Обчислювальні методи

Анотація навчальної дисципліни

Мета вивчення дисципліни: - формування теоретичних знань з основ чисельного аналізу.
- засвоєння студентами основних методів обчислень, необхідних для розв’язання задач, які зустрічаються на практиці та не мають аналітичного розв'язку, або для яких знаходження аналітичного розв'язку є недоцільним, та методології їх програмування.
- надбання навичок застосування обчислювальних методів для рішення математичних задач 

Практичне значення та використання отриманих знань : - отримати знання в галузі практичних методів рішення математичних проблем, виникаючих в процесі інженерної діяльності, засвоїти способи розрахунків на сучасних комп'ютерах.
- отримати знання щодо основних теоретичних положень обчислювальної математики, а саме: загальні поняття, пов’язані з чисельними методами, основні класи задач обчислювальної математики, постановки типових математичних задач.
- отримати знання щодо практичних методів обчислювальної математики та алгоритмів їх розв’язку, а саме: методи розв’язання лінійних та нелінійних рівнянь та їх систем, методи обчислення власних значень і власних векторів матриці, обчислювальні методи наближення  функцій, диференціювання та інтегрування функцій, розв'язання задачі Коші тощо. 

Основні результати навчання

ПРН2. Використовувати сучасний  математичний  апарат  неперервного та дискретного  аналізу,  лінійної  алгебри,  аналітичної  геометрії,  в  професійній діяльності  для  розв’язання  задач  теоретичного  та  прикладного  характеру  в процесі проектування та реалізації об’єктів інформатизації.
ПРН6. Використовувати методи чисельного диференціювання та інтегрування функцій, розв'язання звичайних диференціальних та інтегральних рівнянь, особливостей чисельних методів та можливостей їх адаптації до інженерних задач, мати навички програмної реалізації чисельних методів.. 

Тематика та види навчальних занять
1 тиждень.
Лекція 1. «Введення у чисельні методи. Математичне моделювання та обчислювальний експеримент. Чисельні методи як розділ сучасної математики. Основні поняття та визначення обчислювальних методів: основні типи та характеристики».

2 тиждень. 
Лекція 2. «Елементи теорії похибок. Джерела похибок; абсолютна та відносна похибка; правила округлення чисел; похибка округленого числа; обчислювальна похибка».
Видача завдань РГР.
Лабораторна робота 1. «Знайомство з інтерпретатором та інтерактивною оболонкою IDLE, базові типи об'єктів та математичні операції».

3 тиждень. 
Лекція 3. «Методи розв’язання СЛАР.  Прямі методи: правило Крамера; метод зворотньої матриці; метод виключення Гауса; метод прогонки. Ітераційні методи: метод простої ітерації (Якобі); метод Зейделя».
Виконання РГР. Частина 1.

4 тиждень. 
Лекція 4. «Розв’язання нелінійних рівнянь з однією змінною. Основні визначення; алгоритм відокремлення коренів; метод половинного ділення; метод дотичних».
Лабораторна робота 2. «Розв'язання задач на визначення похибок обчислень, розв'язання СЛАР».
Виконання РГР. Частина 1.

5 тиждень. 
Лекція 5. «Чисельні методи обчислення власних значень і власних векторів матриці. Постановка задачі. Ітераційні методи обчислення власних значень і власних векторів. Методи перетворення подібності для обчислення власних значень і власних векторів».
Виконання РГР. Частина 1.

6 тиждень. 
Лекція 6. «Чисельні методи наближення функцій. Апроксимація згладжуванням. Метод найменших квадратів (МНК)».
Лабораторна робота 3. «Розв'язання нелінійних рівнянь».
Виконання РГР. Частина 1.

7 тиждень. 
Лекція 7. «Лінійна апроксимація, поліноміальна апроксимація; апроксимація лінеаризацією».
Виконання РГР. Частина 1.
Модульна контрольна робота 1. 

8 тиждень. 
Лекція  8. «Чисельні методи наближення функцій. Інтерполяція: інтерполяційний поліном у формі Лагранжа; інтерполяційний поліном у формі Ньютона».
Лабораторна робота 4. «Апроксимація функцій. МНК».

