих чисел. Формальні алгебраїчні системи та можливість представлення натуральних чисел поліномами.
Л17. Методи тестування складності алгоритмів вирішення проблеми побудови одно-однозначних відображень дискретного логарифма. 
СРС. К.
 
12 тиждень
 
Л18.Теорія аналізу структури груп як системи їх підгруп.  Особливості аналізу траєкторій дискретного логарифма для гладких простих чисел  та дослідження його складності.
ПЗ6. Аналіз алгоритмів пошуку всіх первісних коренів довільно заданого простого числа та структури їх розподілення в групах лишків.
 
13 тиждень
 
Л19. Субекспоненціальні алгоритми факторизації натуральних чисел та поліномів. Метод  факторизації натуральних чисел Поларда. 
Л20. Методи захисту інформації на основі теорії  кодування та алгоритми RSA.Базиси Грьобнера та їх застосування.
Кз4. Обчислення ключів обміну протоколами Діфі-Хелмана та їх застосування в сучасних методах захисту інформації.  
СРС. К.
 
14 тиждень
 
Л21. Криптографічні  схеми захисту інформації на основі теорії дискретного логарифма. Ймовірнісні міри складності алгоритмів на локально компактних групах.  
ПЗ7. Методи захисту інформації на основі теорії еліптичних кривих та алгоритм  Ленкстри. Оцінювання ефективності алгоритму Ленкстри. Технології застосування пакетів прикладних програм Wolfram Mathematic, Maple.
 
15 тиждень
 
Л22.Аналіз обчислювальних можливостей сучасних пакетів прикладних програм.  Знаходження закону розподілу примітивних коренів та індексів простих чисел  та їх застосування .  Методи та технології використання пакету прикладних програм Wolfram Mathematic в теорії дискретного логарифма.
МКР2.
СРС. К.
 
 
Індивідуальна робота
 
Не передбачено 
 
Самостійна робота
 
Самостійна робота складає 56 годин. Розподіл самостійної роботи за видами навчальних робіт:
1) підготовка до лекційних занять – 21 годин;
2) підготовка до практичних занять та до виконання індивідуальних контрольних завдань – разом 35 годин;
 
 
Процедура оцінювання
 
Система оцінювання рівня навчальних досягнень ґрунтується на принципах ЄКТС та є накопичувальною. Дисципліна поділяється на один семестровий модуль. Здобувачі протягом семестру готуються до лекційних та практичних занять, виконують 1 модульну контрольну роботу та 4 індивідуальних контрольних завдання.
 
Модульна контрольна робота виконується у письмовій формі. Модульна робота складається з теоретичної частини (4 запитання) та практичної частини (2 задача). Відповідь на кожне теоретичне питання оцінюється максимум 10 балами. Правильне розв’язання задачі оцінюється в 5 балів.
 
Модуль оцінюється у максимально можливі 100 балів:
 
Семестровий модуль № 1
 
Кз1. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 3 тиждень.
Кз2. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 5 тиждень.
Кз3. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 10 тиждень.
Кз4. Оцінка за виконання – 5 балів. Термін надання – 13 тиждень.
МК. Модульна контрольна робота – 50 балів (11 тиждень). 

Максимальна оцінка за повний обсяг виконаних навчальних елементів дисципліни – 100 балів.
 
Остаточним контролюючим моментом освоєння дисципліни є залік у 8 семестрі. Оцінка виставляється за результатами модульних опитувань та практичних робіт.
 
 
Умови допуску до підсумкового контролю
 
До заліку допускаються здобувачі вищої освіти, які виконали всі види навчальних елементів навчальної дисципліни на не менш, ніж на 60 %.

 
Політика освітнього процесу

Здобувач зобов’язаний своєчасно та якісно виконувати всі отримані завдання; за необхідністю з метою з’ясування всіх не зрозумілих під час самостійної та індивідуальної роботи питань, відвідувати консультації викладача. Дотримуватись принципів академічної доброчесності. 

Виконаний не свій варіант завдання здобувачем не оцінюється.
 
Робота, яка виконана після встановлених викладачем термінів, не приймається.
 
Відсутність здобувача на екзамені або на контрольній роботі відповідає оцінці «0».
 
Складання/перескладання екзаменів – за встановленим деканатом розкладом.
 
Під час лекції здійснювати телефонні дзвінки забороняється.