Обчислювальні методи

Курс «Обчислювальні методи» відноситься до циклу математичних та природничо-наукових дисциплін. Для його вивчення потрібні навички та знання у рамках програми дисциплін: вища математика, теорія алгоритмів, програмування.
Також курс «Обчислювальні методи» є базою для вивчення предметів, що відносяться до циклу загально професійних дисциплін, таких як: паралельні та розподілені обчислення, захист інформації в комп'ютерних мережах, інженерія програмного забезпечення.
Мета вивчення дисципліни: набуття практичних навичок з основ обчислювальної математики як наукової та прикладної дисципліни, дати уявлення про роль та місце обчислювальної математики при постановці, виборі ефективних алгоритмів та інтерпретації результатів рішення задач в області проектування та експлуатації засобів обчислювальної техніки.
Основні завдання дисципліни: студенти повинні навчитися використовувати сучасні інформаційні технології при вирішенні задач обчислювальної математики різного рівня складності, застосовувати обчислювальні методи для розв'язання математичних задач та оцінювання точності результатів, сформувати у студентів системне мислення у підході до роботи з різними обчислювальними методами та їх реалізаціями.
Практичне значення та використання отриманих знань полягає в умінні використовувати знання методів обробки інформації та комунікаційних технологій при вирішенні професійних завдань (управління інформацією), умінні використовувати результати проведеного аналізу для синтезування отриманої інформації, використанні знань та розуміння розділів з вищої математики, фізики при вирішенні практичних завдань професійної сфери.
Значення для особистісного та професійного розвитку: формування аналітичного та алгоритмічного мислення, розвиток навичок раціонального вирішення прикладних задач за допомогою обчислювальних методів, підвищення здатності до системного аналізу, точності та відповідальності у роботі з даними, а також уміння ефективно застосовувати обчислювальні інструменти в професійній діяльності фахівця з комп’ютерних наук.
Тематика та види навчальних занять
Для денної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. Основні відомості теорії похибок.
Лекція 2. Пряма та обернена задачі теорії похибок.
Лекція 3. Розв’язання алгебраїчних та трансцендентних рівнянь.
Лекція 4. Розв’язок систем лінійних рівнянь прямими методами.
Лекція 5. Ітераційні методи розв’язання СЛАР.
Лекція 6. Розв’язок систем нелінійних рівнянь.
Лекція 7. Наближення та інтерполяція функцій.
Лекція 8. Сплайн-інтерполяція.
Лекція 9. Обчислювальне диференціювання.
Лекція 10. Обчислювальне інтегрування. Розв’язання інтегральних рівнянь.
Лекція 11. Оптимізація швидкості обчислень при обчислювальному інтегруванні та диференціюванні.
Лекція 12. Обчислювальні методи розв’язання ДР.
Лекція 13. Обчислювальні табличні методи розв’язання ДР.
Лекція 14. Обчислювальні методи для ДР із частинними похідними.
Лекція 15. Обчислювальні методи оптимізації функцій.

Лабораторні роботи
Лабораторна робота №1. Ознайомлення з основами комп’ютерних обчислень.
Мета заняття: сформувати базові навички роботи з обчислювальними середовищами, навчитися виконувати прості обчислення з контролем точності результатів і усвідомити роль комп’ютерних технологій у реалізації обчислювальних методів.
Лабораторна робота №2. Елементарна теорія похибок.
Мета заняття: навчитися оцінювати похибки обчислень, розрізняти абсолютну, відносну та середню похибки, а також досліджувати вплив похибок вхідних даних на кінцевий результат.
Лабораторна робота №3. Розв’язок нелінійних рівнянь.
Мета заняття: засвоїти основні методи розв’язання нелінійних рівнянь (метод половинного ділення, метод Ньютона), навчитися реалізовувати їх у обчислювальному вигляді та аналізувати збіжність.
Лабораторна робота №4. Розв’язок нелінійних рівнянь методом ітерацій.
Мета заняття: навчитися використовувати ітераційні підходи до пошуку коренів рівнянь, дослідити умови збіжності ітераційного процесу та оцінити точність отриманих результатів.
Лабораторна робота №5. Розв’язок систем лінійних рівнянь.
Мета заняття: набути практичних навичок застосування прямих та ітераційних методів (метод Гауса, метод Зейделя) для розв’язання систем лінійних рівнянь і перевірки точності розрахунків.
Лабораторна робота №6. Застосування методу Ньютона для систем нелінійних рівнянь.
Мета заняття: навчитися застосовувати багатовимірний метод Ньютона, будувати матрицю Якобі, оцінювати збіжність і точність розв’язку систем нелінійних рівнянь.
Лабораторна робота №7. Метод найменших квадратів.
Мета заняття: освоїти метод найменших квадратів для апроксимації експериментальних даних, побудови регресійних залежностей і мінімізації похибок наближення.
Лабораторна робота №8. Побудова кубічного сплайну.
Мета заняття: навчитися будувати інтерполяційні сплайни, досліджувати їх властивості, порівнювати точність сплайн-інтерполяції з поліноміальною.
Лабораторна робота №9. Обчислення похідних методом кінцевих різниць.