9 тиждень. 
Лекція 9. «Чисельні методи наближення функцій. Сплайн-інтерполяція. Екстраполяція».
Виконання РГР. Частина 2.

10 тиждень. 
Лекція 10. «Чисельне інтегрування. Метод прямокутників; метод трапецій, метод Сімпсона (парабол). Оцінка точності обчислення визначеного інтегралу».
Лабораторна робота 5. «Інтерполяція функцій».
Виконання РГР. Частина 2.

11 тиждень. 
Лекція 11. «Чисельне диференціювання. Формула диференціювання «вперед»; формула диференціювання «назад»; «симетрична» формула диференціювання».
Виконання РГР. Частина 2.

12 тиждень. 
Лекція 12. «Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь. Метод Ейлера; модифікований метод Ейлера».
Лабораторна робота 6. «Чисельне інтегрування».
Виконання РГР. Частина 2.

13 тиждень. 
Лекція 13. «Чисельне розв’язання звичайних диференційних рівнянь. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку».
Виконання РГР. Частина 2.

14 тиждень. 
Лекція 14. «Мінімізація функцій багатьох змінних. Метод покоординатного спуску.
Лабораторна робота 7. «Чисельне розв'язання звичайних диференційних рівнянь модифікованим методом Ейлера. 
Захист РГР.

15 тиждень. 
Лекція 15. «Умовна мінімізація. Метод множників Лагранжа».
Модульна контрольна робота 2.

Самостійна робота здобувача відбувається впродовж семестру та складається з підготовки до аудиторних занять, контрольних заходів. 
Консультації: здійснюються викладачем впродовж семестру згідно розкладу.

Оцінювання результатів навчання

Оцінювання результатів навчання з дисципліни здійснюється за накопичувальною системою,
яка дає можливість здобувачеві протягом семестру отримати максимально 100 балів.

Модуль  1

Лабораторні роботи №1, №2, №3 – максимальна оцінка за бездоганне виконання лабораторної роботи, наданої у встановлені терміни викладачу,– 5 балів (Всього 15 балів). Термін надання – 2, 4, 6 тиждень відповідно.
Модульна контрольна робота 1 – бездоганне виконання 35 балів (в кожному завданні модульної контрольної роботи наведено максимальну кількість балів за виконання кожного завдання). 

Модуль  2

Лабораторні роботи №4, №5, №6, №7 – максимальна оцінка за бездоганне виконання лабораторної роботи, наданої у встановлені терміни викладачу,– 5 балів (Всього 20 балів). Термін надання – 8, 10, 12, 14 тиждень відповідно. 
Модульна контрольна робота 2.–  бездоганне виконання 20 балів (в кожному завданні модульної контрольної роботи наведено максимальну кількість балів за виконання кожного завдання).
Максимальна оцінка за РГР, виконану в повному обсязі, становить 10 балів. 

Посилання на рекомендовані джерела

1 Моделювання та оптимізація систем: підручник /[Дубовой В. М., Квєтний Р. Н., Михальов О. І., А.В.Усов А. В.] –Вінниця : ПП «ТД«Едельвейс», 2017. – 804 с.
2. Конспект лекцій “ Чисельні методи ” для студентів денної форми навчання за напрямом: 6.050101 – Комп’ютерні науки \ Укл.:М.І. Шпинковська, О.А.шпинковський - Одеса: ОНПУ, 2015. - 125 с.
3. Усов А.В., Шпинковський О.А., Шпинковська М.І. Рівняння математичної фізики у моделюванні технічних систем: Навч. посіб. для студентів вищих навч. закладів. – Київ: Освіта України. 2014. – 190 с. (підписано у друк 30.07.2014)
4. Методичні вказівки до практичних занять з розділу “Диференціальне числення функції однієї змінної” для студентів 1 курсу спеціальності 122 ІКС, комп’ютерні науки та інформаційні технології / Укл.: М.І. Шпинковська, О.А. Шпинковський – Одеса: ОНПУ, 2017. – 22 с.
5. Усов А.В., Шпинковський О.А., Шпинковська М.І. "Чисельні методи та їх реалізація у середовищі Scilab": Навч. посіб. для студентів вищих навч. закладів. – Одеса: ОНПУ. 2019. – 194 с.