Мета заняття: засвоїти обчислювальні методи обчислення похідних різних порядків за таблично заданими функціями та оцінювати похибку диференціювання.
Лабораторна робота №10. Обчислювальне інтегрування методами прямокутників і трапецій.
Мета заняття: навчитися застосовувати основні формули обчислювального інтегрування, порівнювати їх точність і ефективність, обчислювати інтеграли для різних типів функцій.
Лабораторна робота №11. Порівняння точності різних обчислювальних методів.
Мета заняття: дослідити вплив вибору методу та кроку дискретизації на точність результатів, сформувати навички оцінювання ефективності обчислювальних алгоритмів.
Лабораторна робота №12. Обчислювальне розв’язання диференціальних рівнянь методом Ейлера.
Мета заняття: навчитися розв’язувати звичайні диференціальні рівняння першого порядку чисельно, будувати таблицю наближених значень функції, аналізувати похибку.
Лабораторна робота №13. Застосування методу Рунге–Кутта.
Мета заняття: опанувати методи підвищеного порядку точності для розв’язання диференціальних рівнянь, порівняти їх результати з методом Ейлера.
Лабораторна робота №14. Обчислювальні методи розв’язання рівнянь у частинних похідних.
Мета заняття: засвоїти різницеві схеми для розв’язання рівнянь у частинних похідних, зокрема задач теплопровідності, та оцінювати стабільність обчислювального методу.
Лабораторна робота №15. Оптимізація функцій методом градієнтного спуску.
Мета заняття: навчитися реалізовувати алгоритм градієнтного спуску, визначати точки мінімуму функцій однієї та кількох змінних, аналізувати вплив параметрів кроку на збіжність методу.
Для заочної форми здобуття освіти
Лекційні заняття
Лекція 1. Основні відомості теорії похибок, розв’язання алгебраїчних та трансцендентних рівнянь, ітераційні методи розв’язання СЛАР, наближення та інтерполяція функцій.
Лекція 2. Обчислювальне диференціювання, оптимізація швидкості обчислень при обчислювальному інтегруванні та диференціюванні, обчислювальні табличні методи розв’язання ДР, обчислювальні методи оптимізації функцій.
Лабораторні роботи
Лабораторна робота №1. Ознайомлення з основами комп’ютерних обчислень, розв’язок нелінійних рівнянь, розв’язок систем лінійних рівнянь, метод найменших квадратів.
Мета роботи: вивчення основ комп’ютерних обчислень та набуття навичок розв’язання нелінійних рівнянь, систем лінійних рівнянь і застосування методу найменших квадратів для апроксимації даних.
Лабораторна робота №2. Обчислення похідних методом кінцевих різниць, порівняння точності різних обчислювальних методів, застосування методу Рунге–Кутта, оптимізація функцій методом градієнтного спуску.
Мета роботи: вивчення обчислювальних методів обчислення похідних та розв’язання диференціальних рівнянь і набуття навичок порівняння точності методів та оптимізації функцій методом градієнтного спуску.
Консультації здійснюються впродовж семестру згідно встановленого розкладу.
Індивідуальна робота
Для денної форми здобуття освіти
Не перебачено.
Для заочної форми здобуття освіти
Контрольна робота
Завдання для виконання контрольної роботи здобувач отримує на установчій лекції.
Робота містить 2 теоретичних питання та 5 практичних завдань.
Обсяг відповіді на кожне теоретичне питання: не менше, ніж 1 сторінка машинописного тексту. Текст відповіді повинен бути виконаний самостійно, а не скопійованим з навчального посібника.
Лабораторна робота №1. Ознайомлення з основами комп’ютерних обчислень, розв’язок нелінійних рівнянь, розв’язок систем лінійних рівнянь.
Лабораторна робота №2. Обчислення похідних методом кінцевих різниць, порівняння точності різних обчислювальних методів, застосування методу Рунге–Кутта.
Термін надання виконаної контрольної роботи на перевірку – не пізніше, ніж за місяць до початку сесії.
Форми контрольних заходів та оцінювання результатів навчання
Для денної форми здобуття освіти
Поточний контроль полягає у виконанні
1) 7-и індивідуальних поточних завдань. Індивідуальні поточні завдання полягають в виконанні типових завдань відповідно до мети та завдань лабораторних занять. Бездоганне виконання індивідуальних поточних завдань №1 – №8 оцінюється у 3,75 балів кожне. Виконання завдань № 9 – 15 оцінюється максимально у 4,28 балів;
2) двох модульних контрольних робіт. Модульні контрольні роботи складаються з практичної частини та проводяться у формі виконання індивідуальних завдань з обчислювальних методів. Бездоганне виконання кожної модульної контрольної роботи становить 20 балів.
Підсумковий контроль – екзамен. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів.
Для заочної форми здобуття освіти
Виконання та захист лабораторних робіт оцінюється у 30 балів.
Захист контрольної роботи. Бездоганне виконання контрольної роботи оцінюється у 40 балів. При її захисті студент може отримати до 30 балів.
Підсумковий контроль – екзамен. Максимальна оцінка, яку може отримати студент – 100 балів. Мінімальна оцінка, яка дозволяє отримати «зараховано» – 60 балів.